Definizione di topologia in spazio non metrico
Dunque, sto studiando le distribuzioni e dunque lo spazio delle funzioni a supporto compatto, ma vorrei chiarirmi un concetto che il professore mi ha speigato un pò "al volo" durante un ricevimento, riguardo la definizione di topologia in uno spazio non metrico.
Dunque, noi sappiamo che SEMPRE una topologia la si può definire tramite definizione degli aperti, e fin qui ovvio.
Quando però possiamo definirla tramite convergenza di successioni e tramite definizione di funzioni continue?
La questione se ho capito si basa sull equivalenza di continuità di una funzione e continuità sequenziale, che non è valida dovunque.
Nello spazio delle funzioni test, per esempio, una volta definita una topologia non metrizzabile, si può definire la topologia tramite successione di funzioni.
Dunque, vorrei che qualcuno mi aiuti a fare chiarezza, dove non vale l uguaglianza continua/continua sequenzialmente, e in tal caso è dunque vero che non in ogni modo può essere definita la topologia?
Cosa cambia insomma in uno spazio dotato di topologia non metrizzabile?
Grazie.
Dunque, noi sappiamo che SEMPRE una topologia la si può definire tramite definizione degli aperti, e fin qui ovvio.
Quando però possiamo definirla tramite convergenza di successioni e tramite definizione di funzioni continue?
La questione se ho capito si basa sull equivalenza di continuità di una funzione e continuità sequenziale, che non è valida dovunque.
Nello spazio delle funzioni test, per esempio, una volta definita una topologia non metrizzabile, si può definire la topologia tramite successione di funzioni.
Dunque, vorrei che qualcuno mi aiuti a fare chiarezza, dove non vale l uguaglianza continua/continua sequenzialmente, e in tal caso è dunque vero che non in ogni modo può essere definita la topologia?
Cosa cambia insomma in uno spazio dotato di topologia non metrizzabile?
Grazie.
Risposte
Cambiano un sacco di cose in realtà. Se una topologia non è metrizzabile le sue successioni convergenti non bastano ad individuarla ed è un fatto che agli analisti non garba troppo, abituati come sono a ragionare con topologie metrizzabili. Ci vogliono nozioni più avanzate (cfr: http://en.wikipedia.org/wiki/Net_%28mathematics%29 ). Quindi, quando un analista ti dice di avere "definito una topologia" sullo spazio \(\mathscr{D}(\Omega)\) descrivendo la nozione di convergenza da essa indotta, sta dicendo una cosa tecnicamente inesatta.
Tuttavia risulta che le cose vanno proprio come ti aspetti che vadano: esiste un'unica topologia su \(\mathscr{D}(\Omega)\) che induce quella nozione di convergenza e per le forme lineari la continuità è equivalente alla continuità per successioni. Questo perché quella topologia è in un certo senso un "limite" di certe topologie metrizzabili, ma qui si va nell'astratto e precisamente nella teoria delle categorie.
Ecco perché all'atto pratico puoi disinteressarti di tali questioni e trattare la topologia su \(\mathscr{D}(\Omega)\) proprio come se fosse una topologia metrizzabile. Un libro che spiega bene questo caveat è il Duistermaat-Kolk, Distributions. Se invece vuoi vedere i dettagli puoi orientarti sul Rudin, Functional Analysis o sul Reed & Simon, Methods of modern mathematical physics, vol. I.
Tuttavia risulta che le cose vanno proprio come ti aspetti che vadano: esiste un'unica topologia su \(\mathscr{D}(\Omega)\) che induce quella nozione di convergenza e per le forme lineari la continuità è equivalente alla continuità per successioni. Questo perché quella topologia è in un certo senso un "limite" di certe topologie metrizzabili, ma qui si va nell'astratto e precisamente nella teoria delle categorie.
Ecco perché all'atto pratico puoi disinteressarti di tali questioni e trattare la topologia su \(\mathscr{D}(\Omega)\) proprio come se fosse una topologia metrizzabile. Un libro che spiega bene questo caveat è il Duistermaat-Kolk, Distributions. Se invece vuoi vedere i dettagli puoi orientarti sul Rudin, Functional Analysis o sul Reed & Simon, Methods of modern mathematical physics, vol. I.
Ok, sto iniziando a far luce (tra l altro il professore mi aveva proprio citato le "net", e non mi ricordavo come si chiamavano, dunque grazie 
, comunque io sto iniziando a studiare proprio dul Rudin, che infatti è l unico testo che ho trovato che introduce la topologia dello spazio delle test descrivendo gli aperti e non con la convergenza su esso, forse proprio perchè come dici tu è quello che tratta le cose più rigorosamente.
Ma un ultima cosa, descrivere la topologia invece tramite descrizione delle funzioni continue, si può fare? dove?
, comunque io sto iniziando a studiare proprio dul Rudin, che infatti è l unico testo che ho trovato che introduce la topologia dello spazio delle test descrivendo gli aperti e non con la convergenza su esso, forse proprio perchè come dici tu è quello che tratta le cose più rigorosamente.Ma un ultima cosa, descrivere la topologia invece tramite descrizione delle funzioni continue, si può fare? dove?
Il Rudin però non si dilunga su questioni più operative come il calcolo distribuzionale vero e proprio. Insomma, cerca di trovare un equilibrio, dipendendo anche dai tuoi interessi: ad esempio, grandi utenti delle distribuzioni sono gli ingegneri elettronici, che di topologia certo non si interessano. Quindi è possibile affrontare l'argomento senza troppi voli pindarici in ambito astratto.
Quanto all'ultima domanda, per come l'hai formulata la risposta è piuttosto banale. Sia \(X\) uno spazio topologico. Definisci uno spazio topologico \((Z, \tau)\) ponendo \(Z=\{0, 1\}\) e \(\tau=\{\varnothing, \{1\}, \{0,1\}\}\). Se \(V\subset X\) risulta che
\[
\big( V\ \text{è aperto}\big) \quad \iff \quad \left( \text{la mappa}\ \chi_V(x)=\begin{cases} 0 & x \ne V \\ 1 & x \in V \end{cases}\ \text{è continua di}\ X\ \text{in}\ Z\right).\]
Quindi la topologia su \(X\) è completamente individuata dalla collezione di funzioni \(\chi_V, \ V \subset X\).
Quanto all'ultima domanda, per come l'hai formulata la risposta è piuttosto banale. Sia \(X\) uno spazio topologico. Definisci uno spazio topologico \((Z, \tau)\) ponendo \(Z=\{0, 1\}\) e \(\tau=\{\varnothing, \{1\}, \{0,1\}\}\). Se \(V\subset X\) risulta che
\[
\big( V\ \text{è aperto}\big) \quad \iff \quad \left( \text{la mappa}\ \chi_V(x)=\begin{cases} 0 & x \ne V \\ 1 & x \in V \end{cases}\ \text{è continua di}\ X\ \text{in}\ Z\right).\]
Quindi la topologia su \(X\) è completamente individuata dalla collezione di funzioni \(\chi_V, \ V \subset X\).
Ora una domanda sorge però spontanea:
se lo spazio delle funzioni a supporto compatto è un sottoinsieme di $L^2$, e in $L^2$ esiste una norma, perchè non utilizzare tale norma che così abbiamo anche una topologia indotta da metrica e tutti felici e contenti?
ok, sento che la mia è una domanda idiota ma ancora non capisco perchè...
se lo spazio delle funzioni a supporto compatto è un sottoinsieme di $L^2$, e in $L^2$ esiste una norma, perchè non utilizzare tale norma che così abbiamo anche una topologia indotta da metrica e tutti felici e contenti?
ok, sento che la mia è una domanda idiota ma ancora non capisco perchè...
E questo è grosso modo quello che si pensava fino a inizio Novecento. Poi però, vuoi per gli sviluppi dell'analisi funzionale, vuoi per gli sviluppi della topologia generale, vuoi per le esigenze sempre maggiori della fisica matematica, a qualcuno è venuto in mente che, in effetti, non ci siamo mica sposati con la topologia di \(L^2\). Quella è stata proprio una bella pensata visto che oggi se ne parla anche nei corsi curricolari.
Scusami ma non ho ben capito, intendi che sono sorte esigenze fisiche per cui la topologia di $L^2$ non andava più bene? 
No, intendo che l'idea di considerare altre topologie oltre a quella ha portato buoni frutti.
Scusa se divento pressante, ma potresti spiegarmi brevemente un esempio di questi vantaggi avutosi nella pratica nel considerare una diversa topologia?
E' che a queste cose mi sto appassionando parecchio anche a livello personale e comprendere gli utlizzi fisici mi interessa...
grazie comunque per la disponibilità.
E' che a queste cose mi sto appassionando parecchio anche a livello personale e comprendere gli utlizzi fisici mi interessa...
grazie comunque per la disponibilità.
E per esempio pensa alla "funzione" \(\delta\). Nel suo libro di meccanica quantistica Dirac la definiva in modo errato dal punto di vista matematico: (mi auto-quoto da un altro thread, questo)
Questa definizione non ha senso e fece storcere il naso a Von Neumann che la rigettò in pieno nel suo Mathematical foundations of quantum mechanics; stiamo parlando degli anni '20, ancora vigeva l'idea che la topologia \(L^2\) fosse più che sufficiente. Però, come studierai, nonostante questo l'idea di una "funzione delta" è egregia ed è indispensabile alla meccanica quantistica.
La soluzione è quella di considerare altre topologie oltre alla \(L^2\). Infatti, definendo lo spazio \(\mathscr{D}\) delle funzioni lisce a supporto compatto dotato di una topologia particolare, risulta consistente la definizione di \(\delta\) come funzionale lineare continuo, il che permette anche di accedere a tutte le usuali regole di calcolo e dunque di dare veste formale alle idee di Dirac.
"dissonance":
Ricordati che \(\delta\), nelle intenzioni di suo padre Paul Dirac, è una "funzione" che vale \(0\) dappertutto tranne che in \(0\), dove vale \(+\infty\) ed ha la proprietà che
\[\int_{-\infty}^\infty dx \delta(x)f(x)=f(0)\]
per ogni funzione continua \(f\).
Questa definizione non ha senso e fece storcere il naso a Von Neumann che la rigettò in pieno nel suo Mathematical foundations of quantum mechanics; stiamo parlando degli anni '20, ancora vigeva l'idea che la topologia \(L^2\) fosse più che sufficiente. Però, come studierai, nonostante questo l'idea di una "funzione delta" è egregia ed è indispensabile alla meccanica quantistica.
La soluzione è quella di considerare altre topologie oltre alla \(L^2\). Infatti, definendo lo spazio \(\mathscr{D}\) delle funzioni lisce a supporto compatto dotato di una topologia particolare, risulta consistente la definizione di \(\delta\) come funzionale lineare continuo, il che permette anche di accedere a tutte le usuali regole di calcolo e dunque di dare veste formale alle idee di Dirac.
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