Definizione di "equazione differenziale"
Ciao a voi, mi iscrivo perché cercando su google ho trovato su questo forum la definizione che più mi piace di "equazione differenziale" dato che a lezione non avevo capito benissimo e mi è sorto un dubbio.
Quindi sono qui per chiedere a qualche volenterosa anima pia di darmi una mano a comprendere un concetto che mi manda ai matti. vediamo:
La definizione che leggevo è questa:
Mi sembra quindi chiaro che l'insieme U dominio della u sia una incognita del problema.
Tuttavia se fin dall'inizio dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\), mi trovo confuso perché le varie u non è detto siano funzione $u:RR->RR$ poiché $U!=RR$ in generale. Quindi a priori perché prendo $R^{n+1}$
Faccio anche un esempio concreto dal mio prof: sia $y'=y^2$ che ha soluzione $y(t)=-1/(c+t)$.
L'equazione differenziale dice che è $f(x,y)=y2$ è una f da $f:RR×RR→RR$ ma qui si riscontra il problema che dicevo prima perché in realtà $y:(-oo,c)->RR$ e poiché t deve stare in $U$. Allora: $f:(-∞,−c)×RR→RR$
E anzi dirò di più dato che l'immagine di y è $(0,oo)$ mi pare che la funzione f (che definisce l'equazione differenziale) deve essere $f:(-∞,−c)×(0,oo)→RR$
Detto brevemente, non capisco perché dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) (*) (\(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\))per cui ho il problema di trovare i punti del quote. A me pare sbagliato a priori dire che è una funzione definita su quegli insiemi, perché a priori non so gli insiemi U e quindi non è la funzione (*)
Quindi sono qui per chiedere a qualche volenterosa anima pia di darmi una mano a comprendere un concetto che mi manda ai matti. vediamo:
La definizione che leggevo è questa:
"gugo82":
Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\).
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve EDO) d'ordine \(n\) il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolarli esplicitamente tutti gli intervalli $U$ e le funzioni \(u:U\to \mathbb{R}\) tali che:
[list=1][*:sxydg3zf] $U sube I$ con $U$ non ridotto ad un solo punto;
[/*:m:sxydg3zf]
[*:sxydg3zf] \(u\) è derivabile almeno \(n\) volte in \(U\);
[/*:m:sxydg3zf]
[*:sxydg3zf] per ogni \(t \in U\) risulta \(F(t,u(t),u^\prime (t),\ldots, u^{(n)}(t))=0\).[/*:m:sxydg3zf][/list:o:sxydg3zf]
Tale problema si indica in maniera più concisa scrivendo semplicemente \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Ogni funzione \(u\) che soddisfa le 1-3 si chiama soluzione (od anche integrale) della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).[nota]L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) un’incognita del problema.[/nota]
La classe \(\{u \text{ è soluzione di } F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\}\) si chiama integrale generale della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Mi sembra quindi chiaro che l'insieme U dominio della u sia una incognita del problema.
Tuttavia se fin dall'inizio dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\), mi trovo confuso perché le varie u non è detto siano funzione $u:RR->RR$ poiché $U!=RR$ in generale. Quindi a priori perché prendo $R^{n+1}$
Faccio anche un esempio concreto dal mio prof: sia $y'=y^2$ che ha soluzione $y(t)=-1/(c+t)$.
L'equazione differenziale dice che è $f(x,y)=y2$ è una f da $f:RR×RR→RR$ ma qui si riscontra il problema che dicevo prima perché in realtà $y:(-oo,c)->RR$ e poiché t deve stare in $U$. Allora: $f:(-∞,−c)×RR→RR$
E anzi dirò di più dato che l'immagine di y è $(0,oo)$ mi pare che la funzione f (che definisce l'equazione differenziale) deve essere $f:(-∞,−c)×(0,oo)→RR$
Detto brevemente, non capisco perché dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) (*) (\(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\))per cui ho il problema di trovare i punti del quote. A me pare sbagliato a priori dire che è una funzione definita su quegli insiemi, perché a priori non so gli insiemi U e quindi non è la funzione (*)
Risposte
C) Non ho capito perché dici che confondo dominio e immagine 
. Provo a rispiegare:
A me pare che abbiamo $F(t,y,...y^n,...y^k)=0$; immaginiamo che sia $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$.
Ora, $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))=0$
La mia idea è che $F_2(y)=1/y$, quindi il dominio è $RR-{0}$ per questa.
L'errore in realtà credo di averlo compiuto sul teorema di esistenza e unicità della soluzione per un problema di cauchy, avevo in mente una equazone a variabile separabile che avevo svolto ieri per esercizio e data la soluzione costante $y=0$ mi ero accorto di avere due intervalli $y>0$ e $y<0$ su cui lavorare a seconda della condizione iniziale. Ed erroneamente ho pensato a questo esercizio come un caso generale e riflettevo sul fatto che le $y$ avessero per immagine intervalli. Ma in realtà non è così, in generale, quello era un caso particolare dell'esercizio.
Non mi pare stessi confondendo dominio e immagine, ho piuttosto sbagliato a generalizzare una idea temo
D) per quanto riguarda il D mi scuso se sono stato poco chiaro. Volevo semplicemente dire questo (che poi è collegato al punto C):
Se io ho una equazione differenziale $y^(k)=(...)*y$ notavo che potevo portarla in forma $y^(k)/y-(...)=0$ la quale presentava il problema che dicevo nel punto precedente sul fatto che $1/y$ mi spezzava il dominio di $F$ in qualcosa che non era un intervallo (su una delle parti del prodotto cartesiano che definivano il dominio). Ma, di nuovo, avevo confuso l'esercizio che stavo svolgendo in quel momento per le equazioni a variabili separabili in cui notavo che y era una funzione che aveva per immagine un intervallo. Ma quello è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale, non una richiesta per essere EDO.
Ti ringrazio per il tuo aiuto datomi.
. Provo a rispiegare:A me pare che abbiamo $F(t,y,...y^n,...y^k)=0$; immaginiamo che sia $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$.
Ora, $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))=0$
La mia idea è che $F_2(y)=1/y$, quindi il dominio è $RR-{0}$ per questa.
L'errore in realtà credo di averlo compiuto sul teorema di esistenza e unicità della soluzione per un problema di cauchy, avevo in mente una equazone a variabile separabile che avevo svolto ieri per esercizio e data la soluzione costante $y=0$ mi ero accorto di avere due intervalli $y>0$ e $y<0$ su cui lavorare a seconda della condizione iniziale. Ed erroneamente ho pensato a questo esercizio come un caso generale e riflettevo sul fatto che le $y$ avessero per immagine intervalli. Ma in realtà non è così, in generale, quello era un caso particolare dell'esercizio.
Non mi pare stessi confondendo dominio e immagine, ho piuttosto sbagliato a generalizzare una idea temo
D) per quanto riguarda il D mi scuso se sono stato poco chiaro. Volevo semplicemente dire questo (che poi è collegato al punto C):
Se io ho una equazione differenziale $y^(k)=(...)*y$ notavo che potevo portarla in forma $y^(k)/y-(...)=0$ la quale presentava il problema che dicevo nel punto precedente sul fatto che $1/y$ mi spezzava il dominio di $F$ in qualcosa che non era un intervallo (su una delle parti del prodotto cartesiano che definivano il dominio). Ma, di nuovo, avevo confuso l'esercizio che stavo svolgendo in quel momento per le equazioni a variabili separabili in cui notavo che y era una funzione che aveva per immagine un intervallo. Ma quello è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale, non una richiesta per essere EDO.
Ti ringrazio per il tuo aiuto datomi.
@gugo82:
Siccome ho visto che non hai ancora avuto modo di leggere il mio ultimo post qui sopra, ne apporfitto per aggiungere un PS al mio ultimo messaggio qui sopra. Come avrai visto non sono molto sveglio e neppure ho una grande capacità analitica; ad ora studio sul canuto tabacco. Ma come libro va bene? Va benino? Quale mi consiglieresti? Io vorrei tanto migliorare. Te lo chiedo siccome mi avevi chiesto del mio libro.
Siccome ho visto che non hai ancora avuto modo di leggere il mio ultimo post qui sopra, ne apporfitto per aggiungere un PS al mio ultimo messaggio qui sopra. Come avrai visto non sono molto sveglio e neppure ho una grande capacità analitica; ad ora studio sul canuto tabacco. Ma come libro va bene? Va benino? Quale mi consiglieresti? Io vorrei tanto migliorare. Te lo chiedo siccome mi avevi chiesto del mio libro.
"calmierato":
C) Non ho capito perché dici che confondo dominio e immagine
L'errore in realtà credo di averlo compiuto sul teorema di esistenza e unicità della soluzione per un problema di cauchy, avevo in mente una equazone a variabile separabile che avevo svolto ieri per esercizio e data la soluzione costante $y=0$ mi ero accorto di avere due intervalli $y>0$ e $y<0$ su cui lavorare a seconda della condizione iniziale. Ed erroneamente ho pensato a questo esercizio come un caso generale e riflettevo sul fatto che le $y$ avessero per immagine intervalli. Ma in realtà non è così, in generale, quello era un caso particolare dell'esercizio.
Non mi pare stessi confondendo dominio e immagine, ho piuttosto sbagliato a generalizzare una idea temo
Non stavi confondendo tu le idee, ma le avevi espresse in maniera fumosa, confondendo le mie.
"calmierato":
Provo a rispiegare:
A me pare che abbiamo $F(t,y,...y^n,...y^k)=0$; immaginiamo che sia $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$.
Ora, $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))=0$
La mia idea è che $F_2(y)=1/y$, quindi il dominio è $RR-{0}$ per questa.
Non ha alcun senso scrivere:
$F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))$
nel caso della definizione che ho dato... Perchè?
Per favore, i simboli matematici hanno una loro sintassi che non puoi inventare o modificare sul momento. Stai attento a come scrivi ciò che vuoi dire; in altri termini, come quasi certamente amavano ripetere i tuoi docenti delle superiori, "dici bene".
"calmierato":
D) per quanto riguarda il D mi scuso se sono stato poco chiaro. Volevo semplicemente dire questo (che poi è collegato al punto C):
Se io ho una equazione differenziale $y^(k)=(...)*y$ notavo che potevo portarla in forma $y^(k)/y-(...)=0$ la quale presentava il problema che dicevo nel punto precedente sul fatto che $1/y$ mi spezzava il dominio di $F$ in qualcosa che non era un intervallo (su una delle parti del prodotto cartesiano che definivano il dominio). Ma, di nuovo, avevo confuso l'esercizio che stavo svolgendo in quel momento per le equazioni a variabili separabili in cui notavo che y era una funzione che aveva per immagine un intervallo. Ma quello è una diretta conseguenza del teorema di esistenza e unicità locale, non una richiesta per essere EDO.
Il punto è che, ad esempio, le EDO:
\[
\begin{align*}
y^\prime (t) - y(t) &= 0 & &\text{ed} & \frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 &= 0
\end{align*}
\]
non sono equivalenti... Perché?
"calmierato":
Siccome ho visto che non hai ancora avuto modo di leggere il mio ultimo post qui sopra, ne apporfitto per aggiungere un PS al mio ultimo messaggio qui sopra. Come avrai visto non sono molto sveglio e neppure ho una grande capacità analitica; ad ora studio sul canuto tabacco. Ma come libro va bene? Va benino? Quale mi consiglieresti? Io vorrei tanto migliorare. Te lo chiedo siccome mi avevi chiesto del mio libro.
Quello è un libro che, pur contenendo molte cose simpatiche, ho sempre trovato molto meh (mi riferisco all'edizione del 2014, e credo che quella più recente non si discosti troppo dalla precedente in quanto ad impianto generale)... Mancano dimostrazioni importanti, come quelle sui teoremi di esistenza per le EDO, che sono fondamentali in Analisi II perché contengono in nuce molte idee proprie dell'Analisi moderna.
Il testo può essere o non essere adeguato al tuo corso di studi a seconda di quale esso è (immagino sia qualche tipo di Ingegneria, ma dimmi tu), ma a me non piace tantissimo.
Sì non faccio matematica, però faccio fisica. Quindi vorrei in realtà coprire molte mie lacune perché un fisico non può permettersi di non sapere a menadito l'analisi. E quello che vedo è che qui è impostata un po' troppo "alla ingegnere". E' preso un po' troppo alla lettera il "zitto e calcola" 
: esercizi impestatissimi di calcolo, ma il supporto teorico lo avrei voluto più "profondo".
Come dici tu, inoltre, in analisi I ci hanno infilato dentro le edo (prima delle funzioni a due variabili che mi sono guardato da solo, e lo dico perché poi correggerò la stronziata enorme che ho detto e mi hai evidenziato). Inoltre tutti i teroemi di esistenzaa e unicità non sono stati svolti e me li sono indagati prendendo spunto da altre fonti e ho capito una enormità di cose: una tra tutte che la edo è legata alle condizioni di un prolema di cauchy. In poche parole ad analisi I ci hanno esposto i "trucchetti" da ingegnere, e non poteva che essere che così, perché io le avrei infilate ad analisi II. Però, vabbe, non sono nessuno per dire come "si fa un corso", sono solo uno che deve stare zitto e il mio compito è imparare tutto più che posso ai limiti delle mie scarse capacità intellettive. Comunque, questo per dire che sono qui non perché non ci abbia vluto pensare o altro, sto solo cercando di sopperire alle cose che non ho capito e grazie al tuo aiuto molte cose le ho messe in ordine meglio.
, a parte gli scherzi: mi ha stupito molto la profondità della tua conoscenza, perché scovare i dubbi di una persona (anche se esposti male) sono sintomo di grande conoscenza e passione per la materia e lo ammiro non poco, spero un giorno di riuscirci.
Tornando invece al discorso.
Quello che mi sembra di aver capito è che il mio errore era quel considerare il fatto che y dovesse avere per immagine intervalli. Cosa non vera in generale. Fin qua mi pare di aver corretto ora l'idea errata. Spero non mi correggerai.
Qui mi riatacco a quello chedicevo prima, e vado a sotterrarmi. Non capisco come non abbia pensato che questa è una funzione VETTORIALE! La mia idea in testa era chiara, ma la resa moooolto meno: volevo solo dire che in un caso come poteva essere: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ avevo che y aveva per immagine un intervallo. Era solo un esempio sciocco per far capire il mio dubbio sopra.
Infine, dato che nn mi sentivo pronto per analisi e l'ho rimandata (provare un esame non è nella mia indole) potrei chiederti un consiglio su un buon testo, da matematico vero?
: esercizi impestatissimi di calcolo, ma il supporto teorico lo avrei voluto più "profondo".Come dici tu, inoltre, in analisi I ci hanno infilato dentro le edo (prima delle funzioni a due variabili che mi sono guardato da solo, e lo dico perché poi correggerò la stronziata
enorme che ho detto e mi hai evidenziato). Inoltre tutti i teroemi di esistenzaa e unicità non sono stati svolti e me li sono indagati prendendo spunto da altre fonti e ho capito una enormità di cose: una tra tutte che la edo è legata alle condizioni di un prolema di cauchy. In poche parole ad analisi I ci hanno esposto i "trucchetti" da ingegnere, e non poteva che essere che così, perché io le avrei infilate ad analisi II. Però, vabbe, non sono nessuno per dire come "si fa un corso", sono solo uno che deve stare zitto e il mio compito è imparare tutto più che posso ai limiti delle mie scarse capacità intellettive. Comunque, questo per dire che sono qui non perché non ci abbia vluto pensare o altro, sto solo cercando di sopperire alle cose che non ho capito e grazie al tuo aiuto molte cose le ho messe in ordine meglio.ogni tanto faccio questo effetto
Non stavi confondendo tu le idee, ma le avevi espresse in maniera fumosa, confondendo le mie.
, a parte gli scherzi: mi ha stupito molto la profondità della tua conoscenza, perché scovare i dubbi di una persona (anche se esposti male) sono sintomo di grande conoscenza e passione per la materia e lo ammiro non poco, spero un giorno di riuscirci.Tornando invece al discorso.
Quello che mi sembra di aver capito è che il mio errore era quel considerare il fatto che y dovesse avere per immagine intervalli. Cosa non vera in generale. Fin qua mi pare di aver corretto ora l'idea errata. Spero non mi correggerai
.Non ha alcun senso scrivere $F(t,y,...y^n,...y^k)=(F_1(t),F_2(y),....,F_n(y^n),....,F_k(y^k))$
Qui mi riatacco a quello chedicevo prima, e vado a sotterrarmi. Non capisco come non abbia pensato che questa è una funzione VETTORIALE! La mia idea in testa era chiara, ma la resa moooolto meno: volevo solo dire che in un caso come poteva essere: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ avevo che y aveva per immagine un intervallo. Era solo un esempio sciocco per far capire il mio dubbio sopra.
non sono equivalenti perché $y!=0$ nel caso in cui y è a denominatore (e quindi quella soluzione va aggiunta a parte). Anche qui la mia idea era solo evidenziare che mentre in un caso la y aveva per immagine non un intervallo, nell'altro caso sembrava non averlo. Tuttavia dato che l'equazione era la stessa dovevano coincidre poi le soluzioni trovate.
\begin{align*}
y^\prime (t) - y(t) &= 0 & &\text{ed} & \frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 &= 0
\end{align*}
\]
non sono equivalenti... Perché?
Infine, dato che nn mi sentivo pronto per analisi e l'ho rimandata (provare un esame non è nella mia indole) potrei chiederti un consiglio su un buon testo, da matematico vero?
@Gugo82
Questa discussione mi ha atratto, volevo chiedere una cosa piccola piccola sulla nota
applicandola a
Quindi mi chiedevo, se come nel caso in cui dico $f:W⊆RR^2->RR$, specificatamente: $f:(RR-{0}xxRR)⊆RR^2->RR$ ovviamente ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$.
però, $y'=y/t=f(t,y(t))$ è ovviamente anche possibile dire che è $f:RR^2->RR$, quindi in questo caso il puno 2 sarebbe (in questa generlizzazione) ii) $A⊆RR=proj_1W$
volevo solo chiederti se è giusto o mi sfugge qualcosa?
Non avevo mai posto molta attenzione a questo fatto, si impara sempre qualcosa dal forum
Questa discussione mi ha atratto, volevo chiedere una cosa piccola piccola sulla nota
L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) un’incognita del problema
applicandola a
oppure come suggerisci generalizzare, quindi farei così (**): data $y'=y/t=f(t,y(t))$ ho $f:W⊆RR^2->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$Giustamente avete notato che essendo funzione esterna f, di una composizione, è legale dire: $f:RR^2->RR$.
Quindi mi chiedevo, se come nel caso in cui dico $f:W⊆RR^2->RR$, specificatamente: $f:(RR-{0}xxRR)⊆RR^2->RR$ ovviamente ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$.
però, $y'=y/t=f(t,y(t))$ è ovviamente anche possibile dire che è $f:RR^2->RR$, quindi in questo caso il puno 2 sarebbe (in questa generlizzazione) ii) $A⊆RR=proj_1W$
volevo solo chiederti se è giusto o mi sfugge qualcosa?
Non avevo mai posto molta attenzione a questo fatto, si impara sempre qualcosa dal forum
@ tachiflupec: No, non "è legale dire $f: RR^2 -> RR$". L'unico modo per farlo sarebbe prolungare in qualche modo $f$ sui punti del tipo $(0,y)$, ma ciò cambia la EDO.
@ calmierato: Per quanto riguarda il libro, potresti leggere il Pagani & Salsa, ad esempio; ma queste cose sono sul volume di Analisi II.
Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "$y$ aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando $y$ come una variabile o come una funzione?
Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.
@ calmierato: Per quanto riguarda il libro, potresti leggere il Pagani & Salsa, ad esempio; ma queste cose sono sul volume di Analisi II.
Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "$y$ aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando $y$ come una variabile o come una funzione?
Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.
@ gugo82
1) grazie per il libro
. Ne farò buon uso!
2)
avevo svolto un esercizio su edo a variabili separabili e nel problema di cauchy che ne usciva avendo soluzione costante y=0 che la variabile y prendeva vita su uno solo dei due intervalli dati da $RR-{0}$.
E non so perché da questo avevo dedotto che la y prendesse vita sempre e solo su intervalli (quindi rivedendo y come funzione soluzione dicevo che la sua immagine dovesse vivere in uno dei due intervalli, positivo o negativo di cui sopra). Ma questo non è vero: nelle separabili succede perché y=0 è soluzione e per il teorema di unicità locale le altre soluzioni non le attraversano, quindi vive in uno dei due intervalli per quel motivo.
Qui ho la condizione di esistenza di $1/y$ che mi dà sempre $RR-{0}$ ma in questo caso non si ha tutto il discorso dell'unicità che dicevo sopra e quindi nessun intervallo da considerare. Insomma, nasceva tutto da questo malinteso che avevo nella mia testa.
per concludere questo discorso: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ sarà una $F:(RRxx...xxRR-{0}xx...xxRR)->RR$
3)
Pensavo mi volessi dire che partivamo dalla medesima $y^\prime (t) - y(t) = 0$ e poi dicessi, se vado a separare le variabili e riscriverla come $\frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 = 0$ non ho la stessa cosa di prima.
E io dicevo è vero, perché sono due eq. differenziali differenti, e quando vado a dividere devo tenere conto di quella costante.
In sostanza pensavo volessi farmi ntare questo: che partendo dalla prima riscritta come la seconda averi avuto soluzioni diverse, perché mancava y=0
Spero ora di aver detto tutto giusto
1) grazie per il libro
. Ne farò buon uso!2)
Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "y aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando y come una variabile o come una funzione?sì, scusa, volevo spiegare questo:
avevo svolto un esercizio su edo a variabili separabili e nel problema di cauchy che ne usciva avendo soluzione costante y=0 che la variabile y prendeva vita su uno solo dei due intervalli dati da $RR-{0}$.
E non so perché da questo avevo dedotto che la y prendesse vita sempre e solo su intervalli (quindi rivedendo y come funzione soluzione dicevo che la sua immagine dovesse vivere in uno dei due intervalli, positivo o negativo di cui sopra). Ma questo non è vero: nelle separabili succede perché y=0 è soluzione e per il teorema di unicità locale le altre soluzioni non le attraversano, quindi vive in uno dei due intervalli per quel motivo.
Qui ho la condizione di esistenza di $1/y$ che mi dà sempre $RR-{0}$ ma in questo caso non si ha tutto il discorso dell'unicità che dicevo sopra e quindi nessun intervallo da considerare. Insomma, nasceva tutto da questo malinteso che avevo nella mia testa.
per concludere questo discorso: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ sarà una $F:(RRxx...xxRR-{0}xx...xxRR)->RR$
3)
Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.sì, certo, hai ragione ovviamente.
Pensavo mi volessi dire che partivamo dalla medesima $y^\prime (t) - y(t) = 0$ e poi dicessi, se vado a separare le variabili e riscriverla come $\frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 = 0$ non ho la stessa cosa di prima.
E io dicevo è vero, perché sono due eq. differenziali differenti, e quando vado a dividere devo tenere conto di quella costante.
In sostanza pensavo volessi farmi ntare questo: che partendo dalla prima riscritta come la seconda averi avuto soluzioni diverse, perché mancava y=0
Spero ora di aver detto tutto giusto
"calmierato":
1) grazie per il libro
Prego.
"calmierato":
2)
Per il resto, devi chiarire il linguaggio che usi. Cosa vuol dire che "y aveva per immagine un intervallo"? Stai considerando y come una variabile o come una funzione?sì, scusa, volevo spiegare questo:
avevo svolto un esercizio su edo a variabili separabili e nel problema di cauchy che ne usciva avendo soluzione costante y=0 che la variabile y prendeva vita su uno solo dei due intervalli dati da $RR-{0}$.
E non so perché da questo avevo dedotto che la y prendesse vita sempre e solo su intervalli (quindi rivedendo y come funzione soluzione dicevo che la sua immagine dovesse vivere in uno dei due intervalli, positivo o negativo di cui sopra). Ma questo non è vero: nelle separabili succede perché y=0 è soluzione e per il teorema di unicità locale le altre soluzioni non le attraversano, quindi vive in uno dei due intervalli per quel motivo.
Qui ho la condizione di esistenza di $1/y$ che mi dà sempre $RR-{0}$ ma in questo caso non si ha tutto il discorso dell'unicità che dicevo sopra e quindi nessun intervallo da considerare. Insomma, nasceva tutto da questo malinteso che avevo nella mia testa.
Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.
"calmierato":
per concludere questo discorso: $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ sarà una $F:(RRxx...xxRR-{0}xx...xxRR)->RR$
I fattori di un prodotto cartesiano non vanno inseriti "a casaccio", perché $xx$ non è commutativo.
Inoltre, è importante l'uso delle parentesi perché $(A - \{ a\}) xx B != A - \{ a\} xx B$.
"calmierato":
3)
Inoltre, non ha senso dire che "quella soluzione va aggiunta a parte", perché la soluzione nulla è soluzione di una EDO ma non dell'altra.sì, certo, hai ragione ovviamente.
Pensavo mi volessi dire che partivamo dalla medesima $y^\prime (t) - y(t) = 0$ e poi dicessi, se vado a separare le variabili e riscriverla come $\frac{y^\prime (t)}{y(t)} -1 = 0$ non ho la stessa cosa di prima.
E io dicevo è vero, perché sono due eq. differenziali differenti, e quando vado a dividere devo tenere conto di quella costante.
In sostanza pensavo volessi farmi ntare questo: che partendo dalla prima riscritta come la seconda averi avuto soluzioni diverse, perché mancava y=0
Spero ora di aver detto tutto giusto
Più o meno... Ma anche qui non so se ho capito.
P.S.: Posso chiederti che scuola hai fatto? Libero di non rispondere, è solo curiosità.
Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.hai ragione, è solo che giuro che mi sforzo
, ma non è una scusa per dire che non devo migliorare, lo so ed è vero!In realtà volevo riassumere un mega-discorso strampalato che mi ero fatto. Avevo svolto una equazione a variabili separabile per esercizio la quale aveva come soluzione costante $y=0$ poiché era qualcosa del tipo $y'/y^n=k(t)$, andando poi avanti in quell'esercizio mi trovavo quindi con un intervallo per y dato dalla condizine iniziale: $]-oo,0[$ oppure $]0,+oo[$ e mi ero così in qualche modo convinto che la y in generale appartenesse a intervalli. Ma era un caso proprio di quell'esecizio in realtà. Ho diciamo portato una parte della soluzione nella teoria generale in modo del tutto insensato.
per la seconda questione pensavo mi chiedessi: parti da questa $y′(t)−y(t)=0$ e nota che puoi riscriverla come $y′(t)=y(t) => (y′(t))/(y(t))=1 => (y′(t))/(y(t))-1=0$ secondo te sono la stessa cosa?
E mi ero risposto: no, manca rispetto all'inizio la $y=0$. Partito per questa tangente non mi ero accorto che volessi invece prenderne diretamente due diverse.
PS) ho fatto il classico
"calmierato":Non si capisce nulla di ciò che scrivi. Devi sforzarti di fare un discorso un po' più organico, perché gli altri utenti (ed io in particolare) non sono nella tua testa e nemmeno in stanza con te.hai ragione, è solo che giuro che mi sforzo
Sì, dovresti.
"calmierato":
In realtà volevo riassumere un mega-discorso strampalato che mi ero fatto. Avevo svolto una equazione a variabili separabile per esercizio la quale aveva come soluzione costante $y=0$ poiché era qualcosa del tipo $(y')/y^n=k(t)$, andando poi avanti in quell'esercizio mi trovavo quindi con un intervallo per $y$ dato dalla condizione iniziale: $]-oo,0[$ oppure $]0,+oo[$ e mi ero così in qualche modo convinto che la $y$ in generale appartenesse a intervalli. Ma era un caso proprio di quell'esercizio in realtà. Ho diciamo portato una parte della soluzione nella teoria generale in modo del tutto insensato.
In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?
"calmierato":
per la seconda questione pensavo mi chiedessi: parti da questa $y′(t)−y(t)=0$ e nota che puoi riscriverla come $y′(t)=y(t) => (y′(t))/(y(t))=1 => (y′(t))/(y(t))-1=0$ secondo te sono la stessa cosa?
E mi ero risposto: no, manca rispetto all'inizio la $y=0$. Partito per questa tangente non mi ero accorto che volessi invece prenderne direttamente due diverse.
Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?
Questa è una cosa che si vede al biennio del liceo.
"calmierato":
PS) ho fatto il classico
Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.
Devi esercitarti parecchio.
In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?vedi perché dico che sono stupido, perché non so esprimermi in modo preciso seppure mi impegni. Se non mi impegnassi e mi esprimessi da babbuino direi: beh non sono scemo, solo non mi impegno. Invece io mi impegno pure! E' proprio così, avevo scritto già l'eq. separata. però, scritto come l'ho scritto, sembrava che intendessi che partissi dall'equazione \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\)
Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?definirei due equazioni equivalenti se condividono lo stesso insieme di soluzioni.
Forse avevo spiegato male di nuovo, nel caso che avevi detto tu, pensavo che mi chiedessi:
$y′(t)−y(t)=0$ e $(y′(t))/(y(t))-1=0$ scritte così sono la stessa cosa?
Lo studente poco avveduto come me avrebbe potuto asserire "certo, ho diviso per y(t) e portato di qua e di la".
In realtà quello che volevo far notare era che non sono la stessa cosa, perché se parto dalla prima e divido ovviamente devo tener conto dell'ipotesi che $y!=0$, ma escludendo quella funzione identicamente nulla in realtà perdo una soluzione. Quindi se dalla I passo alla II devo ricordarmi di tener conto di quella funzione costante, che guardacaso provo essere una soluzione della I per sostituzione.
Se invece l'eserizio (diverso) chiede: date I e II son la stessa equazione (cioè sono equivalenti)? No, perché hanno le stesse soluzioni a meno di $y=0$ che nella prima è soluzione, nella seconda no.
Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.si vede che ne sai, perché l'hai avvertito solo da un discorso su un argomento. vuol dire che devo lavorare ben più di parecchio
Devi esercitarti parecchio.
.per fortuna ho scoperto questo forum, ho letto già molte discussioni passate e mi ha insegnato molti punti di vista diversi da quelli che avevo, spero che contiuando a far cozzare la testa sul muro mi porti a migliorare nel tempo.
"calmierato":In realtà una EDO del tipo \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\) (in cui assumo che $n \in \NN - \{0\}$ e che $k$ sia una funzione "sufficientemente buona") non può avere $y(t) = 0$ come soluzione... Quindi probabilmente stavi risolvendo \(y^\prime (t) = k(t)\ y^n(t)\)?vedi perché dico che sono stupido, perché non so esprimermi in modo preciso seppure mi impegni. Se non mi impegnassi e mi esprimessi da babbuino direi: beh non sono scemo, solo non mi impegno. Invece io mi impegno pure! E' proprio così, avevo scritto già l'eq. separata. però, scritto come l'ho scritto, sembrava che intendessi che partissi dall'equazione \(\frac{y^\prime (t)}{y^n(t)} = k(t)\)
Immaginavo.
"calmierato":Scusa, sai quando due equazioni si dicono equivalenti?definirei due equazioni equivalenti se condividono lo stesso insieme di soluzioni.
Non basta.
Le equazioni $x = 0$ e $x/(x-1) = 0$ sono equivalenti?
"calmierato":
Forse avevo spiegato male di nuovo, nel caso che avevi detto tu, pensavo che mi chiedessi:
$y′(t)−y(t)=0$ e $(y′(t))/(y(t))-1=0$ scritte così sono la stessa cosa?
Lo studente poco avveduto come me avrebbe potuto asserire "certo, ho diviso per y(t) e portato di qua e di la".
In realtà quello che volevo far notare era che non sono la stessa cosa, perché se parto dalla prima e divido ovviamente devo tener conto dell'ipotesi che $y!=0$, ma escludendo quella funzione identicamente nulla in realtà perdo una soluzione. Quindi se dalla I passo alla II devo ricordarmi di tener conto di quella funzione costante, che guarda caso provo essere una soluzione della I per sostituzione.
Se invece l'esercizio (diverso) chiede: date I e II son la stessa equazione (cioè sono equivalenti)? No, perché hanno le stesse soluzioni a meno di $y=0$ che nella prima è soluzione, nella seconda no.
Il problema è: cosa vuol dire, matematicamente parlando, "sono la stessa cosa"?
A questo serve la definizione di "equazioni equivalenti".
Ad esempio, in $ZZ_3$,[nota]Molto informalmente, $ZZ_3$ è l'insieme $\{ 0, 1, 2\}$ dotato delle operazioni di somma e prodotto definite dalle tabelline:
| $+$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $0$ | $1$ | $2$ | $1$ |
| $2$ | $0$ | $2$ | $2$ |
| $*$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $0$ | $0$ | $0$ | $1$ |
| $1$ | $2$ | $2$ | $0$ |
Si vede che $+$ e $*$ sono commutative ed associative, che hanno $0$ ed $1$ come rispettivi elementi neutri, che $0$, $1$ e $2$ hanno l'opposto (cioè $-0 = 0$, $-1 = 2$ e $-2 = 1$) e che $*$ è distributiva rispetto a $+$; quindi in $ZZ_3$ si possono definire la sottrazione (come somma con l'opposto) e le potenze (come moltiplicazioni iterate) con proprietà analoghe alle solite.
Data la struttura algebrica di $ZZ_3$, è possibile usare i numeri di $ZZ_3$ come coefficienti di polinomi e definire le solite operazioni di polinomi basandosi sulle operazioni tra i coefficienti (proprio come si fa per i polinomi a coefficienti reali, con l'unica differenza che somma e prodotto dei coefficienti sono quelli definiti dalle tabelline).[/nota] i polinomi $x^3 - x$ e $x^5 + 2x$ sono differenti (hanno gradi e termini diversi), ma le rispettive equazioni $p(x) = 0$ hanno esattamente le stesse soluzioni (quali?)... Ma difficilmente diresti che le equazioni $x^3 - x = 0$ e $x^5 + 2x = 0$ sono "la stessa equazione" (riscritta in forma diversa dopo qualche passaggio).
"calmierato":Ah... Ecco perché sembra ti manchi proprio la confidenza con il discorso matematico, con la sua costruzione.si vede che ne sai, perché l'hai avvertito solo da un discorso su un argomento. vuol dire che devo lavorare ben più di parecchio
Devi esercitarti parecchio.
per fortuna ho scoperto questo forum, ho letto già molte discussioni passate e mi ha insegnato molti punti di vista diversi da quelli che avevo, spero che continuando a far cozzare la testa sul muro mi porti a migliorare nel tempo.
L'essere testardo è una qualità dello studente, che si trova bane affiancata al saper dare tempo al tempo.
Ti rispondo e grazie per farmi pensare.
- in effetti ora che mi ci fai ragionare direi che serve anche che abbiano lo stesso "insieme di definizione". A questo punto correggerei il tiro con: diciamo che due equazioni sono equivalenti se condividono lo stesso insieme di esistenza di soluzioni e lo stesso sottinsieme di quest'ultmo detto insieme soluzione
L'unica cosa che non mi convince però è che mi sembra che dici che
- la seconda ho pensato di risolverla come fosse in $RR$ e poi sostituendovi i valori per $ZZ$
Quindi la prima mi viene $x=0, x=1, x=-1$
La seconda non sono sicuro sia una furbaa quella ccheho fatto ma sono arrivato a $x=0, x^4=-2$ e ho pensato di sostituire $-2=1$ come dato dalle tabelle, a questo punto arrivo a $x=0, x=1, x=-1$.
L'unica cosa su cui sono dubbioso è questa: ma perché se a un certo punto se sostituisco $-2=1$ riesco ad andare avnati mentre se mantengo -2 finisco nei complessi?
- infine ho due domande sulla tabella: noto dalla tabella che ho simmetria quindi dedurrei che sono operazioni per cui vale la cmmutatività, anche gli opposti li capisco perché sommando un opposto ho lo 0 in rispettiva riga e colonna (cioè l'elemento neutro della mia operazione +)
non capisco però come hai dedotto dalla tabella la 1) associatività 2)distributività e 3)definire un opposto come -(qualcosa)[nota]ah, no ok, forse per questo ci sono: tu hai chiamato -2 scelto in modo arbitrario il simbolo "-" senza significato di operazione per ora: è solo un nome che dai a 1 perché sommato con 2 mi dà 0. Poi definisci quando scrivo quella che è una "operazione sottrazione" es. se avessi 2-2 e dici 2+(1)="3"=0 (l "3" non esiste e torno a zero).[/nota], ci ho provato ma non ci riesco.
e grazie per farmi pensare.- in effetti ora che mi ci fai ragionare direi che serve anche che abbiano lo stesso "insieme di definizione". A questo punto correggerei il tiro con: diciamo che due equazioni sono equivalenti se condividono lo stesso insieme di esistenza di soluzioni e lo stesso sottinsieme di quest'ultmo detto insieme soluzione
L'unica cosa che non mi convince però è che mi sembra che dici che
Ma difficilmente diresti che le equazioni x^3−x=0 e x^5+2x=0 sono "la stessa equazione"non sono comunque la "stessa equazione", però con la definizione che ora mi sono dato lo sarebbero. Non capisco quindi se va bene così o devo aggiungere qualche altra condizione per far si che queste due non siano equivalenti. Perché per me, cioè con la mia def., lo sarebbero.
- la seconda ho pensato di risolverla come fosse in $RR$ e poi sostituendovi i valori per $ZZ$
Quindi la prima mi viene $x=0, x=1, x=-1$
La seconda non sono sicuro sia una furbaa quella ccheho fatto ma sono arrivato a $x=0, x^4=-2$ e ho pensato di sostituire $-2=1$ come dato dalle tabelle, a questo punto arrivo a $x=0, x=1, x=-1$.
L'unica cosa su cui sono dubbioso è questa: ma perché se a un certo punto se sostituisco $-2=1$ riesco ad andare avnati mentre se mantengo -2 finisco nei complessi?
- infine ho due domande sulla tabella: noto dalla tabella che ho simmetria quindi dedurrei che sono operazioni per cui vale la cmmutatività, anche gli opposti li capisco perché sommando un opposto ho lo 0 in rispettiva riga e colonna (cioè l'elemento neutro della mia operazione +)
non capisco però come hai dedotto dalla tabella la 1) associatività 2)distributività e 3)definire un opposto come -(qualcosa)[nota]ah, no ok, forse per questo ci sono: tu hai chiamato -2 scelto in modo arbitrario il simbolo "-" senza significato di operazione per ora: è solo un nome che dai a 1 perché sommato con 2 mi dà 0. Poi definisci quando scrivo quella che è una "operazione sottrazione" es. se avessi 2-2 e dici 2+(1)="3"=0 (l "3" non esiste e torno a zero).[/nota], ci ho provato ma non ci riesco.
Per quanto riguarda la tabella: esplora le possibilità.
Per verificare l'associatività e la distributività, visto che le operazioni sono commutative, devi controllare esplicitamente solo $18$ casi per ognuna (se non ho sbagliato i conti).
Per quanto riguarda l'opposto, quella lì è la definizione: "si chiama opposto di $x$ ogni elemento $bar(x)$ che sommato ad $x$ dà $0$"; l'opposto si denota con $-x$ e poi si dimostra che di opposti ce n'è al più uno solo.
Per verificare l'associatività e la distributività, visto che le operazioni sono commutative, devi controllare esplicitamente solo $18$ casi per ognuna (se non ho sbagliato i conti).
Per quanto riguarda l'opposto, quella lì è la definizione: "si chiama opposto di $x$ ogni elemento $bar(x)$ che sommato ad $x$ dà $0$"; l'opposto si denota con $-x$ e poi si dimostra che di opposti ce n'è al più uno solo.
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