Definizione di "equazione differenziale"
Ciao a voi, mi iscrivo perché cercando su google ho trovato su questo forum la definizione che più mi piace di "equazione differenziale" dato che a lezione non avevo capito benissimo e mi è sorto un dubbio.
Quindi sono qui per chiedere a qualche volenterosa anima pia di darmi una mano a comprendere un concetto che mi manda ai matti. vediamo:
La definizione che leggevo è questa:
Mi sembra quindi chiaro che l'insieme U dominio della u sia una incognita del problema.
Tuttavia se fin dall'inizio dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\), mi trovo confuso perché le varie u non è detto siano funzione $u:RR->RR$ poiché $U!=RR$ in generale. Quindi a priori perché prendo $R^{n+1}$
Faccio anche un esempio concreto dal mio prof: sia $y'=y^2$ che ha soluzione $y(t)=-1/(c+t)$.
L'equazione differenziale dice che è $f(x,y)=y2$ è una f da $f:RR×RR→RR$ ma qui si riscontra il problema che dicevo prima perché in realtà $y:(-oo,c)->RR$ e poiché t deve stare in $U$. Allora: $f:(-∞,−c)×RR→RR$
E anzi dirò di più dato che l'immagine di y è $(0,oo)$ mi pare che la funzione f (che definisce l'equazione differenziale) deve essere $f:(-∞,−c)×(0,oo)→RR$
Detto brevemente, non capisco perché dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) (*) (\(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\))per cui ho il problema di trovare i punti del quote. A me pare sbagliato a priori dire che è una funzione definita su quegli insiemi, perché a priori non so gli insiemi U e quindi non è la funzione (*)
Quindi sono qui per chiedere a qualche volenterosa anima pia di darmi una mano a comprendere un concetto che mi manda ai matti. vediamo:
La definizione che leggevo è questa:
"gugo82":
Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\).
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve EDO) d'ordine \(n\) il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolarli esplicitamente tutti gli intervalli $U$ e le funzioni \(u:U\to \mathbb{R}\) tali che:
[list=1][*:sxydg3zf] $U sube I$ con $U$ non ridotto ad un solo punto;
[/*:m:sxydg3zf]
[*:sxydg3zf] \(u\) è derivabile almeno \(n\) volte in \(U\);
[/*:m:sxydg3zf]
[*:sxydg3zf] per ogni \(t \in U\) risulta \(F(t,u(t),u^\prime (t),\ldots, u^{(n)}(t))=0\).[/*:m:sxydg3zf][/list:o:sxydg3zf]
Tale problema si indica in maniera più concisa scrivendo semplicemente \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Ogni funzione \(u\) che soddisfa le 1-3 si chiama soluzione (od anche integrale) della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).[nota]L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) un’incognita del problema.[/nota]
La classe \(\{u \text{ è soluzione di } F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\}\) si chiama integrale generale della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Mi sembra quindi chiaro che l'insieme U dominio della u sia una incognita del problema.
Tuttavia se fin dall'inizio dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\), mi trovo confuso perché le varie u non è detto siano funzione $u:RR->RR$ poiché $U!=RR$ in generale. Quindi a priori perché prendo $R^{n+1}$
Faccio anche un esempio concreto dal mio prof: sia $y'=y^2$ che ha soluzione $y(t)=-1/(c+t)$.
L'equazione differenziale dice che è $f(x,y)=y2$ è una f da $f:RR×RR→RR$ ma qui si riscontra il problema che dicevo prima perché in realtà $y:(-oo,c)->RR$ e poiché t deve stare in $U$. Allora: $f:(-∞,−c)×RR→RR$
E anzi dirò di più dato che l'immagine di y è $(0,oo)$ mi pare che la funzione f (che definisce l'equazione differenziale) deve essere $f:(-∞,−c)×(0,oo)→RR$
Detto brevemente, non capisco perché dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) (*) (\(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\))per cui ho il problema di trovare i punti del quote. A me pare sbagliato a priori dire che è una funzione definita su quegli insiemi, perché a priori non so gli insiemi U e quindi non è la funzione (*)
Risposte
Sai che esistono funzioni definite in intervalli che hanno codominio tutto $RR$, vero?
Rifletti su questo.
P.S.: Aver citato un mio post senza scrivere il nome dell'autore è un peccato mortale.
Rifletti su questo.
P.S.: Aver citato un mio post senza scrivere il nome dell'autore è un peccato mortale.
Non so come citare col nome ammetto 
. Ho corretto aggiungendolo in grassetto.
Però sai che sono talmente scemo che non ho capito il tuo spunto?
Perché a me sembra che i problemi mi nascano sul dominio non sul codominio! Forse mi sono spiegato male? O non vedo qualcosa
. Ho corretto aggiungendolo in grassetto.Però sai che sono talmente scemo che non ho capito il tuo spunto?
Perché a me sembra che i problemi mi nascano sul dominio non sul codominio! Forse mi sono spiegato male? O non vedo qualcosa
"calmierato":
Non so come citare col nome ammetto
Basta scrivere un tag del genere:
[quote=gugo82]
all’inizio della citazione.
"calmierato":
Però sai [strike]che sono talmente scemo[/strike] che non ho capito il tuo spunto?
Perché a me sembra che i problemi mi nascano sul dominio non sul codominio! Forse mi sono spiegato male? O non vedo qualcosa
Se $u : I -> RR$, il vettore[nota]Sarebbe più corretto dire “la funzione vettoriale definita in $I$”, ma ci capiamo lo stesso.[/nota]$(x,u(x))$ in che insieme ha valori?
E se $u$ ha derivata prima $u’ : I -> RR$, il vettore[nota]Come sopra.[/nota] $(x,u(x), u’(x))$ in che insieme prende valori?
E se $u$ ha derivata seconda… Etc.
"gugo82":
P.S.: Aver citato un mio post senza scrivere il nome dell'autore è un peccato mortale.
ho corretto tutto, spero di ricevere la grazia
"gugo82":
Se $u : I -> RR$, il vettore $(x,u(x))$ in che insieme ha valori?
E se $u$ ha derivata prima $u’ : I -> RR$, il vettore $(x,u(x), u’(x))$ in che insieme prende valori?
E se $u$ ha derivata seconda… Etc.
Uh forse ora ho capito il tuo spunto sul codominio e ti rispondo:
1) in modo generico $(x,u(x))$ ha valori in $IxxRR$
2) idem $IxxRR^2$
però io mi incespico su questa cosa: data la genericità di $u(x)$ una cerca $u_0(x)$ potrebbe avere codominio $H$ a quel punto ovviamente i valori sarebbero $RRxxH$ di quel "vettore" da te proposto.
Bene, su questo non ci sono problemi, però quando vado a definire una funzione con quella $u_0(x)$ specifica non posso più dire quanto segue: $F(x,u_0(x))in RR$ non è una funzione $F:(RxxRR)->RR$ perché il suo dominio claudica, essa è una funzione $F:(IxxH)->RR$. Ecco io su questo stavo sindacando.
Quando scrivo "Siano I⊆R un intervallo ed F:I×R^(n+1)→RR" sembra che dica che tutte le equazioni differenziali hanno le u con codominio in $RR$, invece non è così.
Inoltre per fare l'esempio concreto io ho l'equazione differenziale che proponevo: $y^k=f(t,y)$ cioè $y'=y^2$ evidentemtne è del tipo $f(t,y)=y^2$ e il prof dice che è (come da definizione da te data) una $f:IxxR->RR$, ma noi scopriamo che $y(t)=-1/(t+c)$ quindi il codominio di y non è R ma un certo H.
Quindi in modo piu corretto avrei scritto che $f:IxxH->RR$, perché scrivere $f:IxxR->RR$ non la renderebbe una funzione ben definita avendo un mega-problema sul dominio. Non so se spiego il dubbio
Cerca di non confondere codominio ed immagine.
E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
"gugo82":vero, che stupidaggine che ho detto, pensavo all'insieme codominio in realtà perché diceva posso avere un codominio $H⊆RR$, però il fatto è che addirittura quello che devo considerare è un insieme ancora più ristretto (ma la domanda cambia di poco perché $Im(f)⊆H⊆RR$): l'immagine di $u(x)$. Però il dubbio rimane, sostituendo nel messaggio precednete codominio con immagine, il senso è quello. Non mi ci ritrovo perché $u(x)$ ha una certa immagine e quando dico che ho la funzione $F(*,u(x),*,*...)$ io continuo a ritenere che l'immagine di u è importante per definirla. Quindi non capisco come risolvere questo problemozzo.
Cerca di non confondere codominio ed immagine.
[ADD]
"gugo82":vorrei ragionare su due punti:
E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
1)
leggendo e rileggendo questo messaggio, perché ero sicuro nascondesse la soluzione, forse (e udite bene dico forse) ho capito, vediamo se finalmente mi dici che non sto dicendo stubidaggini.
Allora, quando dico che l'equazione differenziale è quella funzione $F(x,u(x),u'(x),...)∈RR$ (che nel nostro esempio banalotto è $f(t,y)=y^2$) in effetti è giusto dire che è una funzione $F:I×RR^(n+1)→RR$, ovviamente non una $F:RR×RR^(n+1)→RR$, questo perché la funzione esterna $F$ ha dominio $I×RR^(n+1)$, poi componendola con le varie $u(x)$ , $u'(x)$ non mi dà grandi problemi perché resta sempre da $F:I×RR^(n+1)→RR$, solamente che subentra la condizione di componibilità: quando compongo la funzione F con u per ottenere la funzione composta $F(x,u(x),u'(x),...)$, in effetti il dominio di F non è richiesto coincida con il codominio [o ancora meglio con l'immagine delle u(x)], basta che il dominio di F contenga l'immagine delle u. Cosa che in effetti è rispettata.
Per farla breve con un esempio: $f(t,y)=y^2$ è di base $f:IxxRR->RR$, come detto, poi è sì vero che la soluzone y sarà: $y:(−∞,c)→(0,+oo)⊆RR$ (oppure $y:(c,+oo)→(-∞,0)⊆RR$) a seconda della condizione iniziale, e ha condizione di componibilità che richiede che il dominio di f contenga l'immagine della y, ma questo è vero infatti $Im(y)=(-oo,0)⊆RR$ (oppure come detto$Im(y)=(0,+oo)⊆RR$). Da qui in poi scegliamo: $y:(−∞,c)→(0,+oo)⊆RR$ per non ripetere sempre (oppure).
Sicuramente è giusto quindi scrivere $f:I×(0,+oo)→RR$ se guardo f come la funzione ristretta sul dominio di composizione, ma lo è altrettanto scrivere $f:IxxRR->RR$, per la f in generale.
Insomma non era necessario ma solo un di più la scrittura riportata.
Sbaglio?
2)
Mi sembra giusto tranne un'ultima cosetta da sistemare (a meno che non mi dici che ho detto cose tutte sbagliate) ed è la seguente sulla quale nel discorso precedente ho soprasseduto per non mischiare i dubbi tra composizione e questo:
io come detto so che $y:(−∞,c)→(0,+oo)⊆RR$ questo allora limita i valori di t che saranno t.c $t in (−∞,c)$; ma quindi dire che per l'esercizio $y'=y^2$ è una $f(t,y)=y^2$ del tipo $f:RRxxRR->RR$ come vedo nella soluzione del libro, a priori è sbagliato perché qui non mi salva più il discorso della composizione, f deve essere definita come: $f:(−∞,c)xxRR->RR$.
Non capisco quindi come salvare la scrittura $f:RRxxRR->RR$ sul primo R del prodotto cartesiano stavolta, il secondo è dato dal discorso (1) della composizione e se corretto direi che ora mi torna.
Volevo fare un up perché non ho ricevuto più risposta, ma nel frattempo avevo modificato il messaggio precedente correggendo alcuni errori.
Spero @gugo82 avrai ancora modo di leggermi
. Volevo riuscire a capire queste cose.
Spero @gugo82 avrai ancora modo di leggermi
. Volevo riuscire a capire queste cose.
Scusa, ma sai cos'è una funzione?
Sai che non se ne può cambiare arbitrariamente il dominio o il codominio e sperare di avere sempre lo stesso oggetto tra le mani?
Se lo sai, perché continui a modificare il problema sperando che tutto resti sempre uguale?
1)
leggendo e rileggendo questo messaggio, perché ero sicuro nascondesse la soluzione, forse (e udite bene dico forse) ho capito, vediamo se finalmente mi dici che non sto dicendo stubidaggini.
Allora, quando dico che l'equazione differenziale è quella funzione $ F(x,u(x),u'(x),...) in RR $[...][/quote]
Infatti, quest'ultima cosa la dici solo tu.
Io non l'ho mai scritta.
Appunto.
Sì.
Dominio e codominio della funzione $f(t,y)$ sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimento.
Il problema è che ti manca la chiarezza sui fatti algebrici di base (come si fa e sotto quali condizioni è possibile la composizione di funzioni)... Quindi dovresti mettere un punto qui e tornare a ripetere i primi capitoli del testo di riferimento del primo anno (o del testo delle superiori) sulle funzioni.
Sai che non se ne può cambiare arbitrariamente il dominio o il codominio e sperare di avere sempre lo stesso oggetto tra le mani?
Se lo sai, perché continui a modificare il problema sperando che tutto resti sempre uguale?
"calmierato":vorrei ragionare su due punti:
[ADD]
[quote="gugo82"]E non confondere la condizione di componibilità di applicazioni con il dominio della componente esterna.
1)
leggendo e rileggendo questo messaggio, perché ero sicuro nascondesse la soluzione, forse (e udite bene dico forse) ho capito, vediamo se finalmente mi dici che non sto dicendo stubidaggini.
Allora, quando dico che l'equazione differenziale è quella funzione $ F(x,u(x),u'(x),...) in RR $[...][/quote]
Infatti, quest'ultima cosa la dici solo tu.
Io non l'ho mai scritta.
"calmierato":
[...] (che nel nostro esempio banalotto è $ f(t,y)=y^2 $) in effetti è giusto dire che è una funzione $ F:I×RR^(n+1)→RR $, ovviamente non una $ F:RR×RR^(n+1)→RR $, questo perché la funzione esterna $ F $ ha dominio $ I×RR^(n+1) $, poi componendola con le varie $ u(x) $ , $ u'(x) $ non mi dà grandi problemi perché resta sempre da $ F:I×RR^(n+1)→RR $, solamente che subentra la condizione di componibilità: quando compongo la funzione F con u per ottenere la funzione composta $ F(x,u(x),u'(x),...) $, in effetti il dominio di F non è richiesto coincida con il codominio [o ancora meglio con l'immagine delle u(x)], basta che il dominio di F contenga l'immagine delle u. Cosa che in effetti è rispettata.
Appunto.
"calmierato":
Per farla breve con un esempio: $ f(t,y)=y^2 $ è di base $ f:IxxRR->RR $, come detto, poi è sì vero che la soluzione $y$ sarà: $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ (oppure $ y:(c,+oo)→(-oo,0) sube RR $) a seconda della condizione iniziale, e ha condizione di componibilità che richiede che il dominio di f contenga l'immagine della $y$, ma questo è vero infatti $ Im(y)=(-oo,0) sube RR $ (oppure come detto$ Im(y)=(0,+oo) sube RR $). Da qui in poi scegliamo: $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ per non ripetere sempre (oppure).
Sicuramente è giusto quindi scrivere $ f:I×(0,+oo) -> RR $ se guardo f come la funzione ristretta sul dominio di composizione, ma lo è altrettanto scrivere $ f:IxxRR->RR $, per la f in generale.
Insomma non era necessario ma solo un di più la scrittura riportata.
Sbaglio?
Sì.
Dominio e codominio della funzione $f(t,y)$ sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimento.
"calmierato":
2)
Mi sembra giusto tranne un'ultima cosetta da sistemare (a meno che non mi dici che ho detto cose tutte sbagliate) ed è la seguente sulla quale nel discorso precedente ho soprasseduto per non mischiare i dubbi tra composizione e questo:
io come detto so che $ y:(−oo ,c) -> (0,+oo) sube RR $ questo allora limita i valori di t che saranno t.c $ t in (−oo ,c) $; ma quindi dire che per l'esercizio $ y'=y^2 $ è una $ f(t,y)=y^2 $ del tipo $ f: RR xx RR->RR $ come vedo nella soluzione del libro, a priori è sbagliato perché qui non mi salva più il discorso della composizione, f deve essere definita come: $ f:(−∞,c)xxRR->RR $.
Non capisco quindi come salvare la scrittura $ f:RRxxRR->RR $ sul primo R del prodotto cartesiano stavolta, il secondo è dato dal discorso (1) della composizione e se corretto direi che ora mi torna.
Il problema è che ti manca la chiarezza sui fatti algebrici di base (come si fa e sotto quali condizioni è possibile la composizione di funzioni)... Quindi dovresti mettere un punto qui e tornare a ripetere i primi capitoli del testo di riferimento del primo anno (o del testo delle superiori) sulle funzioni.
Scusa, ma sai cos'è una funzione?mi sembra di sì per entrambe. Vediamo:
Sai che non se ne può cambiare arbitrariamente il dominio o il codominio e sperare di avere sempre lo stesso oggetto tra le mani?
Una funzione è una relazione "f" ossia un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, detti nello specifico A dominio e B codominio della funzione, che rispetti la definizione seguente: per ogni a in A esiste unico b in B t.c $(a,b) in f$. data l'unicità di b in relazione con la data f e la a è in uso scrivere: per ogni a in A esiste unico b in B t.c $f(a)=b$.
Certamente non si può cambiare dominio e codominio ed è quello su cui stavo puntalizzando in tutta questa discussione. Non mi torna che a priori si diano un dominio e codominio che poi alla fin fine sono sbagliati per il problema,e quindi non mi torna la definizione di equazione differenziale con quella funzione F che si da all'inizio per il motivo che tu evidenzi
, questo è l'assurdo.Però provo a chiarire meglio perché probabilmente sbaglio qualcosa di talmente stupido che non riesco a farti capire il mio dubbio.
Il problema è che ti manca la chiarezza sui fatti algebrici di base (come si fa e sotto quali condizioni è possibile la composizione di funzioni)anche qua, vado sempre a memoria come sopra, ma mi sembra id averle abbastanza in mente queste cose, vediamo:
la composizione $f∘g$ è possibile se il codominio di g è contenuto nel dominio di f, o meglio basta che il dominio di f contenga l'immagine di g. Inoltre il dominio di $f∘g$ è l'insieme ${x| x in dom(f) t.c f(x) in dom(g)}$.
Dominio e codominio della funzione f(t,y) sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimento.Esattamente, ed è questo che stavo dicendo dall'inizio. Perché non riesco davvero a vedere in che modo non cambi se inizialmente ne diamo una definizione e poi col la risoluzione scopriamo che la F data all'inizio come definizione ha un dominio differente: quella F dell'inizio non andava bene! Questo dico.
Io parto definendo l'equazione differenziale dicendo che è un $F:I×RR^(n+1)→RR$, e quindi qualcosa del tipo: $F(x,u(x),u'(x),...)∈RR$. A priori non so i domini delle varie u.
Quando trovo le soluzioni trovo che le $u^l(x)$ potrebbero avere dominio $A$ che non è tutto $RR$ (e nemmeno tutto $I$) e anche immagine $B$ che di nuovo non è tutto $RR$.
Ora, F è una composizione con le funzioni $u^l(x)$, siccome come detto la composizione è possibile se l'immagine di $u^l(x)$ sta nel dominio della $F$ allora non ho problemi ad accettare che la F sia $F:I×RR^(n+1)→RR$, ma potrei essere più specifico e definire una funzione $F':I×B^(n+1)→RR$ (prima ho fatto un abuso di notazione ma ovviamente non era la stessa F proprio perché variavo il dominio!).
nota a latere: scrivo $B^(n+1)$ perché le u sono derivabili sul loro dominio quindi hanno stesso dominio le funzioni derivate prima, seconda ecc..
Il discorso che faccio sopra per una variabile è il seguente:
- immaginiamo $F: A ->RR$ e $g: B -> im(g)=L$ (ove F ha la funzione di F e g la funzione delle u)
- quando scrivo $(F∘g)(x)=F(g(x)):B->RR$ e se guardo la F di tale composizione $F(g(x))$ ho che $F: A ->RR$ ma potrei benissimo restringere il dominio alla immagine di g e dire che $F': L ->RR$ (poco male).
Inoltre il fatto che $im(g)=L$ possa essere più piccolo dell'insieme $A$ dominio di F non ci tange minimamente, F rimane sempre $F: A ->RR$ perché come ribadito "basta che il dominio di F contenga l'immagine di g per avere composizione".
Il problema invece sorge su $I$ della scrittura $F:I×RR^(n+1)→RR$, perché quello non è parte della composizione con altre funzioni. E quindi è la definizione vera e propria del dominio di F che devo decidere a priori, non è come per la parte del dominio che basta copra l'immagine delle varie u. Qui I deve "essere dato fin dall'inizio"[nota]qui forzo un po' la dicitura ma penso sia chiaro quello che intendo, mentre per le u posso scoprire dopo il loro dominio e codominio e non mi dà problemi perché F posso definirla su $R^(n+1)$, per I devo dire già dall'inizio che è un certo I perché mi serve per definire F[/nota].
Ora il professore scrive: $f(t,y)=y^2$ è del tipo $ f:RR×RR→RR$ e io è qui che non capisco, perché nella soluzione scopriamo che (come detto consideriamo la soluzione per condizione iniziale positiva della y) $y:(−∞,c)→(0,+∞)⊆RR$ qui non mi salva più il discorso della composizione, f deve essere definita come: $f:(−∞,c)×RR→RR$, e sono costretto a dire che sia così dato che ho scoperto che t non può variare su tutto $RR$ dato che è t in $(−∞,c)$. Ecco quindi che mi viene in mente quello che giustamente hai osservato:
Dominio e codominio della funzione f(t,y) sono dati del problema, non ha alcun senso cambiarli a proprio piacimentoè sacrosanto, ma con il metodo del prof invece il dominio cambia a suo piacimento: prima dice che l'eq. differenziale è $ f:RR×RR→RR$ e dopo, svolta la soluzione, sono costretto a ritrattare perché t non corre su tutto $RR$ (per rendere sensata la soluzione y) e quindi: $f:(−∞,c)×RR→RR$: ho cambiato il dominio!
IO invece dico: fin dall'inizio secondo me devo dire $f:I×RR→RR$! Perché la funzione $f:RR×RR→RR$ è insensata, non esiste, non posso scriverla.
E' qui che mi incastro! Spero di esser stato più chiaro
Rileggiti la definizione che ho dato, perché non l'hai capita.
E, ripeto: una EDO non è una funzione.
Poi, con tutta la buona volontà, non mi è chiaro perché ti crei problemi il comporre una $f:RR xx RR -> RR$ con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]-oo,c[$ ed a valori in $]-oo,c[ xx RR$... Certo, se $]-oo,c[ xx RR$ non fosse contenuto in $RR xx RR$ sarebbe un problema; ma mica è così!?!
E, ripeto: una EDO non è una funzione.
Poi, con tutta la buona volontà, non mi è chiaro perché ti crei problemi il comporre una $f:RR xx RR -> RR$ con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]-oo,c[$ ed a valori in $]-oo,c[ xx RR$... Certo, se $]-oo,c[ xx RR$ non fosse contenuto in $RR xx RR$ sarebbe un problema; ma mica è così!?!
Ho aspettato un po' a rispondere non perché non mi interessasse, rimane una mia priorita capire 
, però volevo ragionarci qualche giorno prima di dire fesserie. E noto che non ci sono ancora e vorrei gentilmente chiederti ulteriore aiuto. Ho provato a riformulare un po' i dubbi...
Sì, in effetti sono stato poco preciso: diciamo che la edo è il problema ma io mi appoggio su quella dannata F che non riesco a farmi tornare il perché sia definita, come nel caso specifico in $f:RRxxRR->RR$
Il punto non è tanto che mi dia fastidio $f:(−∞,c)×RR→RR$
Per passi:
- inizialmente dico che è $ f:RR×RR→RR$
- scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$
- allora f è: $f:(−∞,c)×RR→RR$
- qui viene il probema, ma se $f:(−∞,c)×RR→RR$ allora quello che dicevo all'inzio come assunzione iniziale è sbagliata $ f:RR×RR→RR$ perché non è una f corretta quella detta.
In sostanza quello che vglio dire è questo: $f:RR×RR→RR$ è una $f(t,y(t))=y^2$, in effetti t, messa così, corre su tutto $RR$ efin qui ci siamo. Tuttavia essendo y funzione di t: y(t), allora $f(t,y(t))=g(t)$ cioè in realtà è tutta funzione di t, se io scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$ noto che le $t in (-oo,c)$ ergo $g(t)$ ha dominio nelle t per cui vale la soluzione quindi $t in (-oo,c)$ e non $t in RR$ e quindi ancora $f(t,y(t))$ non può essere $f:RR×RR→RR$ (ho appena detto che le t corrono da -oo a c!) ma essere solo e soltanto $f:(−∞,c)×RR→RR$.
E il mio dubbio è quindi: ma perché invece all'inizio dico $f:RR×RR→RR$ che è FALSO?
, però volevo ragionarci qualche giorno prima di dire fesserie. E noto che non ci sono ancora e vorrei gentilmente chiederti ulteriore aiuto. Ho provato a riformulare un po' i dubbi...Sì, in effetti sono stato poco preciso: diciamo che la edo è il problema ma io mi appoggio su quella dannata F che non riesco a farmi tornare il perché sia definita, come nel caso specifico in $f:RRxxRR->RR$
Il punto non è tanto che mi dia fastidio $f:(−∞,c)×RR→RR$
Per passi:
- inizialmente dico che è $ f:RR×RR→RR$
- scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$
- allora f è: $f:(−∞,c)×RR→RR$
- qui viene il probema, ma se $f:(−∞,c)×RR→RR$ allora quello che dicevo all'inzio come assunzione iniziale è sbagliata $ f:RR×RR→RR$ perché non è una f corretta quella detta.
In sostanza quello che vglio dire è questo: $f:RR×RR→RR$ è una $f(t,y(t))=y^2$, in effetti t, messa così, corre su tutto $RR$ efin qui ci siamo. Tuttavia essendo y funzione di t: y(t), allora $f(t,y(t))=g(t)$ cioè in realtà è tutta funzione di t, se io scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$ noto che le $t in (-oo,c)$ ergo $g(t)$ ha dominio nelle t per cui vale la soluzione quindi $t in (-oo,c)$ e non $t in RR$ e quindi ancora $f(t,y(t))$ non può essere $f:RR×RR→RR$ (ho appena detto che le t corrono da -oo a c!) ma essere solo e soltanto $f:(−∞,c)×RR→RR$.
E il mio dubbio è quindi: ma perché invece all'inizio dico $f:RR×RR→RR$ che è FALSO?
L'ho già consigliato di andarti a studiare di nuovo il la nozione di funzione composta, no?!?
Ed anche di capire la definizione di EDO che ho dato, no?!?
Ecco, fallo.
E, dato che ci sei, anche una lettura della nozione di restrizione non sarebbe inappropriata.
Ed anche di capire la definizione di EDO che ho dato, no?!?
Ecco, fallo.
E, dato che ci sei, anche una lettura della nozione di restrizione non sarebbe inappropriata.
Mi viene da piangere perché in questi due giorni me le sono già rilette penso 10 volte e darei la stessa risposta che avreevo dato nella pagina precedente (su composizione e cosa è una funzione) QUI: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8666969 è così sbagliata? io ti giuro che non trovo l'errore in quanto ho scritto nel post di quel link. Mi vien voglia di sbattere la testa sul muro!
E anche la definizione di EDO a me sembra chiara, la edo è il problema di trovare le funzioni soluzione con i relativi domini per cui rispettino i tre punti del tuo post.
Aggungo inoltre quello che so della restrizione: data una funzione $h:A->B$ e un sottoinsieme di A, sia esso K. Diciamo restrizione la funzione $h':K->B$ con $h'(x)=h(x) forall x in K$
Ti chiedo qundi se puoi per favore darmi uno spunto o un puno preciso dove ho sbagliato nelle definizioni che ho dato, perché veramente, a me sembrano chiare e invece a quanto pare sbaglio ma non capisco dove.
Da fuori forse non sembra, e sicuramente non puoi avermi visto farlo, ma ti garantisco che ci ragiono da giorni. Prima di scrivere mi faccio mille domande e mi do risposte (errate a quanto pare), ma ci ho ragonato tanto e continuo a farlo.
E anche la definizione di EDO a me sembra chiara, la edo è il problema di trovare le funzioni soluzione con i relativi domini per cui rispettino i tre punti del tuo post.
Aggungo inoltre quello che so della restrizione: data una funzione $h:A->B$ e un sottoinsieme di A, sia esso K. Diciamo restrizione la funzione $h':K->B$ con $h'(x)=h(x) forall x in K$
Ti chiedo qundi se puoi per favore darmi uno spunto
o un puno preciso dove ho sbagliato nelle definizioni che ho dato, perché veramente, a me sembrano chiare e invece a quanto pare sbaglio ma non capisco dove.Da fuori forse non sembra, e sicuramente non puoi avermi visto farlo, ma ti garantisco che ci ragiono da giorni. Prima di scrivere mi faccio mille domande e mi do risposte (errate a quanto pare), ma ci ho ragonato tanto e continuo a farlo.
Gli spunti ti sono stati dati, così come le indicazioni su cosa sbagli.
Ma il problema è che dimostri di non aver chiari i fondamentali... Quelli vanno fissati quando si comincia, perché dopo è un casino.
Facciamo così: ragioniamo su un esempio concreto.
Cos'è l'equazione differenziale:
\[
y^\prime (t) = \frac{y(t)}{t}\; ?
\]
P.S.: Ah, tieni anche presente che queste EDO sono in forma normale, cioè $y'(t) = f(t,y(t))$, che è un po' meno generale della forma implicita $F(t, y(t),y'(t))=0$.
P.P.S.: Da che libro studi?
Ma il problema è che dimostri di non aver chiari i fondamentali... Quelli vanno fissati quando si comincia, perché dopo è un casino.
Facciamo così: ragioniamo su un esempio concreto.
Cos'è l'equazione differenziale:
\[
y^\prime (t) = \frac{y(t)}{t}\; ?
\]
P.S.: Ah, tieni anche presente che queste EDO sono in forma normale, cioè $y'(t) = f(t,y(t))$, che è un po' meno generale della forma implicita $F(t, y(t),y'(t))=0$.
P.P.S.: Da che libro studi?
Ti ringrazio gugo82!
Mi piacerebbe dare una definizione simile anche per:
data $f(t,y(t))=y/t$, ho $f:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR->RR$ e dire quindi, l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che bla bla bla....
Però avendo una cosa che non è un intevallo mi manda in crisi.
Se però la porto in forma generale: $y'*t-y=0$ ho $F(t,y,y')=0$ quindi direi $F:RR^3->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR$, iii) $forall t∈A => F(t,y,y')=0$
PS: Uso il canuto tabacco, ma credo che il problema sia mia più che del libro in sé. Perché come dicevo ho letto e riletto e letto le definizioni che mi hai indicato e usato la tua bella definizione di EDO. E mi ritrovo con quei dubbi, quindi più che la fonte sbaglio io!
PPS: credo invece di aver capito solo ora cosa dicevi riguardo la composizione.
Quello che pensavo era che dovevo comporre solo la soluzione y (e non il vettore (t,y) )con la f e anche un po' il fatto che non ho ancora studiato la composizione di funzioni a due variabili (sto facendo analisi 1) e quindi mi sa che ho fatto dei pasticci. La mia idea mi pare giusta ma compivo un errore madornale che credo di aver individuato in quanto segue:
Come dicevo essendo f funzione di f e di t posso renderla come una unica funzione g di t: $f(t,y(t))=g(t)$, questo in effetti posso farlo componendo con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]−∞,c[$ ed a valori in $]−∞,c[×RR$, otterrei così la g(t) con $t in ]−∞,c[$, il punto è che non avendo dimestichezza con la composizione di funzioni a più variabili io componenvo poi f con la sola $y(t)$ e quindi dicevo il fatto che la $y:(−∞,c)→(0,+∞)⊆R$ non ci crea problemi sulla seconda R del prodotto cartesiano in $f:*xxRR->RR$ (infatti l'immagine di y sta in R del secondo prodotto cartesiano del dominio della funzione f esterna e la compongo senza problemi) tuttavia non sapevo come gestire la parte che indico con $*$. Questo perché la f inizialmente la definivo come $f:RRxxRR->RR$, ma ora avendo $t in ]−∞,c[$ mi accorgevo che dovevo in qualche modo restringere l'intervallo su cui valevano le t e quindi prendevo una funzione ristretta $f':]−∞,c[xxRR->RR$ e mi dicevo: "ok bell'affare che ho fatto ma così variando il dominio non ho più la funzione iniziale! se cambio dominio cambio funzione!"
Il punto fondamentale era invece che $f:RRxxRR->RR$ è la funzione esterna e proprio come per quelle a una variabile mi basta che il dominio della funzione esterna contenga l'immagine di quella interna, e la funzione interna è quella vettoriale: $k:=(t,y(t))$ quindi $k: ]−∞,c[ -> ]−∞,c[×RR$
e il gioco è fatto:
- $f:RRxxRR->RR$
- la posso comporre con la funzine vettoriale e otterei la $g(t)$ che dicevo $f∘k:]−∞,c[->RR$
- infine posso definire una f' ristretta $f':(−∞,c)×(0,+oo)→R$ che ha per dominio esattamente l'immagine della funzione vettoriale.
Mi sembra che questo finalmente ora sia giusto! vero?
Gli spunti ti sono stati dati, così come le indicazioni su cosa sbagli.questo l'ho compreso, ma potrei chiederti cosa sbaglio sui fondamentali? Perché non voglio fare le cose fatte male, e voglio davvero davverissimo capire cosa sbaglio.
Ma il problema è che dimostri di non aver chiari i fondamentali... Quelli vanno fissati quando si comincia, perché dopo è un casino.
l'equazione differenziale in esame, in forma normale, il che mi crea un piccolo dubbio sul fatto che non so come gestire il fatto che non ho un intervallo: data $f(t,y(t))=y/t$, ho $f:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR->RR$, vorrei chiederti: come lo risolvo in tal caso?
Facciamo così: ragioniamo su un esempio concreto.
Cos'è l'equazione differenziale:
\[
y^\prime (t) = \frac{y(t)}{t}\; ?
\]
Mi piacerebbe dare una definizione simile anche per:
data $f(t,y(t))=y/t$, ho $f:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR->RR$ e dire quindi, l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che bla bla bla....
Però avendo una cosa che non è un intevallo mi manda in crisi.
Se però la porto in forma generale: $y'*t-y=0$ ho $F(t,y,y')=0$ quindi direi $F:RR^3->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR$, iii) $forall t∈A => F(t,y,y')=0$
PS: Uso il canuto tabacco, ma credo che il problema sia mia più che del libro in sé. Perché come dicevo ho letto e riletto e letto le definizioni che mi hai indicato e usato la tua bella definizione di EDO. E mi ritrovo con quei dubbi, quindi più che la fonte sbaglio io!
PPS: credo invece di aver capito solo ora cosa dicevi riguardo la composizione.
Quello che pensavo era che dovevo comporre solo la soluzione y (e non il vettore (t,y) )con la f e anche un po' il fatto che non ho ancora studiato la composizione di funzioni a due variabili (sto facendo analisi 1) e quindi mi sa che ho fatto dei pasticci. La mia idea mi pare giusta ma compivo un errore madornale che credo di aver individuato in quanto segue:
Come dicevo essendo f funzione di f e di t posso renderla come una unica funzione g di t: $f(t,y(t))=g(t)$, questo in effetti posso farlo componendo con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]−∞,c[$ ed a valori in $]−∞,c[×RR$, otterrei così la g(t) con $t in ]−∞,c[$, il punto è che non avendo dimestichezza con la composizione di funzioni a più variabili io componenvo poi f con la sola $y(t)$ e quindi dicevo il fatto che la $y:(−∞,c)→(0,+∞)⊆R$ non ci crea problemi sulla seconda R del prodotto cartesiano in $f:*xxRR->RR$ (infatti l'immagine di y sta in R del secondo prodotto cartesiano del dominio della funzione f esterna e la compongo senza problemi) tuttavia non sapevo come gestire la parte che indico con $*$. Questo perché la f inizialmente la definivo come $f:RRxxRR->RR$, ma ora avendo $t in ]−∞,c[$ mi accorgevo che dovevo in qualche modo restringere l'intervallo su cui valevano le t e quindi prendevo una funzione ristretta $f':]−∞,c[xxRR->RR$ e mi dicevo: "ok bell'affare che ho fatto ma così variando il dominio non ho più la funzione iniziale! se cambio dominio cambio funzione!"
Il punto fondamentale era invece che $f:RRxxRR->RR$ è la funzione esterna e proprio come per quelle a una variabile mi basta che il dominio della funzione esterna contenga l'immagine di quella interna, e la funzione interna è quella vettoriale: $k:=(t,y(t))$ quindi $k: ]−∞,c[ -> ]−∞,c[×RR$
e il gioco è fatto:
- $f:RRxxRR->RR$
- la posso comporre con la funzine vettoriale e otterei la $g(t)$ che dicevo $f∘k:]−∞,c[->RR$
- infine posso definire una f' ristretta $f':(−∞,c)×(0,+oo)→R$ che ha per dominio esattamente l'immagine della funzione vettoriale.
Mi sembra che questo finalmente ora sia giusto! vero?
@calmierato: E chi ha detto che sbagli?
Ho detto che non li hai chiari... E lo dimostra il semplice fatto che consideri come caso "a parte" la composizione di funzioni di due variabili, quando è sempre la stessa cosa.
Quello che hai scritto nel P.P.S. è corretto, fino all'ultimo punto dell'elenco in cui perdi lucidità. Cosa te ne vorresti fare precisamente di $g$ (come l'hai chiamata più sopra, o $f'$ come l'hai chiamata poi)? Perché ti pare così importante?
Quella funzione composta è quella che ti consente di "fare la verifica", cioè di testare che una funzione che hai trovato sia davvero una soluzione: una $y:I -> RR$ derivabile in $I$ è soluzione se e solo se $y'(t) = f(t,y(t)) = g(t)$ per ogni $t in I$. Quindi è ovvio che essa debba avere dominio $I$, così com'è ovvio che essa è una funzione composta e che $f$ è la sua componente più esterna (quindi il dominio di $f$ è tenuto solo a soddisfare la condizione di componibilità, mica ad essere definita per forza nello stesso $I$ di $y$!?!).
Per quanto riguarda il resto, il fatto che $f$ non abbia dominio del tipo $I xx RR$ si gestisce in maniera del tutto ovvia, cioè generalizzando la definizione. Prova.
Ho detto che non li hai chiari... E lo dimostra il semplice fatto che consideri come caso "a parte" la composizione di funzioni di due variabili, quando è sempre la stessa cosa.
Quello che hai scritto nel P.P.S. è corretto, fino all'ultimo punto dell'elenco in cui perdi lucidità. Cosa te ne vorresti fare precisamente di $g$ (come l'hai chiamata più sopra, o $f'$ come l'hai chiamata poi)? Perché ti pare così importante?
Quella funzione composta è quella che ti consente di "fare la verifica", cioè di testare che una funzione che hai trovato sia davvero una soluzione: una $y:I -> RR$ derivabile in $I$ è soluzione se e solo se $y'(t) = f(t,y(t)) = g(t)$ per ogni $t in I$. Quindi è ovvio che essa debba avere dominio $I$, così com'è ovvio che essa è una funzione composta e che $f$ è la sua componente più esterna (quindi il dominio di $f$ è tenuto solo a soddisfare la condizione di componibilità, mica ad essere definita per forza nello stesso $I$ di $y$!?!).
Per quanto riguarda il resto, il fatto che $f$ non abbia dominio del tipo $I xx RR$ si gestisce in maniera del tutto ovvia, cioè generalizzando la definizione. Prova.
Ciao Gugo82, grazie per la risposta. Ieri purtroppo non sono riuscito a scrivere qui perché sono tornato a casa deflagrato D: alle 9.30pm avendo avuto il lab di fisica 1 + viggio e non ho avuto la forza mentale di connettermi. Recupero oggi che arrivo ad un orario più umano!
- con g intendo $f(t,y(t))=g(t)$ cioè $g:=f∘k$, ove $ k:=(t,y(t))$ e $f∘k:]−∞,c[→R$.
- con f' la restrizione di f (funzione esterna): $f':(−∞,c)×(0,+∞)→R$.
Chiarito ciò ti rispondo alla utile domanda che poni: in realtà non volevo farmene nulla, l'ho scritta per dire che quella f' che prima ritenenvo fondamentale (nelle pagine addietro) in realtà non lo era minimamente, e che f non coincideva con f'. Era solo una osservazione aggiuntiva[nota](ma non c'entra con i punti precedenti di quell'elenco)[/nota] che esisteva e non era quella che prima ritenevo (erroneamente) f.
quanto al resto:
a)
oppure come suggerisci generalizzare, quindi farei così (**): data $y'=y/t=f(t,y(t))$ ho $f:W⊆RR^2->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$
b) generalizzando il generalizzato mi pare che anche nel caso in cui io abbia una eq. diff. non in forma normale[nota]in forma anormale[/nota] del tipo:
$y^(k)+...+y^(n)/t+....=0$ posso dire che ho $F:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR^(k+1)->RR$ ($F:W->RR$) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$
c) Qui rimane un ultimo dubbio che mi è sorto ragionando su queste cose, siccome sappiamo che la soluzione y(t) ha per dominio un intervallo, se io avessi $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ a qeusto punto mi si crea il dilemma che $yinRR-{0}$ che evidentmente non è un intervallo e decade la definizione di equazione differenziale consona. In questo caso, data questa equazione, per renderla equazione differenziale, mi chiedo, devo dare la sua espressioen $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ ma aggiungere anche ad essa che $yin(-oo,0)$ oppure $yin(0,+oo)$? Cioè devo dare anche "l'intervallo di lavoro" immagino.
d) Infine mi chiedo, se avessi invece qualcosa del tipo: $y^(k)=(...)*y$ mi verrebbe da dire che ho una equazione differenziale con $f:W⊆RR^2->RR$ (**) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$.
però, se la porto nella forma generale ho: $y^(k)/y-(...)=0$ che evidentemente mi si riporta nel caso precedente di non avere un intervallo. Da questo dico, la definizione di equazione differenziale data come in (**) mi sembra pericolosa perché potrebbe portare a questo errore.
Cosa te ne vorresti fare precisamente di g (come l'hai chiamata più sopra, o f' come l'hai chiamata poi)? Perché ti pare così importante?per resettare la nomeclatura:
- con g intendo $f(t,y(t))=g(t)$ cioè $g:=f∘k$, ove $ k:=(t,y(t))$ e $f∘k:]−∞,c[→R$.
- con f' la restrizione di f (funzione esterna): $f':(−∞,c)×(0,+∞)→R$.
Chiarito ciò ti rispondo alla utile domanda che poni: in realtà non volevo farmene nulla, l'ho scritta per dire che quella f' che prima ritenenvo fondamentale (nelle pagine addietro) in realtà non lo era minimamente, e che f non coincideva con f'. Era solo una osservazione aggiuntiva[nota](ma non c'entra con i punti precedenti di quell'elenco)[/nota] che esisteva e non era quella che prima ritenevo (erroneamente) f.
una y:I→R derivabile in I è soluzione se e solo se y'(t)=f(t,y(t))=g(t) per ogni t∈I. Quindi è ovvio che [...] essa è una funzione compostabellissima osservazione, che dall'inizio non ho fatto e quindi mi ha portato fuori strada: $y'(t)=f(t,y(t))=g(t)$! Scrivendolo in modo esteso avrei dovuto capirlo fin da subito che era una composizione, ma mi sono inerpicato in sentieri pieni di ginepri!
(quindi il dominio di f è tenuto solo a soddisfare la condizione di componibilità, mica ad essere definita per forza nello stesso I di y!?!)sì, certo, basta che f abbia dominio che include l'immagine della funione vettoriale interna!
quanto al resto:
a)
il fatto che f non abbia dominio del tipo I×R si gestisce in maniera del tutto ovvia, cioè generalizzando la definizione. Prova.riprendendo l'esercizio del tuo ultimo messaggio, come dicevo potrei portarla in forma normale
Se però la porto in forma generale: $y'*t-y=0$ ho $F(t,y,y')=0$ quindi $F:W⊆RR^3->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR$, iii) $forall t, t∈A => F(t,y,y')=0$
oppure come suggerisci generalizzare, quindi farei così (**): data $y'=y/t=f(t,y(t))$ ho $f:W⊆RR^2->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$
b) generalizzando il generalizzato mi pare che anche nel caso in cui io abbia una eq. diff. non in forma normale[nota]in forma anormale
[/nota] del tipo:$y^(k)+...+y^(n)/t+....=0$ posso dire che ho $F:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR^(k+1)->RR$ ($F:W->RR$) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$
c) Qui rimane un ultimo dubbio che mi è sorto ragionando su queste cose, siccome sappiamo che la soluzione y(t) ha per dominio un intervallo, se io avessi $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ a qeusto punto mi si crea il dilemma che $yinRR-{0}$ che evidentmente non è un intervallo e decade la definizione di equazione differenziale consona. In questo caso, data questa equazione, per renderla equazione differenziale, mi chiedo, devo dare la sua espressioen $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ ma aggiungere anche ad essa che $yin(-oo,0)$ oppure $yin(0,+oo)$? Cioè devo dare anche "l'intervallo di lavoro" immagino.
d) Infine mi chiedo, se avessi invece qualcosa del tipo: $y^(k)=(...)*y$ mi verrebbe da dire che ho una equazione differenziale con $f:W⊆RR^2->RR$ (**) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$.
però, se la porto nella forma generale ho: $y^(k)/y-(...)=0$ che evidentemente mi si riporta nel caso precedente di non avere un intervallo. Da questo dico, la definizione di equazione differenziale data come in (**) mi sembra pericolosa perché potrebbe portare a questo errore.
Guarda che come si faccia la generalizzazione l'ho scritto in nota nella definizione che hai citato all'inizio.
Non l'hai letta?
Non l'hai letta?
Ammetto che quotando non mi ero accorto che era finita sotto una parte (nota). L'ho letta ed era l'idea che avevo, solo che l'ho partorita male.
Ho modificato il precedente rendendo l'idea che avevo (punt a e b) che mi pare ora coincidano con quello che hai scritto. Rimangono però mi pare i dubbi su c) d) se hai voglia di leggere di nuovo il precedente.
grazie mille, e scusa la svista che ho fatto nel precedente.
Ho modificato il precedente rendendo l'idea che avevo (punt a e b) che mi pare ora coincidano con quello che hai scritto. Rimangono però mi pare i dubbi su c) d) se hai voglia di leggere di nuovo il precedente.
grazie mille, e scusa la svista che ho fatto nel precedente.
C) Confondi dominio e condominio/immagine in maniera imbarazzante, visto da quanto tempo se ne discute.
Poi, è ovvio che alla condizione in nota vada aggiunta anche una condizione che garantisca la componibilità con $F$; lì dentro non ho approfondito la questione perché non interessava (e difatti sta in nota).
Ad esempio, riprendendo la notazione, puoi scrivere che $AA t in U$ deve risultare $(t, y(t), y'(t), ... , y^((n))(t)) in Omega$ e questo è tutto.
D) Quello che scrivi semplicemente non ha senso. Ma rileggi prima di postare? Il tasto "Anteprima" serve anche a questo.
Poi, è ovvio che alla condizione in nota vada aggiunta anche una condizione che garantisca la componibilità con $F$; lì dentro non ho approfondito la questione perché non interessava (e difatti sta in nota).
Ad esempio, riprendendo la notazione, puoi scrivere che $AA t in U$ deve risultare $(t, y(t), y'(t), ... , y^((n))(t)) in Omega$ e questo è tutto.
D) Quello che scrivi semplicemente non ha senso. Ma rileggi prima di postare? Il tasto "Anteprima" serve anche a questo.
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