Definizione di punto di accumulazione e limite
ciao,
vorrei gentilmente che qualcuno di voi mi confermasse la correttezza delle seguenti definizioni:
a) $x_0\in\bar\mathbb{R}$ è un punto di accumulazione di $A\subseteq\mathbb{R}$ se e solo se $\forall I_\delta(x_0)\in I(x_0):A\cap I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}\ne\emptyset$
b) siano $f:dom f\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $x_0\in\bar\mathbb{R}$ e $\lambda\in\bar\mathbb{R}$. allora $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lambda$ se e soltanto se $\forall I_\epsilon(\lambda)\in I(\lambda):\exists I_\delta(x_0)\in I(x_0):\forall x\in dom f:x\in I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}\rightarrow f(x)\in I_\epsilon(\lambda)$
in entrambe le definizioni con $\bar\mathbb{R}$ indico l'insieme $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-infty\}$, con $I_\epsilon(\lambda)$ un intorno specifico di $\lambda$ e infine con $I(\lambda)$ l'insieme degli intorni di $\lambda$.
grazie.
vorrei gentilmente che qualcuno di voi mi confermasse la correttezza delle seguenti definizioni:
a) $x_0\in\bar\mathbb{R}$ è un punto di accumulazione di $A\subseteq\mathbb{R}$ se e solo se $\forall I_\delta(x_0)\in I(x_0):A\cap I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}\ne\emptyset$
b) siano $f:dom f\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $x_0\in\bar\mathbb{R}$ e $\lambda\in\bar\mathbb{R}$. allora $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lambda$ se e soltanto se $\forall I_\epsilon(\lambda)\in I(\lambda):\exists I_\delta(x_0)\in I(x_0):\forall x\in dom f:x\in I_\delta(x_0)\setminus\{x_0\}\rightarrow f(x)\in I_\epsilon(\lambda)$
in entrambe le definizioni con $\bar\mathbb{R}$ indico l'insieme $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-infty\}$, con $I_\epsilon(\lambda)$ un intorno specifico di $\lambda$ e infine con $I(\lambda)$ l'insieme degli intorni di $\lambda$.
grazie.
Risposte
E' tutto corretto, soltanto bisogna fare attenzione a prendere $x_0$ punto di accumulazione per $dom f$ nella b).
ok grazie.
"Gaal Dornick":
E' tutto corretto, soltanto bisogna fare attenzione a prendere $x_0$ punto di accumulazione per $dom f$ nella b).
Non si è obbligati, a voler essere pignoli.
Serve se qualcuno è affezionato all'idea (che si impara alle elementari, ma prima o poi bisogna crescere. Un po' come per il catechismo) che il limite sia unico.
Vedasi:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... tml#175937
e segg.
Wow, me l'ero perduto!
Quindi in un Houssdorf il limite è unico, e c'è una condizione necessaria per l'unicità del limite?
Quindi in un Houssdorf il limite è unico, e c'è una condizione necessaria per l'unicità del limite?
"Gaal Dornick":
Quindi in un Houssdorf il limite è unico, e c'è una condizione necessaria per l'unicità del limite?
Hausdorff, you mean?
Beh, ci vorrà qualcosa di più che Hausdorff, per l'unicità. Il punto deve essere di accumulazione.
O vuoi dire che, ammesso di avere un punto di accumulazione, c'è anche bisogno di un qualche assioma di separazione? In questo caso mi sa che $T_1$ potrebbe essere sufficiente, non serve $T_2$ (cioè, Hausdorff), direi.
Però non mi sento di dare risposte a spanne. Occorre precisare bene tutti i termini della questione.
Detto questo, lascio la parola ai tanti che si divertiranno ad approfondire la questione. Ogni tanto mi tocca lavorare...
Beh, se uno spazio non è T1, significa dire che ci sono (almeno) due punti che la topologia non distingue. Meglio:
$X$ non è uno spazio T1 equivale a: esistono $p, q\inX$, $p!=q$ tali che ogni aperto contenente $p$ contiene pure $q$. No? Allora, è chiaro che l'unicità del limite è andata gambe all'aria: la successione costante $p$ converge (almeno) a $p$ e a $q$. Perciò abbiamo trovato una funzione che ha almeno due limiti distinti, e quindi per l'unicità del limite l'ipotesi che lo spazio di arrivo sia T1 è necessaria.
P.S.: E però la condizione non è sufficiente, ammesso che io stia centrando il nocciolo della questione... tempo fa parlammo (qui) di successioni in spazi T1 che convergono ad ogni punto dello spazio. Quindi, anche parlando di limiti in punti di accumulazione (come $infty$ per $NN$), la condizione T1 non basta, evidentemente F.P. ha qualche altro asso nella manica. Comunque carino il fatto che, se $x_0$ non è di accumulazione per il dominio di $f:X\toY$, allora $lim_{x\tox_0}f(x)="il nome del tuo gatto qui"$
$X$ non è uno spazio T1 equivale a: esistono $p, q\inX$, $p!=q$ tali che ogni aperto contenente $p$ contiene pure $q$. No? Allora, è chiaro che l'unicità del limite è andata gambe all'aria: la successione costante $p$ converge (almeno) a $p$ e a $q$. Perciò abbiamo trovato una funzione che ha almeno due limiti distinti, e quindi per l'unicità del limite l'ipotesi che lo spazio di arrivo sia T1 è necessaria.
P.S.: E però la condizione non è sufficiente, ammesso che io stia centrando il nocciolo della questione... tempo fa parlammo (qui) di successioni in spazi T1 che convergono ad ogni punto dello spazio. Quindi, anche parlando di limiti in punti di accumulazione (come $infty$ per $NN$), la condizione T1 non basta, evidentemente F.P. ha qualche altro asso nella manica. Comunque carino il fatto che, se $x_0$ non è di accumulazione per il dominio di $f:X\toY$, allora $lim_{x\tox_0}f(x)="il nome del tuo gatto qui"$
"dissonance":
P.S.: E però la condizione non è sufficiente, ammesso che io stia centrando il nocciolo della questione... tempo fa parlammo (qui) di successioni in spazi T1 che convergono ad ogni punto dello spazio. Quindi, anche parlando di limiti in punti di accumulazione (come $infty$ per $NN$), la condizione T1 non basta, evidentemente F.P. ha qualche altro asso nella manica.
No, non ho nessun asso nella manica, tanto è vero che mi sono espresso in forma dubitativa e ho invocato una analisi accurata della questione.
"Fioravante Patrone":
Vedasi:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... tml#175937
e segg.
Come dimenticare i miei deliri
"Fioravante Patrone":
No, non ho nessun asso nella manica, tanto è vero che mi sono espresso in forma dubitativa e ho invocato una analisi accurata della questione.
ahia... e allora la faccenda non è proprio semplicissima... avevo inteso che fosse nota qualche ipotesi aggiuntiva, oltre la proprietà T1, che fosse condizione necessaria e sufficiente. Se non è così io non saprei proprio da dove incominciare
ma quindi se volessi estendere la definizione di limite al caso (ad esempio) di limite sinistro basta semplicemente che nelle ipotesi richieda che $x_0\in D(domf\cap I_{x_0}(-\infty))$ anzichè $x_0\in D(domf)$ lasciando inalterato il resto?
p.s.: per $D(A)\subseteq\bar\mathbb{R}$ intendo l'insieme derivato dell'insieme $A$, cioè l'insieme dei punti di accumulazione di $A$
p.s.: per $D(A)\subseteq\bar\mathbb{R}$ intendo l'insieme derivato dell'insieme $A$, cioè l'insieme dei punti di accumulazione di $A$
of course
Ti sembra strano?
Non cambia nulla. Semplicemente, è la solita def di limite, tenendo conto della restrizione che, per qualche nobile motivo, hai deciso di imporre, ovvero che ti interessa solo cosa fa la funzione a sx del punto.
Ti sembra strano?
Non cambia nulla. Semplicemente, è la solita def di limite, tenendo conto della restrizione che, per qualche nobile motivo, hai deciso di imporre, ovvero che ti interessa solo cosa fa la funzione a sx del punto.
riflettendoci sopra credo invece che per quanto riguarda la definizione di limite sinistro/destro sia necessario apportare alcune modifiche rispetto alla definizione di limite generale.
innanzitutto occorre richiedere tra le ipotesi che $x_0\in\mathbb{R}$ anzichè $x_0\in\bar\mathbb{R}$, e questo per evitare la possibilità di scrivere cose del tipo $\lim_{x\rightarrow\pm\infty^\pm}f(x)$; in secondo luogo come già dicevo la volta scorsa deve essere $x_0\in D(dom f\cap I_{x_0}(\pm\infty))$ anzichè semplicemente $x_0\in D(dom f)$.
ma poi anche la definizione cambia in quanto bisogna tenere in considerazione soltanto gli intorni sinistri/destri del punto di accumulazione e non gli intorni completi; la definizione diventa quindi: $\lim_{x\rightarrow x_0^\pm}f(x)=l$ se e soltanto se $\forall I_\epsilon(l)\in I(l):\exists I_\delta^\pm(x_0)\in I^\pm(x_0):\forall x\in\dom f:x\in I_\delta^\pm(x_0)\rightarrow f(x)\in I_\epsilon(l)$.
sono corrette secondo voi le mie considerazioni?
p.s. ho bisogno di continue conferme in quanto purtroppo non sono riuscito a trovare un libro che tratti decentemente queste cose, e quindi sono costretto a procedere da solo.
innanzitutto occorre richiedere tra le ipotesi che $x_0\in\mathbb{R}$ anzichè $x_0\in\bar\mathbb{R}$, e questo per evitare la possibilità di scrivere cose del tipo $\lim_{x\rightarrow\pm\infty^\pm}f(x)$; in secondo luogo come già dicevo la volta scorsa deve essere $x_0\in D(dom f\cap I_{x_0}(\pm\infty))$ anzichè semplicemente $x_0\in D(dom f)$.
ma poi anche la definizione cambia in quanto bisogna tenere in considerazione soltanto gli intorni sinistri/destri del punto di accumulazione e non gli intorni completi; la definizione diventa quindi: $\lim_{x\rightarrow x_0^\pm}f(x)=l$ se e soltanto se $\forall I_\epsilon(l)\in I(l):\exists I_\delta^\pm(x_0)\in I^\pm(x_0):\forall x\in\dom f:x\in I_\delta^\pm(x_0)\rightarrow f(x)\in I_\epsilon(l)$.
sono corrette secondo voi le mie considerazioni?
p.s. ho bisogno di continue conferme in quanto purtroppo non sono riuscito a trovare un libro che tratti decentemente queste cose, e quindi sono costretto a procedere da solo.
un'altra cosa su cui forse non ho riflettuto abbastanza è questa: per intorno (ad esempio) sinistro $I_{\delta}^{-}(x_0)$ di un punto $x_0\in\mathbb{R}$ si intende $(x_0-\delta,x_0)$ oppure $(x_0-\delta,x_0]$? nell'intervento precedente ho dato per scontato che la risposta corretta fosse la prima, ma se in realtà fosse la seconda allora probabilmente dovrei modificare ancora qualcosa...
Da un punto di vista strettamente teorico, un "intorno sinistro" di $x_0$ dovrebbe contenere il punto $x_0$, però tieni presente che per definire il limite tu sei interessato al comportamento di $f$ per $x!=x_0$. Quindi: o specifichi che per ogni $epsilon$ esiste $delta$ tale che per $x$ nell'intorno sinistro, $x!=x_0$ eccetera, oppure consideri come intorni sinistri solo cose come $(x_0-delta, x_0)$ e buonanotte. Non sono un esperto, ma mi pare un dettaglio su cui non vale la pena perdere troppo tempo.
Invece per le considerazioni di prima, non capisco cosa significhi $x_0\inD(domf∩I_{x0}(±&\infty))$... il fatto che $x_0$ sia di accumulazione per l'ins. di definizione della $f$ non ti basta? Perché?
Invece per le considerazioni di prima, non capisco cosa significhi $x_0\inD(domf∩I_{x0}(±&\infty))$... il fatto che $x_0$ sia di accumulazione per l'ins. di definizione della $f$ non ti basta? Perché?
da una breve ricerca su google sembra proprio che la definizione esatta di intorno sinistro/destro di un punto $x_0$ sia quella che tiene in considerazione anche il punto $x_0$... mi adeguerò di conseguenza.
per quanto riguarda la seconda domanda, prendiamo ad esempio la funzione $f(x)=\sqrt(x)$, definita per $x\geq 0$. $x_0=0$ è un punto di accumulazione per il $dom f$, e infatti ha senso calcolare $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. tuttavia non ha senso calcolare $\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)$ proprio in quanto $0\notin D(dom f\cap I_0(-\infty))$ ($0\notin\emptyset$).
per quanto riguarda la seconda domanda, prendiamo ad esempio la funzione $f(x)=\sqrt(x)$, definita per $x\geq 0$. $x_0=0$ è un punto di accumulazione per il $dom f$, e infatti ha senso calcolare $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$. tuttavia non ha senso calcolare $\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)$ proprio in quanto $0\notin D(dom f\cap I_0(-\infty))$ ($0\notin\emptyset$).
Non c'è dubbio alcuno che gli intorni dx o sx di un punto debbano contenere il punto.
Questo vale sempre in ogni spazio topologico (non facciamoci fregare dagli "intorni" di $oo$ o di $+oo$ o di $-oo$: è un modo di dire, che volendo può anche essere integrato in una visione topologica sfruttando opportune compattificazioni di $RR$).
Ma, quando si studia un limite, non si è mai interessati a cosa avviene nel punto.
Poi, naturalmente, limiti, limiti dx, limiti sx, etc., sono tutti la stessa cosa, se visti con gli occhiali giusti.
Questo vale sempre in ogni spazio topologico (non facciamoci fregare dagli "intorni" di $oo$ o di $+oo$ o di $-oo$: è un modo di dire, che volendo può anche essere integrato in una visione topologica sfruttando opportune compattificazioni di $RR$).
Ma, quando si studia un limite, non si è mai interessati a cosa avviene nel punto.
Poi, naturalmente, limiti, limiti dx, limiti sx, etc., sono tutti la stessa cosa, se visti con gli occhiali giusti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo