Definizione di insieme normale

[Sk_Anonymous]

Il libro di esercizi marcellini sbordone dice che un insieme si dice normale rispetto all'asse x se si può scrivere come $a<=x<=b$, $g(x)<=y<=h(x)$ dove le funzioni devono soddisfare certe condizioni.... Il pagani-salsa, incece, dice il contrario, scambiando la x con la y. Non si è dunque raggiunto un comune accordo su questa definizione?

[Plepp]

A quanto pare...

[gugo82]

A parte l'accordo nella terminologia, che è un punto di scarso interesse, mi preme far notare che la questione è essenzialmente geometrica; cioé, lo "essere normale" è una proprietà geometrica e si traduce in una condizione analitica solo in seconda battuta.

Precisamente, nel caso \(N=2\), la definizione potrebbe essere data così:

Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) ed \(r\) una retta.
Si dice che \(\Omega\) è un insieme normale rispetto alla retta \(r\) se e solo se, per ogni retta \(s\bot r\), l'intersezione \(\Omega \cap s\) o è vuota o è un segmento (eventualmente degenere in un punto).

Ad esempio, la semicorona in figura:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([3,3],[-3,-3],4.2426); arc([2,2],[-2,-2],2.8284); line([2,2],[3,3]); line([-3,-3],[-2,-2]);
stroke="black"; line([-6,-7],[8,7]);[/asvg]
è un insieme normale rispetto alla retta lì tracciata, come si vede facendo muovere lo slider t nel seguente riquadro (sperando funzioni):

[geogebra][/geogebra]
D'altra parte, la medesima semicorona non è normale alla retta tracciata di seguito:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([3,3],[-3,-3],4.2426); arc([2,2],[-2,-2],2.8284); line([2,2],[3,3]); line([-3,-3],[-2,-2]);
stroke="black"; line([-1,-7],[-1,7]);[/asvg]
ed il perché dovrebbe potersi intuire dalla seguente figura:
[asvg]noaxes();
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([3,3],[-3,-3],4.2426); arc([2,2],[-2,-2],2.8284); line([2,2],[3,3]); line([-3,-3],[-2,-2]);
stroke="black"; line([-1,-7],[-1,7]);
stroke="orange"; line([2.5,2.5],[1.323,2.5]); line([-1.323,2.5],[-3.43,2.5]);
stroke="lightgrey"; strokewidth=0.5; line([-6,2.5],[6,2.5]);[/asvg]

Chiaramente, una volta introdotti due assi cartesiani nel piano (non necessariamente ortogonali), si può parlare di insiemi normali all'asse \(x\) e di insiemi normali all'asse \(y\), ritenendo definiti gli uni e gli altri come quegli insiemi normali ai due assi del riferimento scelto secondo la definizione precedente.
Ad esempio, introducendo gli assi come segue:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([3,3],[-3,-3],4.2426); arc([2,2],[-2,-2],2.8284); line([2,2],[3,3]); line([-3,-3],[-2,-2]);[/asvg]
si vede che la semicorona è normale all'asse \(x\) ma non lo è rispetto all'asse \(y\).

Analiticamente, la condizione di normalità dell'insieme \(\Omega\) ad un asse del riferimento si traduce in una condizione ben precisa, che è quella citata da Fusco, Marcellini e Sbordone, i.e. nell'esistenza di un insieme \(I\) e di due funzioni \(a,b:I\to \mathbb{R}\) tali che \(a(t)\leq b(t)\) in \(I\) e che ogni punto \((x,y)\in \Omega\) soddisfi \(x\in I\) ed \(y\in [a(x),b(x)]\) (per la normalità rispetto all'asse \(x\)) oppure \(y\in I\) e \(x\in [a(y),b(y)]\) (per la normalità rispetto all'asse \(y\)).

[Paolo902]

"gugo82":

Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^2\) ed \(r\) una retta.
Si dice che \(\Omega\) è un insieme normale rispetto alla retta \(r\) se e solo se, per ogni retta \(s\bot r\), l'intersezione \(\Omega \cap s\) o è vuota o è un segmento (eventualmente degenere in un punto).

[...]
Ad esempio, introducendo gli assi come segue:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
arc([3,3],[-3,-3],4.2426); arc([2,2],[-2,-2],2.8284); line([2,2],[3,3]); line([-3,-3],[-2,-2]);[/asvg]
si vede che la semicorona è normale all'asse \(x\) ma non lo è rispetto all'asse \(y\).

Vorrei segnalare una svista: non credo che il dominio rappresentato sia normale all'asse $x$. Considera la retta $x=-5/2$ (o qualunque retta del tipo $x=\alpha$ con \( \alpha \in (-3+\varepsilon,-2) \) con \( \varepsilon>0\) adeguato).