Definizione di Gradiente
Salve volevo chiedere una definizione migliore di quella che ho capito io di gradiente, una più specifica.
Io ho capito che: il gradiente è un vettore avente per componenti le derivate parziali di una funzione a una o più varibili, e, se non è nullo, indica la direzione di massima pendenza del grafico della funzione.
Volevo chiedervi come indica questa direzione? Cioè prendiamo un esempio: f(x,y)=x+2y
fx=1, fy=2 quindi il gradiente di f è (1,2) ora vorrei capire che informazioni mi danno questi numeri. Il gradiante ci dice come varia la funzione f nell’intorno di un punto. E' possibile che l'1 mi dica quanto rapidamente vari f quando ci si muove lungo x. Ma cosa si intende esattamente per variare? se io mi spostassi lungo le x di 1 cosa succederebbe? O come devo interpretare il gradiente?
Io ho capito che: il gradiente è un vettore avente per componenti le derivate parziali di una funzione a una o più varibili, e, se non è nullo, indica la direzione di massima pendenza del grafico della funzione.
Volevo chiedervi come indica questa direzione? Cioè prendiamo un esempio: f(x,y)=x+2y
fx=1, fy=2 quindi il gradiente di f è (1,2) ora vorrei capire che informazioni mi danno questi numeri. Il gradiante ci dice come varia la funzione f nell’intorno di un punto. E' possibile che l'1 mi dica quanto rapidamente vari f quando ci si muove lungo x. Ma cosa si intende esattamente per variare? se io mi spostassi lungo le x di 1 cosa succederebbe? O come devo interpretare il gradiente?
Risposte
Ragiona sul concetto di derivata in una variabile: supponi di avere la retta di equazione $f(x)=mx$ la cui derivata è $f'(x)=m$. Dal punto di vista della variazione, cosa ti dice questa derivata? Bé, trovandoci su una retta quello che hai è che l'incremento del valore di $f(x)$ rispetto ad un incremento pari a $1$ della $x$ corrisponde ad una quantità $m$ in verticale.
Ora ritorna al tuo esempio: se consideri la fuzione $z=f(x,y)=ax+by$ il suo gradiente è $\nabla f=(a,b)$. Questo vuol dire che, per un incremento di 1 nella direzione delle $x$ la variabile $z$ subirà un incremento pari ad $a$, mentre ne subira uno pari a $b$ per un incremento di $1$ nella direzione delle $y$. A questo punto il gradiente ti dice che, in un intorno di un punto fissato, un incremento pari ad 1 in entrambe le direzioni ($x$ e $y$) porterà ad un incremento (massimo) della $z$ pari a $a+b$. Questo è, almeno in via concettuale, il significato di ciò che hai scritto sopra. Volendo si può formalizzare con i rapporti incrementali, ma in sostanza otterresti qualcosa simile a ciò che ti ho detto a parole.
P.S.: ovviamente, quando parlo di incrementi di $1$ in una specifica direzione, intendo che da $x_0$ passi a $x_0+1$.
Ora ritorna al tuo esempio: se consideri la fuzione $z=f(x,y)=ax+by$ il suo gradiente è $\nabla f=(a,b)$. Questo vuol dire che, per un incremento di 1 nella direzione delle $x$ la variabile $z$ subirà un incremento pari ad $a$, mentre ne subira uno pari a $b$ per un incremento di $1$ nella direzione delle $y$. A questo punto il gradiente ti dice che, in un intorno di un punto fissato, un incremento pari ad 1 in entrambe le direzioni ($x$ e $y$) porterà ad un incremento (massimo) della $z$ pari a $a+b$. Questo è, almeno in via concettuale, il significato di ciò che hai scritto sopra. Volendo si può formalizzare con i rapporti incrementali, ma in sostanza otterresti qualcosa simile a ciò che ti ho detto a parole.
P.S.: ovviamente, quando parlo di incrementi di $1$ in una specifica direzione, intendo che da $x_0$ passi a $x_0+1$.
Io l'ho detto che sei il migliore 
Grazieeeeeeeeeeeeeeee
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