Definizione di gradiente

[menotti1]

Vorrei definire il gradiente di una funzione da R3 a R "al contrario". Cioè, di solito si definisce prima il differenziale e poi si ricava il gradiente come vettore rappresentativo; io invece voglio definire il gradiente come il vettore la cui direzione dà la massima crescita della funzione e il modulo l'entità di tale crescita, e poi mostrare, sotto certe condizioni (che si assumono valide), che la funzione è differenziabile e le derivate parziali sono il prodotto scalare del gradiente per la direzione scelta.

Se qualcuno ha qualche idea, gliene sarei molto grato.

[21zuclo]

scusami ma non ho molto capito quello che vuoi dire..

allora per gradiente di una funzione già subito dalla definizione, e cioè che il gradiente di $f$ nel punto $x$ è per definizione il vettore \( \bigtriangledown f(\underline{x} ) \) le cui componenti sono le derivate parziali di $f$

per esempio $ f((x),(y))=\ln(4-x^2-2y^2) $

\( \bigtriangledown \) $ f(x,y)=((-2x)/(4-x^2-2y^2), (-4y)/(4-x^2-2y^2)) $

la max crescita mi sembra che è la formula se \( \bigtriangledown f(x,y)\ne 0 \)

si la seguente formula \( \frac{\bigtriangledown f(x,y)}{||\bigtriangledown f(x,y)||} \)

[dissonance]

@menotti: Può essere un buon esercizio. Prima di tutto devi fissare una funzione \(f\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}\) e un punto \(x_0\in \mathbb{R}^3\). A questo punto dovrai formalizzare la frase "la direzione di massima crescita della funzione". Prova un po'