Definizione di derivata seconda
Buona domenica.
Mi sono arenato su come definire la derivata seconda tramite rapporti incrementali e anche cercando non trovo la definizione. Ho provato quindi da solo ma vorrei capire se sbaglio o è corretto il procedimento. Vi ringrazio già da ora.
Essendo la derivata di una funzione in un punto il numero (uso per facilità s e v pensando a spazi e velocità ma sono funzioni qualunque): $lim_(h'->0) (s(t_0+h')-s(t_0))/h'$ se voglio la "funzione derivazione" sarebbe per un generico t: $lim_(h'->0) (s(t+h')-s(t))/h'=v(t)$
Essendo la derivata seconda (come funzione: derivata della funzione) per un generico t': $lim_(h->0) (v(t'+h)-s(t'))/h=a(t')$ con incremento h diverso da h' in quanto prima mando a zero l'h' e poi l'h, inoltre non c'è motivo per cui debba essere lo stesso in generale.
In fevititiva: $a(t')=lim_(h->0)(lim_(h'->0)(s(t'+h+h')-s(t'+h))/(h')-lim_(h'->0)((s(t'+h')-s(t')))/(h'))/h$
ossia per t qualunque: $a(t)=lim_(h->0)(lim_(h'->0)(s(t+h+h')-s(t+h))/(h')-lim_(h'->0)((s(t+h')-s(t)))/(h'))/h$
Del resto vi è la seconda notazione, ricordando che: $t-t_0=h$ -> $lim_(t-t')->0$ a numeratore come primo termine: $s(t_0'+h+h')=s(t'+h')=s(t'+t-t_0)=s(t'+t-t')=s(t)$ ecc per il resto dei termini
[tolgo errore di trascrizione, la sostituzione si fa pertutti i termini ... ]
E' corretto?
Mi sono arenato su come definire la derivata seconda tramite rapporti incrementali e anche cercando non trovo la definizione. Ho provato quindi da solo ma vorrei capire se sbaglio o è corretto il procedimento. Vi ringrazio già da ora.
Essendo la derivata di una funzione in un punto il numero (uso per facilità s e v pensando a spazi e velocità ma sono funzioni qualunque): $lim_(h'->0) (s(t_0+h')-s(t_0))/h'$ se voglio la "funzione derivazione" sarebbe per un generico t: $lim_(h'->0) (s(t+h')-s(t))/h'=v(t)$
Essendo la derivata seconda (come funzione: derivata della funzione) per un generico t': $lim_(h->0) (v(t'+h)-s(t'))/h=a(t')$ con incremento h diverso da h' in quanto prima mando a zero l'h' e poi l'h, inoltre non c'è motivo per cui debba essere lo stesso in generale.
In fevititiva: $a(t')=lim_(h->0)(lim_(h'->0)(s(t'+h+h')-s(t'+h))/(h')-lim_(h'->0)((s(t'+h')-s(t')))/(h'))/h$
ossia per t qualunque: $a(t)=lim_(h->0)(lim_(h'->0)(s(t+h+h')-s(t+h))/(h')-lim_(h'->0)((s(t+h')-s(t)))/(h'))/h$
Del resto vi è la seconda notazione, ricordando che: $t-t_0=h$ -> $lim_(t-t')->0$ a numeratore come primo termine: $s(t_0'+h+h')=s(t'+h')=s(t'+t-t_0)=s(t'+t-t')=s(t)$ ecc per il resto dei termini
[tolgo errore di trascrizione, la sostituzione si fa pertutti i termini ... ]
E' corretto?
Risposte
No, ma proprio NO.
La derivata seconda è la derivata prima della derivata prima. Che vuol dire?
La derivata seconda è la derivata prima della derivata prima. Che vuol dire?
Ciao gugo! Grazie per rispondere.
Direi che devo fare il rapporto incrementale della funzione derivata prima.
Pensavo di aver fatto quello, perché è errato
Dove sbaglio?
Direi che devo fare il rapporto incrementale della funzione derivata prima.
Pensavo di aver fatto quello, perché è errato
$a(t)=lim_(h->0)(lim_(h'->0)(s(t+h+h')-s(t+h))/(h')-lim_(h'->0)((s(t+h')-s(t)))/(h'))/h$
Dove sbaglio?
Semplicemente:
\[
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h \to 0} \frac{s^\prime (t + h) - s^\prime (t)}{h}\;.
\]
Giocare “a casaccio” coi limiti no, non è lecito.
Se poi l’intento è quello di esprimere \(s^{\prime \prime}\) con un rapporto incrementale relativo ad $s$, si può fare, ma devi cambiare il rapporto.
\[
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h \to 0} \frac{s^\prime (t + h) - s^\prime (t)}{h}\;.
\]
Giocare “a casaccio” coi limiti no, non è lecito.
Se poi l’intento è quello di esprimere \(s^{\prime \prime}\) con un rapporto incrementale relativo ad $s$, si può fare, ma devi cambiare il rapporto.
Certo, quella è evidente, in realtà mi torna e ho pensato di non far torto nel sosttuire il limite da cui deriva s'(t), sempre con il riguardo di intendere prima fai quel limite e poi il successivo esterno. Perché è sbagliato farlo?
Il mio intento,come supponi, era in realtà capire derivando due volte cosa succede su s a livello di fare due rapporti incrementali. Mi era sembrato intuitivamente (dalla meccanica) che mandassi prima il rapporto incrementale dello spazio a zero e poi quello della velocità.
Il punto è ora, ma come si fa rigorosamente? Cosa intendi per cabiare rapporto?
Il mio intento,come supponi, era in realtà capire derivando due volte cosa succede su s a livello di fare due rapporti incrementali. Mi era sembrato intuitivamente (dalla meccanica) che mandassi prima il rapporto incrementale dello spazio a zero e poi quello della velocità.
Il punto è ora, ma come si fa rigorosamente? Cosa intendi per cabiare rapporto?
Perché il fatto è che non sempre i limiti commutano.
(Se hai studiato Analisi II dovresti saperlo.
)
Se vuoi, puoi provare a dimostrare che se $s$ è derivabile due volte in $t$, allora vale:
\[
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t + h) - 2 s(t) + s(t - h)}{h^2}\;.
\]
Tuttavia, non vale il viceversa, nel senso che il limite a secondo membro può esistere anche se $s$ non è derivabile due volte in $t$.
(Se hai studiato Analisi II dovresti saperlo.
)Se vuoi, puoi provare a dimostrare che se $s$ è derivabile due volte in $t$, allora vale:
\[
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t + h) - 2 s(t) + s(t - h)}{h^2}\;.
\]
Tuttavia, non vale il viceversa, nel senso che il limite a secondo membro può esistere anche se $s$ non è derivabile due volte in $t$.
"gugo82":
Perché il fatto è che non sempre i limiti commutano.
Ok, però se a priori dicessi che non posso fare operazioni algebriche e prima svolto l'interno e poi l'esterno, in effetti, è la derivata seconda. Giusto?
(Se hai studiato Analisi II dovresti saperlo.
Sto studiandola ora
in realtà mi manca il perché hai voglia di illustrarmelo come accrescimento o linkarmi dove se ne parli (lo leggerei assai volentieri)Provo a vedere perché esca la tua soluzione
Forse:
$a(t) =(((s(t+2\h)-s(t+\h))/(\h))-((s(t+\h)-s(t))/(\h)))/(\h)$
$a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2$
e faccio limite per h->0
Tuttavia mi sembra un po' diverso dal tuo proposto.
Quel che scrivi non ha senso.
Non ho capito a cosa ti rifereisci..
Dici la formula non ha senso o
questo?
Per capire dove aggiustare
------------------
Ad ogni modo:
$a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2$
$
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t + h) - 2 s(t) + s(t - h)}{h^2}\;.$
Usando de l'hopital posso mostrare che entrambe sono correlate a s''
------------------
Inoltre ora sono curioso di sapere perché non commutino i limiti
Dici la formula non ha senso o
Ok, però se a priori dicessi che non posso fare operazioni algebriche e prima svolto l'interno e poi l'esterno, in effetti, è la derivata seconda. Giusto?
questo?
Per capire dove aggiustare
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Ad ogni modo:
$a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2$
$
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t + h) - 2 s(t) + s(t - h)}{h^2}\;.$
Usando de l'hopital posso mostrare che entrambe sono correlate a s''
------------------
Inoltre ora sono curioso di sapere perché non commutino i limiti
"jimbolino":
Non ho capito a cosa ti rifereisci..
Dici la formula non ha senso o
Ok, però se a priori dicessi che non posso fare operazioni algebriche e prima svolto l'interno e poi l'esterno, in effetti, è la derivata seconda. Giusto?
questo?
Per capire dove aggiustare
Tutto il post precedente.
"jimbolino":
Ad ogni modo:
$a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2$
$
s^{\prime \prime} (t) = \lim_{h\to 0} \frac{s(t + h) - 2 s(t) + s(t - h)}{h^2}\;.$
Cos’è $a(t)$?
"jimbolino":
Usando de l'hopital posso mostrare che entrambe sono correlate a s''
Sicuro di poterlo usare?
"jimbolino":
Inoltre ora sono curioso di sapere perché non commutino i limiti
In generale, due limit presi su due variabili differenti in successione non commutano (a meno che non siano soddisfatte condizioni che ti consentono di scambiare l’ordine dei limiti). Questa cosa è detta mille volte in ogni corso decente di Analisi II, è improbabile che tu non riesca a reperire da solo qualche esempio.
Ad ogni modo, prendiamo la funzione $f(h,k) = h^2/(h^2 + k^2)$ definita per $h,k!=0$; hai:
\[
\lim_{h \to 0} \left( \lim_{k \to 0} \frac{h^2}{h^2 + k^2} \right) = \lim_{h \to 0} 1 = 1 \neq 0 = \lim_{k \to 0} 0 = \lim_{k \to 0} \left( \lim_{h \to 0} \frac{h^2}{h^2 + k^2} \right)\; .
\]
Ti ringrazio per la pazienza e per la risposta chiarificatrice
In realtà penso (spero) il mio corso sia decente, sono piuttosto io indecente nel senso di non molto sveglio. Spero di migliorare.
Rispondo alle tue domande
E' $s''(t)$,avevo in mente la fisica.
No, devo supporre $s(x)$ derivabile due volte (itero due volte), devo inoltre prendere un intervallo in cui non si annulli il denominatore derivato.
In realtà penso (spero) il mio corso sia decente, sono piuttosto io indecente nel senso di non molto sveglio. Spero di migliorare.
Rispondo alle tue domande
Cos’è $a(t)$?
E' $s''(t)$,avevo in mente la fisica.
[ggb]Sicuro di poterlo usare?[/ggb]
No, devo supporre $s(x)$ derivabile due volte (itero due volte), devo inoltre prendere un intervallo in cui non si annulli il denominatore derivato.
"jimbolino":
Ti ringrazio per la pazienza e per la risposta chiarificatrice
In realtà penso (spero) il mio corso sia decente, sono piuttosto io indecente nel senso di non molto sveglio. Spero di migliorare.
Come già detto altrove, se non rifletti su ciò che studi e scrivi non migliori.
"jimbolino":
Rispondo alle tue domande
Cos’è $a(t)$?
E' $s''(t)$,avevo in mente la fisica.
Non intendevo questo.
Quello che chiami $a(t)$, non è una funzione di $t$ (almeno non solamente), non trovi?
"jimbolino":[ggb]Sicuro di poterlo usare?[/ggb]
No, devo supporre $s(x)$ derivabile due volte (itero due volte), devo inoltre prendere un intervallo in cui non si annulli il denominatore derivato.
Appunto.
Quindi? Come si dimostra?
Grazie per la bastonata, hai ragione.
Per quanto riguarda a(t) sono d'accordo, però non riesco a vedere la differenza con la tua proprosta. Anche la tua, difatti,mi sembra dipendere da due variabili: questo perché c'è $h$ che dipende da $t$ ma anche da un $t'$ essendo $h=t'-t$.
In altre parole mi sembrano entrambe una valida soluzione ed entrambe i limiti $s''(t)$. Dove sbaglio non riesco a vederlo.
Per quanto riguarda la dimostrazione, invece, essendo un limite mi vengono in mente solo tecniche per risolverlo. Ma anche uno sviluppo in serie di Taylor richiederebbe delle ipotesi aggiuntive di esistenza delle derivate almeno in un intorno. Non così tanto meno restittive di De l'Hopital in pratica
Per quanto riguarda a(t) sono d'accordo, però non riesco a vedere la differenza con la tua proprosta. Anche la tua, difatti,mi sembra dipendere da due variabili: questo perché c'è $h$ che dipende da $t$ ma anche da un $t'$ essendo $h=t'-t$.
In altre parole mi sembrano entrambe una valida soluzione ed entrambe i limiti $s''(t)$. Dove sbaglio non riesco a vederlo.
Per quanto riguarda la dimostrazione, invece, essendo un limite mi vengono in mente solo tecniche per risolverlo. Ma anche uno sviluppo in serie di Taylor richiederebbe delle ipotesi aggiuntive di esistenza delle derivate almeno in un intorno. Non così tanto meno restittive di De l'Hopital in pratica
"jimbolino":
Per quanto riguarda a(t) sono d'accordo, però non riesco a vedere la differenza con la tua proprosta. Anche la tua, difatti,mi sembra dipendere da due variabili: questo perché c'è $h$ che dipende da $t$ ma anche da un $t'$ essendo $h=t'-t$.
In altre parole mi sembrano entrambe una valida soluzione ed entrambe i limiti $s''(t)$. Dove sbaglio non riesco a vederlo.
No, aspetta, tu hai scritto $ a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2 $ (senza limite), quindi c’è qualcosa che non va: il primo membro dipende solo da $t$, il secondo da $t$ ed $h$.
"jimbolino":
Per quanto riguarda la dimostrazione, invece, essendo un limite mi vengono in mente solo tecniche per risolverlo. Ma anche uno sviluppo in serie di Taylor richiederebbe delle ipotesi aggiuntive di esistenza delle derivate almeno in un intorno. Non così tanto meno restittive di De l'Hopital in pratica
Chiaro che, se vuoi essere derivabile due volte in un punto, dovrai esserlo una volta intorno a quel punto; quindi stai ipotizzando che la tua $s$ sia derivabile una volta intorno a $t$ e due volte in $t$.
Riesci ad usare qualcosa ora?
"gugo82":
No, aspetta, tu hai scritto $ a(t) = (s(t+2\h)-2s(t+\h)+s(t))/(\h)^2 $ (senza limite), quindi c’è qualcosa che non va: il primo membro dipende solo da $t$, il secondo da $t$ ed $h$.
Perché sono un stupido
, Ero così preso dal dubbio che ero convinto di averlo messo fino ad ora che me l'hai fatto notare! Volevo scriverla con il limite..Tornando alla dimostrazione: l'unica cosa che mi viene ora in mente è lo sviluppo di taylor.
Beh, se è l’unica cosa, usalo.
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