Definizione continuità dall'alto di una misura
Salve a tutti... ho una domanda...
Vi é una differenza tra la definizione di continuità dalla.alto e dal basso di una misura. Perché é presente questa condi azione aggiuntiva? Grazie
http://i43.tinypic.com/2vacjcz.jpg
Vi é una differenza tra la definizione di continuità dalla.alto e dal basso di una misura. Perché é presente questa condi azione aggiuntiva? Grazie
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Risposte
Beh, vedi da te che \(\varnothing\) è il "limite" della successione decrescente:
\[
E_n:=[n,\infty[ \subseteq \mathbb{R}
\]
(nel senso che \(\varnothing = \cap_n E_n\)), però si ha \(\mu (E_n)=\infty\) e \(\mu (\varnothing) =0\), quindi non vale l'uguaglianza:
\[
\lim_n \mu (E_n) = \mu (\varnothing)\; .
\]
Il problema è che, per l'appunto, la misura di nessun \(E_n\) è finita.
\[
E_n:=[n,\infty[ \subseteq \mathbb{R}
\]
(nel senso che \(\varnothing = \cap_n E_n\)), però si ha \(\mu (E_n)=\infty\) e \(\mu (\varnothing) =0\), quindi non vale l'uguaglianza:
\[
\lim_n \mu (E_n) = \mu (\varnothing)\; .
\]
Il problema è che, per l'appunto, la misura di nessun \(E_n\) è finita.
Caro gugo82, grazie per la risposta. Ciò che non capisco on questo discorso é perche la misura di un intervallo infinito sia infinita.
Di solito, per la misurabilità e la misura di un insieme non limitato \(E\subseteq \mathbb{R}\) vengono definite come segue:
\[
E \text{ è misurabile} \quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\quad \forall r>0,\ \text{l'insieme limitato } E\cap ]-r,r[ \text{ è misurabile}
\]
e:
\[
\mu (E) := \sup_{r>0} \mu (E\cap ]-r,r[)\; .
\]
Nel caso \(E=(a,\infty[\) (la parentesi tonda denota che non è importante se \(a\in E\) o no) con \(a\in \mathbb{R}\), ogni insieme del tipo \(E\cap ]-r,r[\) è un intervallo (casomai degenere), quindi \((a,\infty[\) è misurabile; d'altro canto si ha:
\[
E\cap ]-r,r[ = (a,r[
\]
per \(r>|a|\), dunque è evidente che:
\[
\mu \big( (a,\infty[\big) \geq \sup_{r>|a|} \mu\big( (a,r[\big) = \sup_{r>|a|} r-a = \infty\; ,
\]
perciò \(\mu \big( (a,\infty[\big)=\infty\).
\[
E \text{ è misurabile} \quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\quad \forall r>0,\ \text{l'insieme limitato } E\cap ]-r,r[ \text{ è misurabile}
\]
e:
\[
\mu (E) := \sup_{r>0} \mu (E\cap ]-r,r[)\; .
\]
Nel caso \(E=(a,\infty[\) (la parentesi tonda denota che non è importante se \(a\in E\) o no) con \(a\in \mathbb{R}\), ogni insieme del tipo \(E\cap ]-r,r[\) è un intervallo (casomai degenere), quindi \((a,\infty[\) è misurabile; d'altro canto si ha:
\[
E\cap ]-r,r[ = (a,r[
\]
per \(r>|a|\), dunque è evidente che:
\[
\mu \big( (a,\infty[\big) \geq \sup_{r>|a|} \mu\big( (a,r[\big) = \sup_{r>|a|} r-a = \infty\; ,
\]
perciò \(\mu \big( (a,\infty[\big)=\infty\).
Ti ringrazio nuovamente per la risposta: gentilissimo.
Ho notato che tu in tutto questo hai scelto i reali come insieme di partenza su cui definire l'anello R (dominio della misura).
Tuttavia io pensavo che questa condizione aggiuntiva sulla continuità dall'alto fosse necessaria in generale.
Io mi chiedevo perche so dovesse aggiungere quella condizione di cui alla.inizio della discussione. Mi hai giustificato la sua presenza facendomi notare che altrimenti nessuna misura sarebbe continua dall.alto (questo ho capito essere il senso del tuo discorso).
Penso a questo punto che sia una condizione che é comodo aggiungere a questo punto del discorso in vista poi della futura applicazione della misure all'insieme dei reali, per cui vale tutto quello che hai detto.
Sperando di non sbagliarmi.
Saluti e grazie!
Ho notato che tu in tutto questo hai scelto i reali come insieme di partenza su cui definire l'anello R (dominio della misura).
Tuttavia io pensavo che questa condizione aggiuntiva sulla continuità dall'alto fosse necessaria in generale.
Io mi chiedevo perche so dovesse aggiungere quella condizione di cui alla.inizio della discussione. Mi hai giustificato la sua presenza facendomi notare che altrimenti nessuna misura sarebbe continua dall.alto (questo ho capito essere il senso del tuo discorso).
Penso a questo punto che sia una condizione che é comodo aggiungere a questo punto del discorso in vista poi della futura applicazione della misure all'insieme dei reali, per cui vale tutto quello che hai detto.
Sperando di non sbagliarmi.
Saluti e grazie!
Beh, hai travisato.
Il senso del mio post era semplicemente fornirti un semplice controesempio.
Insomma, se non richiedi che \(\exists \nu:\ \mu(E_\nu)<\infty\), la relazione \(\lim_n \mu (E_n) = \mu (\bigcup_n E_n)\) può non valere affatto (nonotante la successione \((E_n)\) sia decrescente).
Quindi, se vuoi continuità dall'alto, in generale, la richiesta di cui sopra è necessaria.
Altro discorso è capire quando e se essa può essere omessa.
Ad esempio, la richiesta \(\exists \nu:\ \mu (E_\nu)<\infty\) è superflua se la misura \(\mu\) è limitata, ossia se \(\mu (X)<\infty\), perché in tal caso tutti i misurabili hanno misura finita (questo è, ad esempio, il caso degli spazi di probabilità).
Ma questo non credo esaurisca lo spettro dei casi possibili...
Il senso del mio post era semplicemente fornirti un semplice controesempio.
Insomma, se non richiedi che \(\exists \nu:\ \mu(E_\nu)<\infty\), la relazione \(\lim_n \mu (E_n) = \mu (\bigcup_n E_n)\) può non valere affatto (nonotante la successione \((E_n)\) sia decrescente).
Quindi, se vuoi continuità dall'alto, in generale, la richiesta di cui sopra è necessaria.
Altro discorso è capire quando e se essa può essere omessa.
Ad esempio, la richiesta \(\exists \nu:\ \mu (E_\nu)<\infty\) è superflua se la misura \(\mu\) è limitata, ossia se \(\mu (X)<\infty\), perché in tal caso tutti i misurabili hanno misura finita (questo è, ad esempio, il caso degli spazi di probabilità).
Ma questo non credo esaurisca lo spettro dei casi possibili...
Perfetto...grazie mille.
Buona giornata.
Buona giornata.
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