Definita funzione continua, provare che l'insieme...
vorrei approfittare della vostra bontà e pazienza. non ho capito come svolgere il seguente esercizio. vi chiedo una spiegazione perchè ancora non so come poter fare per risolvere questi tipi di problemi. grazie
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(to 0) f(x)=0$, $lim_(to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
chiedo spiegazioni su come procedere, non tanto lo svolgimento. in caso potete fare altri esempi di funzioni. ho interesse per il problema in sè.
alex
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(to 0) f(x)=0$, $lim_(to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
chiedo spiegazioni su come procedere, non tanto lo svolgimento. in caso potete fare altri esempi di funzioni. ho interesse per il problema in sè.
alex
Risposte
Per dimostrare che A non è vuoto, che ne dici del teorema degli zeri?
P.S.: In generale se vedi delle funzioni reali e continue, e delle equazioni di cui ti serve sapere se ci sono radici, il teorema degli zeri è la prima cosa che viene in mente.
P.S.: In generale se vedi delle funzioni reali e continue, e delle equazioni di cui ti serve sapere se ci sono radici, il teorema degli zeri è la prima cosa che viene in mente.
"dissonance":
Per dimostrare che A non è vuoto, che ne dici del teorema degli zeri?
P.S.: In generale se vedi delle funzioni reali e continue, e delle equazioni di cui ti serve sapere se ci sono radici, il teorema degli zeri è la prima cosa che viene in mente.
scusa perchè il teorema degli zeri? se non sbaglio l'insieme $A$ non è il dominio? non so, forse ho cpaito male...
ciao ciao
"Domè89":
[quote="dissonance"]Per dimostrare che A non è vuoto, che ne dici del teorema degli zeri?
P.S.: In generale se vedi delle funzioni reali e continue, e delle equazioni di cui ti serve sapere se ci sono radici, il teorema degli zeri è la prima cosa che viene in mente.
scusa perchè il teorema degli zeri? se non sbaglio l'insieme $A$ non è il dominio?[/quote]
appunto
Gli "zeri" di una funzione sono gli elementi del dominio nei quali la funzione assume valore 0.
"bad.alex":
vorrei approfittare della vostra bontà e pazienza. non ho capito come svolgere il seguente esercizio. vi chiedo una spiegazione perchè ancora non so come poter fare per risolvere questi tipi di problemi. grazie
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(x to 0) f(x)=0$, $lim_(x to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
Non capisco il testo dell'esercizio, che cosa c'entrano i limiti delle ipotesi, se non sono verificati dalla funzione definita sotto?
"@melia":
[quote="bad.alex"]vorrei approfittare della vostra bontà e pazienza. non ho capito come svolgere il seguente esercizio. vi chiedo una spiegazione perchè ancora non so come poter fare per risolvere questi tipi di problemi. grazie
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(x to 0) f(x)=0$, $lim_(x to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
Non capisco il testo dell'esercizio, che cosa c'entrano i limiti delle ipotesi, se non sono verificati dalla funzione definita sotto?[/quote]
Ci ho messo un po' a capire dove avevi visto "la funzione definita sotto"!!!
Poi, ho avuto una illuminazione...
No, ci sono due funzioni. Una è $f$, di cui non si sa l'espressione analitica.
L'altra è $g$, definita come $g(x) := sqrtx+2$.
E si è interessati alle $x$ per cui $f(x) = g(x)$.
Ecco i danni che si creano con l'abitudine di usare "=" e ":=" indifferentemente (cosa che faccio anch'io...).
"Fioravante Patrone":
[quote="Domè89"][quote="dissonance"]Per dimostrare che A non è vuoto, che ne dici del teorema degli zeri?
P.S.: In generale se vedi delle funzioni reali e continue, e delle equazioni di cui ti serve sapere se ci sono radici, il teorema degli zeri è la prima cosa che viene in mente.
scusa perchè il teorema degli zeri? se non sbaglio l'insieme $A$ non è il dominio?[/quote]
appunto
Gli "zeri" di una funzione sono gli elementi del dominio nei quali la funzione assume valore 0.[/quote]
anche questo è vero..
non ci avevo pensato...ciao
Vediamo un po' se vi convince:
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10.
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10.
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
"Gaal Dornick":
Vediamo un po' se vi convince:
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10.
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
gaal, putroppo sono riuscito a capire ben poco. ancora resto fermo al teorema degli zeri ma senza trovarne sbocco, ahimè. Intanto però ringrazio tutti per l'aiuto.
"@melia":
[quote="bad.alex"]vorrei approfittare della vostra bontà e pazienza. non ho capito come svolgere il seguente esercizio. vi chiedo una spiegazione perchè ancora non so come poter fare per risolvere questi tipi di problemi. grazie
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(x to 0) f(x)=0$, $lim_(x to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
Non capisco il testo dell'esercizio, che cosa c'entrano i limiti delle ipotesi, se non sono verificati dalla funzione definita sotto?[/quote]
vorrei provarti ad aiutare nella comprensione ma sono in difficoltà, mi dispiace.
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(to 0) f(x)=0$, $lim_(to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $g(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
"Gaal Dornick":
Vediamo un po' se vi convince:
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-{sqrt(x)+2}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10.
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
alex, ti invito a leggere più attentamente i suggerimenti: il dubbio di @melia lo aveva già chiarito Fioravante Patrone: la seconda funzione la chiamiamo g, e non ancora f.
Gaal Dornick ha preso per buono questo suggerimento e ti ha prospettato una soluzione: la prima parte è chiarissima, ha soltanto usato un nuovo simbolo, funzione h, per applicare il teorema di esistenza degli zeri. è abbastanza semplice dire che l'insieme A non è vuoto. poi ha fatto un po' di conti, e su questo ti posso capire che sei andato in confusione: mi sono permessa di togliere un "fratto x" alla componente g. tutto questo serviva però solo a dimostrare che l'insieme era limitato. quanto al fatto di avere il minimo e il massimo dipende dal fatto che è un insieme discreto di punti, c'è un primo valore e un ultimo valore per cui la funzione h interseca l'asse x.
è inutile complicare ulteriormente la questione. rileggiti con calma i suggerimenti e ricostruisci l'esercizio fin dove puoi, posta i tuoi risultati e chiedi chiarimento su cose precise e dubbi che hai.
ciao.
fatto ada. Ho ricostruito con calma ( e soprattutto attenzione, elemento che oggi effettivamente mi è mancato!) i passaggi proposti da gaal. Una cosa eppure mi sfugge:
potreste spiegarmi meglio? abbiate pazienza con me quest'oggi. grazie, alex
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto , quindi è limitato.
Inoltre , continua, chiuso, quindi chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo
potreste spiegarmi meglio? abbiate pazienza con me quest'oggi. grazie, alex
è ovvio che se non hai studiato topologia, quelle poche nozioni che servono per l'analisi ti rendono queste frasi particolarmente ostiche.
devi pensare che tu partivi da una funzione definita in (0, +oo). GD ti ha fatto notare che nell'intorno destro di 0 la funzione è negativa, nell'intorno di +oo la funzione è positiva. non ti ha calcolato i valori precisi, ma ti ha detto che tra 0 e un valore positivo (puoi trovarne uno tu a tentativi) la funzione rimane negativa e quindi non interseca mai l'asse x; poi, da 10 (?) in poi, (verifaicalo tu, non è importante se prendi un altro valore) la funzione è sempre positiva, per cui non attraversa mai l'asse x.
allora, per le possibili intersezioni, che cosa è rimasto? un intervallo finito (che è appunto il complementare rispetto al dominio dell'unione di un intervallino, intorno dello zero, e di un intervallo infinito, intorno di +oo , ad esempio da 10 a +oo): da 0.2? a 10?. l'importante è capire che è limitato.
poi l'osservazione topologica te la puoi anche risparmiare, se non hai fatto topologia.
i punti che devi trovare tu sono soluzioni di un'equazione ed hai appena dimostrato che sono tutti compresi tra 0 e 10 o un numero comunque finito.
il fatto che sia una funzione continua ti garantisce che non ci può essere in quell'intervallo un punto intorno al quale ci sono infinite oscillazioni (tanto per intenderci come sen(1/x) nell'intorno dello zero), quindi c'è una "prima intersezione ed un'ultima intersezione" con l'asse x: questi sono il min e il max cercati...
mi rendo conto che non è molto rigoroso il discorso. riprovo con la topologia:
una funzione è continua se e solo se le controimmagini di aperti sono aperti (o, equivalentemente, le controimmagini di chiusi sono chiusi).
tu stai studiando i valori che corrispondono a zero. {0} è un chiuso, la funzione è continua, la controimmagine (insieme che devi studiare tu) è quindi un chiuso.
essendo chiuso e limitato è un compatto. quindi contiene il massimo e il minimo. [o, come diceva GD, in un chiuso l'estremo inferiore coincide con il minimo, l'estremo superiore con il massimo, cioè fanno parte dell'insieme, e sonop limitati perché l'insieme è limitato].
spero di aver chiarito. ciao.
devi pensare che tu partivi da una funzione definita in (0, +oo). GD ti ha fatto notare che nell'intorno destro di 0 la funzione è negativa, nell'intorno di +oo la funzione è positiva. non ti ha calcolato i valori precisi, ma ti ha detto che tra 0 e un valore positivo (puoi trovarne uno tu a tentativi) la funzione rimane negativa e quindi non interseca mai l'asse x; poi, da 10 (?) in poi, (verifaicalo tu, non è importante se prendi un altro valore) la funzione è sempre positiva, per cui non attraversa mai l'asse x.
allora, per le possibili intersezioni, che cosa è rimasto? un intervallo finito (che è appunto il complementare rispetto al dominio dell'unione di un intervallino, intorno dello zero, e di un intervallo infinito, intorno di +oo , ad esempio da 10 a +oo): da 0.2? a 10?. l'importante è capire che è limitato.
poi l'osservazione topologica te la puoi anche risparmiare, se non hai fatto topologia.
i punti che devi trovare tu sono soluzioni di un'equazione ed hai appena dimostrato che sono tutti compresi tra 0 e 10 o un numero comunque finito.
il fatto che sia una funzione continua ti garantisce che non ci può essere in quell'intervallo un punto intorno al quale ci sono infinite oscillazioni (tanto per intenderci come sen(1/x) nell'intorno dello zero), quindi c'è una "prima intersezione ed un'ultima intersezione" con l'asse x: questi sono il min e il max cercati...
mi rendo conto che non è molto rigoroso il discorso. riprovo con la topologia:
una funzione è continua se e solo se le controimmagini di aperti sono aperti (o, equivalentemente, le controimmagini di chiusi sono chiusi).
tu stai studiando i valori che corrispondono a zero. {0} è un chiuso, la funzione è continua, la controimmagine (insieme che devi studiare tu) è quindi un chiuso.
essendo chiuso e limitato è un compatto. quindi contiene il massimo e il minimo. [o, come diceva GD, in un chiuso l'estremo inferiore coincide con il minimo, l'estremo superiore con il massimo, cioè fanno parte dell'insieme, e sonop limitati perché l'insieme è limitato].
spero di aver chiarito. ciao.
Si, sei stata molto chiara. Grazie, ada.
E' stata inizialmente difficile da comprendere per me la seconda parte della tua spiegazione, riferimento all'intersezione, ma credo di esser riuscito a capire. grazie mille. alex.
E' stata inizialmente difficile da comprendere per me la seconda parte della tua spiegazione, riferimento all'intersezione, ma credo di esser riuscito a capire. grazie mille. alex.
prego. hai studiato la topologia?
"adaBTTLS":
prego. hai studiato la topologia?
veramente, no! qualche nozione c'era stata detta durante i corsi zero ma il prof non è arrivato a terminare il programma, anticipando qualche argomento di analisi 2 e posticipando altri di analisi 1. Io rappresento, in questo contesto, il caos, come disordine di concetti. sto ripartendo da zero così da vedere di colmare le innumerevoli lacune che mi ritrovo.
da questo punto di vista non ti preoccupare.
durante le prime lezioni di geometria 2 il mio prof. ci disse:
vi hanno detto quando una funzione è continua? ebbene, lo potete anche dimenticare. la definizione corretta è quella che fa uso della topologia.
tra parentesi, è quella che ti ho scritto: f è continua se le controimmagini di aperti sono aperti...
però tu, se vuoi far riferimento a questo, devi pensare come aperti (secondo la topologia euclidea) gli intervalli aperti (cioè estremi esclusi) o unioni finite o infinite di intervalli aperti (compresi l'insieme vuoto, le semirette aperte e tutto R), mentre come chiusi, per definizione, i complementari di aperti (quindi l'insieme vuoto, tutto R, punti isolati, intervalli chiusi e unioni solo finite di punti e intervalli chiusi, comprese però le semirette chiuse).
per ora ti conviene fermarti al concetto di continuità che si studia in analisi 1.
ciao.
EDIT: mi è venuto un dubbio. io ti ho detto correttamente come si formano aperti e chiusi, però si possono fare esempi di unioni numerabili di chiusi che sono complementari di aperti, e quindi sembrerebbe contraddittorio. per te è veramente prematuro, quindi non ti preoccupare. però se qualcun altro volesse intervenire...
durante le prime lezioni di geometria 2 il mio prof. ci disse:
vi hanno detto quando una funzione è continua? ebbene, lo potete anche dimenticare. la definizione corretta è quella che fa uso della topologia.
tra parentesi, è quella che ti ho scritto: f è continua se le controimmagini di aperti sono aperti...
però tu, se vuoi far riferimento a questo, devi pensare come aperti (secondo la topologia euclidea) gli intervalli aperti (cioè estremi esclusi) o unioni finite o infinite di intervalli aperti (compresi l'insieme vuoto, le semirette aperte e tutto R), mentre come chiusi, per definizione, i complementari di aperti (quindi l'insieme vuoto, tutto R, punti isolati, intervalli chiusi e unioni solo finite di punti e intervalli chiusi, comprese però le semirette chiuse).
per ora ti conviene fermarti al concetto di continuità che si studia in analisi 1.
ciao.
EDIT: mi è venuto un dubbio. io ti ho detto correttamente come si formano aperti e chiusi, però si possono fare esempi di unioni numerabili di chiusi che sono complementari di aperti, e quindi sembrerebbe contraddittorio. per te è veramente prematuro, quindi non ti preoccupare. però se qualcun altro volesse intervenire...
"adaBTTLS":
da questo punto di vista non ti preoccupare.
durante le prime lezioni di geometria 2 il mio prof. ci disse:
vi hanno detto quando una funzione è continua? ebbene, lo potete anche dimenticare. la definizione corretta è quella che fa uso della topologia.
tra parentesi, è quella che ti ho scritto: f è continua se le controimmagini di aperti sono aperti...
però tu, se vuoi far riferimento a questo, devi pensare come aperti (secondo la topologia euclidea) gli intervalli aperti (cioè estremi esclusi) o unioni finite o infinite di intervalli aperti (compresi l'insieme vuoto, le semirette aperte e tutto R), mentre come chiusi, per definizione, i complementari di aperti (quindi l'insieme vuoto, tutto R, punti isolati, intervalli chiusi e unioni solo finite di punti e intervalli chiusi, comprese però le semirette chiuse).
per ora ti conviene fermarti al concetto di continuità che si studia in analisi 1.
ciao.
ti ringrazio infinitamente ada. Grazie a voi, malgrado non sia passato nello scritto di analisi ( purtroppo è la teoria che non riesco a comprendere), ho saputo svolgere gli esercizi necessari per un minimo ...ma grazie alle ostre spiegazioni e pazienza. grazie, grazie di cuore. alex
Scusate per l'assenza... spiego un po'.
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
si, ho aggiunto la lettera $h$ semplicemente per alleggerire un po' la notazione
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
Questo si dimostra così: se $lim_(x to barx) f(x)=m<0$ allora $AA alpha in RR, m
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10. si, totalmente a caso, potevo prendere $e, pi, 5, M>0$
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
Qui vorrei fare un po' di chiarezza. Anzitutto: sfrutto questa caratterizzazione delle funzioni continue:
$f:RR to RR "continua"<=> AA C sub RR "chiuso": f^(-1)(C) " chiuso"$
La proposizione scritta sopra è una definizione (se vuoi) di "funzione continua": dipende tutto da come definisci il concetto "funzione continua"; ad esempio,
se sfrutti la definizione $epsilon-delta$, questa equivalenza va provata. Oppure potresti usare la definizione "per successioni" di "funzione continua", anche in questo caso va provata l'equivalenza. Negli spazi topologici una funzione si dice continua <=> la controimmagine di un aperto è un aperto; da questa si ottiene subito la proposizione che ho scritto su. Ovviamente $RR$ è uno spazio topologico e allora...entrano in contrasto tutte queste definizioni dello stesso concetto?? No, si prova che sono tutte equivalenti.
Ok, quindi: se mi dici quale definizione tu preferisci usare..possiamo provare a dimostrare insieme l'equivalenza.
Inoltre ${0}$ è chiuso (dimostrazione?) e quindi $A$ è chiuso (perchè controimmagine mediante una funzione continua di un chiuso).
Non sono convinto del fatto che $A$ sia finito. Probabilmente si può anche scrivere un controesempio.
In effetti non serve ai fini dell'esercizio: so semplicemente che $A$ è limitato (superiormente e inferiormente) quindi è dotato di inf e sup [che ho scoperto essere le abbreviazioni di infimus e supremus, pazzesco], cioè $EE "inf" A, "sup" A in RR$.
Dalle proprietà di estremo superiore [inferiore] si può costruire ${x_n}_(n in NN) sub A t.c. x_n to "sup" A [{y_n}_(n in NN) t.c. y_n to "inf" A].
(mi sapresti dimostrare quello che ho scritto qui?)
Ma $A$ è chiuso. Una caratterizzazione dei chiusi (ancora una volta..che definizione usi tu di "insieme chiuso"?) è:
$A sub RR " chiuso"<=> AA{x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx in RR: barx in A$ (ogni successione di elementi dell'insieme che converge, converge ad un elemento dell'insieme)
Quindi $"inf" A in A$ e $ "sup" A in A$.
Si, è un po' un casino, bisogna avere una salda conoscenza dei concetti..e io ho dato un esame su spazi metrici e topologie la scorsa settimana!
siano $f: (0,+oo) to RR$, $g: (0,+oo) to RR$, $h: (0,+oo) to RR$
$g(x):=sqrt(x)+2$,$h(x):=f(x)-g(x)=f(x)-sqrt(x)-2$.
si, ho aggiunto la lettera $h$ semplicemente per alleggerire un po' la notazione
$A={x in (o,+oo)|h(x)=0}$
la funzione $h$ è continua, inoltre:
$lim_(x to 0) h(x)= -2<0$
e $lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Quindi esistono $a,b in (0,+oo)$ t.c. $h(a)*h(b)<0$. Per il teorema degli zeri allora $A!=O/$
Inoltre c'è un intorno destro di 0 in cui la h è strettamente negativa (ad esempio strettamtne minore di -1)
Questo si dimostra così: se $lim_(x to barx) f(x)=m<0$ allora $AA alpha in RR, m
e un intorno di $+oo$ in cui la funzione è strettamente maggiore..di 10. si, totalmente a caso, potevo prendere $e, pi, 5, M>0$
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
Qui vorrei fare un po' di chiarezza. Anzitutto: sfrutto questa caratterizzazione delle funzioni continue:
$f:RR to RR "continua"<=> AA C sub RR "chiuso": f^(-1)(C) " chiuso"$
La proposizione scritta sopra è una definizione (se vuoi) di "funzione continua": dipende tutto da come definisci il concetto "funzione continua"; ad esempio,
se sfrutti la definizione $epsilon-delta$, questa equivalenza va provata. Oppure potresti usare la definizione "per successioni" di "funzione continua", anche in questo caso va provata l'equivalenza. Negli spazi topologici una funzione si dice continua <=> la controimmagine di un aperto è un aperto; da questa si ottiene subito la proposizione che ho scritto su. Ovviamente $RR$ è uno spazio topologico e allora...entrano in contrasto tutte queste definizioni dello stesso concetto?? No, si prova che sono tutte equivalenti.
Ok, quindi: se mi dici quale definizione tu preferisci usare..possiamo provare a dimostrare insieme l'equivalenza.
Inoltre ${0}$ è chiuso (dimostrazione?) e quindi $A$ è chiuso (perchè controimmagine mediante una funzione continua di un chiuso).
Non sono convinto del fatto che $A$ sia finito. Probabilmente si può anche scrivere un controesempio.
In effetti non serve ai fini dell'esercizio: so semplicemente che $A$ è limitato (superiormente e inferiormente) quindi è dotato di inf e sup [che ho scoperto essere le abbreviazioni di infimus e supremus, pazzesco], cioè $EE "inf" A, "sup" A in RR$.
Dalle proprietà di estremo superiore [inferiore] si può costruire ${x_n}_(n in NN) sub A t.c. x_n to "sup" A [{y_n}_(n in NN) t.c. y_n to "inf" A].
(mi sapresti dimostrare quello che ho scritto qui?)
Ma $A$ è chiuso. Una caratterizzazione dei chiusi (ancora una volta..che definizione usi tu di "insieme chiuso"?) è:
$A sub RR " chiuso"<=> AA{x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx in RR: barx in A$ (ogni successione di elementi dell'insieme che converge, converge ad un elemento dell'insieme)
Quindi $"inf" A in A$ e $ "sup" A in A$.
Si, è un po' un casino, bisogna avere una salda conoscenza dei concetti..e io ho dato un esame su spazi metrici e topologie la scorsa settimana
!
"adaBTTLS":
che cosa è rimasto? un intervallo finito
Un intervallo limitato, intendevi questo?
@ Gaal Dornick
1. se la correzione che mi sono permessa di fare sul tuo vecchio messaggio non fosse corretta, fallo notare, vedo che hai riscritto come prima...
2. sì, certo, intendo un intervallo limitato: un intervallo contiene comunque un numero di elementi uguale al continuo, per cui anche se uso il termine finito per indicare un intervallo limitato, che ha per estremi due numeri finiti, non può esserci equivoco, dato che intervallo implica già l'infinità in termini di punti.
3. se la funzione è per un tratto identicamente nulla, allora le soluzioni non solo sono infinite, ma lo sono in una quantità non numerabile. l'esempio che cercavo di fare io per far riflettere alex era sul fatto che se così non fosse* nei pressi della prima o dell'ultima intersezione, cadrebbe tutto il tuo dicorso riguardo l'esistenza del massimo e del minimo (quello, naturalmente, fatto con gli strumenti dell'analisi e non della topologia): spiegami, se ho interpretato male e non è così.
4. speravo che mi confortassi nella definizione di chiuso.
ciao.
EDIT: mi rendo conto che la frase evidenziata così non si capisce.
intendevo dire se vi fosse un'infinità numerabile di intersezioni o nell'intorno dell'estremo inferiore o nell'intorno dell'estremo superiore, cadrebbe tutto il discorso. la mia opinione è che in tal caso A non sarebbe chiuso, e la funzione h non sarebbe continua. ma sarebbe bene sentire altri pareri o una dimostrazione di questo fatto utilizzando l'analisi e non la topologia.
1. se la correzione che mi sono permessa di fare sul tuo vecchio messaggio non fosse corretta, fallo notare, vedo che hai riscritto come prima...
2. sì, certo, intendo un intervallo limitato: un intervallo contiene comunque un numero di elementi uguale al continuo, per cui anche se uso il termine finito per indicare un intervallo limitato, che ha per estremi due numeri finiti, non può esserci equivoco, dato che intervallo implica già l'infinità in termini di punti.
3. se la funzione è per un tratto identicamente nulla, allora le soluzioni non solo sono infinite, ma lo sono in una quantità non numerabile. l'esempio che cercavo di fare io per far riflettere alex era sul fatto che se così non fosse* nei pressi della prima o dell'ultima intersezione, cadrebbe tutto il tuo dicorso riguardo l'esistenza del massimo e del minimo (quello, naturalmente, fatto con gli strumenti dell'analisi e non della topologia): spiegami, se ho interpretato male e non è così.
4. speravo che mi confortassi nella definizione di chiuso.
ciao.
EDIT: mi rendo conto che la frase evidenziata così non si capisce.
intendevo dire se vi fosse un'infinità numerabile di intersezioni o nell'intorno dell'estremo inferiore o nell'intorno dell'estremo superiore, cadrebbe tutto il discorso. la mia opinione è che in tal caso A non sarebbe chiuso, e la funzione h non sarebbe continua. ma sarebbe bene sentire altri pareri o una dimostrazione di questo fatto utilizzando l'analisi e non la topologia.
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