Definita funzione continua, provare che l'insieme...
vorrei approfittare della vostra bontà e pazienza. non ho capito come svolgere il seguente esercizio. vi chiedo una spiegazione perchè ancora non so come poter fare per risolvere questi tipi di problemi. grazie
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(to 0) f(x)=0$, $lim_(to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
chiedo spiegazioni su come procedere, non tanto lo svolgimento. in caso potete fare altri esempi di funzioni. ho interesse per il problema in sè.
alex
sia f:]0,+oo[ una funz. continua tale che:
$lim_(to 0) f(x)=0$, $lim_(to+oo) f(x)/x=1$
e sia A={x appartiene a ]0,+oo[: $f(x)= sqrtx+2$}
provare che A non è vuoto, è limitato, ha minimo e massimo.
chiedo spiegazioni su come procedere, non tanto lo svolgimento. in caso potete fare altri esempi di funzioni. ho interesse per il problema in sè.
alex
Risposte
Qui vorrei fare un po' di chiarezza. Anzitutto: sfrutto questa caratterizzazione delle funzioni continue:
La proposizione scritta sopra è una definizione (se vuoi) di "funzione continua": dipende tutto da come definisci il concetto "funzione continua"; ad esempio,
se sfrutti la definizione , questa equivalenza va provata. Oppure potresti usare la definizione "per successioni" di "funzione continua", anche in questo caso va provata l'equivalenza. Negli spazi topologici una funzione si dice continua <=> la controimmagine di un aperto è un aperto; da questa si ottiene subito la proposizione che ho scritto su. Ovviamente è uno spazio topologico e allora...entrano in contrasto tutte queste definizioni dello stesso concetto?? No, si prova che sono tutte equivalenti.
Ok, quindi: se mi dici quale definizione tu preferisci usare..possiamo provare a dimostrare insieme l'equivalenza.
Inoltre è chiuso (dimostrazione?) e quindi è chiuso (perchè controimmagine mediante una funzione continua di un chiuso).
Non sono convinto del fatto che sia finito. Probabilmente si può anche scrivere un controesempio.
In effetti non serve ai fini dell'esercizio: so semplicemente che è limitato (superiormente e inferiormente) quindi è dotato di inf e sup [che ho scoperto essere le abbreviazioni di infimus e supremus, pazzesco], cioè .
Dalle proprietà di estremo superiore [inferiore] si può costruire
(mi sapresti dimostrare quello che ho scritto qui?)
Ma è chiuso. Una caratterizzazione dei chiusi (ancora una volta..che definizione usi tu di "insieme chiuso"?) è:
(ogni successione di elementi dell'insieme che converge, converge ad un elemento dell'insieme)
Il libro riporta qualcosa di simile a quello trovato su wikipedia: definisco insieme chiuso un sottoinsieme S di un qualsiasi spazio metrico (X,d) che contenga tutti i suoi punti di accumulazione. La definizione che ho su funzione continua è la seguente ( a parte quella del disegno grafico cotruito senza staccare dal foglio la matita
) _ "Dato un punto reale x0 nel dominio di una funzione f, essa si definisce continua in x0 se il suo limite per x tendente a x0 coincide con il suo valore in x0, ovvero con f(x0)" ( copiato da wikipedia, ma il concetto di funzione continua lo abbiamo assimilato una vlta che ci sono stati spiegati gli intorni e i limiti). ad essere sincero mi sono smarrito nel passo che ti ho quotato sopra...
"adaBTTLS":
@ Gaal Dornick
1. se la correzione che mi sono permessa di fare sul tuo vecchio messaggio non fosse corretta, fallo notare, vedo che hai riscritto come prima...
2. sì, certo, intendo un intervallo limitato: un intervallo contiene comunque un numero di elementi uguale al continuo, per cui anche se uso il termine finito per indicare un intervallo limitato, che ha per estremi due numeri finiti, non può esserci equivoco, dato che intervallo implica già l'infinità in termini di punti.
3. se la funzione è per un tratto identicamente nulla, allora le soluzioni non solo sono infinite, ma lo sono in una quantità non numerabile. l'esempio che cercavo di fare io per far riflettere alex era sul fatto che se così non fosse* nei pressi della prima o dell'ultima intersezione, cadrebbe tutto il tuo dicorso riguardo l'esistenza del massimo e del minimo (quello, naturalmente, fatto con gli strumenti dell'analisi e non della topologia): spiegami, se ho interpretato male e non è così.
4. speravo che mi confortassi nella definizione di chiuso.
ciao.
EDIT: mi rendo conto che la frase evidenziata così non si capisce.
intendevo dire se vi fosse un'infinità numerabile di intersezioni o nell'intorno dell'estremo inferiore o nell'intorno dell'estremo superiore, cadrebbe tutto il discorso. la mia opinione è che in tal caso A non sarebbe chiuso, e la funzione h non sarebbe continua. ma sarebbe bene sentire altri pareri o una dimostrazione di questo fatto utilizzando l'analisi e non la topologia.
Wow! gli elenchi puntati m'hanno sempre messo un po' paura..
1. Non capisco di quale correzione parli; tutti i commenti che hai fatto sul mio post sono corretti, ho riscritto il tutto per chiarezza, diciamo per avere tutto in un colpo d'occhio, senza dover leggere entrambi. L'unica mia critica è sul fatto che $A$ debba essere discreto, non vorrei però scrivere un controesempio...e del resto non serve che sia discreto ai fini dell'esercizio.
2. E' la prima volta che sento questa terminologia, scusami.
3. Non capisco perchè distinguere topologia e analisi... i risultati che si ottengono sfruttando la topologia possono essere ottenuti anche in uno spazio metrico, un po' più laboriosamente, ma si possono comunque ottenere. E sono pronto a scriverli, nel caso in cui Alex non ci arrivi da solo (come ho già scritto).
4. Non ho capito.
ehm....io ormai mi sono smarrito....scusate 
Ah!
Lascia perdere la definizione di Wikipedia di insieme chiuso.. è un po' incasinata, anche se ovviamente valida (equivalente!).
All'inizio io usavo la definizione che t'ho detto sopra. Mi sembra abbastanza versatile.
Sbagliatissimo!! Ad esempio $1/x$ è continua, ma per disegnarla devi staccare la matita dal foglio.
Quindi nella tua definizione di funzione continua, per verificare se la funzione è continua in un punto, devi poter calcolare il limite della funzione in quel punto. E se il punto non è di accumulazione per l'insieme? Come fai a calcolare il limite?
A questo punto sorge spontanea "che definizione di limite usi?"
Ok, cosa non hai capito?
"bad.alex":
Il libro riporta qualcosa di simile a quello trovato su wikipedia: definisco insieme chiuso un sottoinsieme S di un qualsiasi spazio metrico (X,d) che contenga tutti i suoi punti di accumulazione.
Lascia perdere la definizione di Wikipedia di insieme chiuso.. è un po' incasinata, anche se ovviamente valida (equivalente!).
All'inizio io usavo la definizione che t'ho detto sopra. Mi sembra abbastanza versatile.
a parte quella del disegno grafico cotruito senza staccare dal foglio la matita
Sbagliatissimo!! Ad esempio $1/x$ è continua, ma per disegnarla devi staccare la matita dal foglio.
"Dato un punto reale x0 nel dominio di una funzione f, essa si definisce continua in x0 se il suo limite per x tendente a x0 coincide con il suo valore in x0, ovvero con f(x0)"
Quindi nella tua definizione di funzione continua, per verificare se la funzione è continua in un punto, devi poter calcolare il limite della funzione in quel punto. E se il punto non è di accumulazione per l'insieme? Come fai a calcolare il limite?
A questo punto sorge spontanea "che definizione di limite usi?"
ad essere sincero mi sono smarrito nel passo che ti ho quotato sopra..
Ok, cosa non hai capito?
"Gaal Dornick":
Non sono convinto del fatto che $A$ sia finito. Probabilmente si può anche scrivere un controesempio.
In effetti non serve ai fini dell'esercizio: so semplicemente che $A$ è limitato (superiormente e inferiormente) quindi è dotato di inf e sup [che ho scoperto essere le abbreviazioni di infimus e supremus, pazzesco], cioè $EE "inf" A, "sup" A in RR$.
Dalle proprietà di estremo superiore [inferiore] si può costruire ${x_n}_(n in NN) sub A t.c. x_n to "sup" A [{y_n}_(n in NN) t.c. y_n to "inf" A].
(mi sapresti dimostrare quello che ho scritto qui?)
Ma $A$ è chiuso. Una caratterizzazione dei chiusi (ancora una volta..che definizione usi tu di "insieme chiuso"?) è:
$A sub RR " chiuso"<=> AA{x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx in RR: barx in A$ (ogni successione di elementi dell'insieme che converge, converge ad un elemento dell'insieme)
Quindi $"inf" A in A$ e $ "sup" A in A$.
è la parte che ho poco capito. a dire il vero, il discorso della matita e del disegno la riprendono i prof che vogliono banalmente e frttolosamente dare idea del concetto di funzione continua. La definizione di limite è la più gettonata...battute a parte, la def di funzione continua c'è stata detta a seguito delle spiegazioni di limit. non saprei dirti altro.
rispondo qua e là ad alcune domande:
"mi sono permessa di togliere un "fratto x" alla componente g" (questa era l'annotazione che ho riportato nel primo messaggio di pagina 2)
intervengo sulla continuità (ho già ricordato quanto ci disse il prof di topologia!): in analisi, quando ancora non si studia la topologia, ed anche per motivazioni forse più intuitive e storiche, si parla non di continuità (generale) di una funzione, ma di continuità puntuale... e poi si parla, a parte, di continuità uniforme...
una funzione f si dice continua in un punto c (che necessariamente deve essere di accumulazione) se esistono, finiti entrambi ed uguali tra loro, e uguali al valore della funzione f(c), i limiti destro e sinistro di f per x che tende a c.
se per caso c fosse un punto isolato, la funzione si considera automaticamente discontinua, perché vuol dire che il dominio è "sconnesso" (ho voluto usare questo termine topologico per rendere l'idea), e la continuità la consideriamo sulla "relazione univoca" definita su R (detta impropriamente funzione reale) e non sulla funzione di dominio D sottoinsieme proprio di R: altrimenti perché studiamo gli asintoti verticali e diciamo che la funzione è discontinua in quei punti?
sul fatto di intervallo limitato, è comunque bene che me lo hai fatto notare: la parola "finito" mi è sfuggita, e non sono sicura se si usa.
per quanto riguarda la possibilità che la funzione si annulli in tutto un intervallo, l'ho indicato io, e non ho cambiato idea sulla possibilità.
attendo con ansia un esempio di funzione reale ben definita e continua in un intervallo chiuso, che abbia un numero infinito numerabile di intersezioni con l'asse x in quell'intervallo chiuso.
il dubbio poi che chiedevo di chiarire era sulla banale definizione di chiuso, in relazione agli aperti: ti faccio direttamente l'esempio così ci capiamo.
considero l'insieme R con la topologia euclidea. la definizione di aperto porta a considerare aperti anche unioni numerabili di intervalli aperti.
si definisce chiuso un qualsiasi complementare di aperto. però dati più chiusi, solo l'unione finita può essere considerata un chiuso, non un'unione numerabile (ovviamente ci sono delle eccezioni, dipende da come si prendono i chiusi di partenza, ma è importante che l'unione numerabile non garantisca il fatto che il risultato sia un chiuso). forse il problema riguarda ricoprimenti infiniti di intervalli aperti fatti con intervalli chiusi? perché così me lo spiegherei, ma ad esempio un'unione numerabile di intervalli chiusi disgiunti risulta essere complementare di un aperto, e quindi un chiuso. chiedo se è così, e ti scrivo l'esempio:
$...uu[-5,-4]uu[-3,-2]uu[-1,0]uu[1,2]uu[3,4]uu[5,6]uu...$
mi dispiace per alex che porta a nostra conoscenza esempi sempre molto ingarbugliati, e questo spesso porta ad aprire ampie discussioni tra tanti forumisti che forse lo portano fuori fase.
ti consiglio, Alex, di selezionare quello che ti è più utile e lasciar perdere altre cose che ti portano fuori strada.
ciao a tutti.
"mi sono permessa di togliere un "fratto x" alla componente g" (questa era l'annotazione che ho riportato nel primo messaggio di pagina 2)
intervengo sulla continuità (ho già ricordato quanto ci disse il prof di topologia!): in analisi, quando ancora non si studia la topologia, ed anche per motivazioni forse più intuitive e storiche, si parla non di continuità (generale) di una funzione, ma di continuità puntuale... e poi si parla, a parte, di continuità uniforme...
una funzione f si dice continua in un punto c (che necessariamente deve essere di accumulazione) se esistono, finiti entrambi ed uguali tra loro, e uguali al valore della funzione f(c), i limiti destro e sinistro di f per x che tende a c.
se per caso c fosse un punto isolato, la funzione si considera automaticamente discontinua, perché vuol dire che il dominio è "sconnesso" (ho voluto usare questo termine topologico per rendere l'idea), e la continuità la consideriamo sulla "relazione univoca" definita su R (detta impropriamente funzione reale) e non sulla funzione di dominio D sottoinsieme proprio di R: altrimenti perché studiamo gli asintoti verticali e diciamo che la funzione è discontinua in quei punti?
sul fatto di intervallo limitato, è comunque bene che me lo hai fatto notare: la parola "finito" mi è sfuggita, e non sono sicura se si usa.
per quanto riguarda la possibilità che la funzione si annulli in tutto un intervallo, l'ho indicato io, e non ho cambiato idea sulla possibilità.
attendo con ansia un esempio di funzione reale ben definita e continua in un intervallo chiuso, che abbia un numero infinito numerabile di intersezioni con l'asse x in quell'intervallo chiuso.
il dubbio poi che chiedevo di chiarire era sulla banale definizione di chiuso, in relazione agli aperti: ti faccio direttamente l'esempio così ci capiamo.
considero l'insieme R con la topologia euclidea. la definizione di aperto porta a considerare aperti anche unioni numerabili di intervalli aperti.
si definisce chiuso un qualsiasi complementare di aperto. però dati più chiusi, solo l'unione finita può essere considerata un chiuso, non un'unione numerabile (ovviamente ci sono delle eccezioni, dipende da come si prendono i chiusi di partenza, ma è importante che l'unione numerabile non garantisca il fatto che il risultato sia un chiuso). forse il problema riguarda ricoprimenti infiniti di intervalli aperti fatti con intervalli chiusi? perché così me lo spiegherei, ma ad esempio un'unione numerabile di intervalli chiusi disgiunti risulta essere complementare di un aperto, e quindi un chiuso. chiedo se è così, e ti scrivo l'esempio:
$...uu[-5,-4]uu[-3,-2]uu[-1,0]uu[1,2]uu[3,4]uu[5,6]uu...$
mi dispiace per alex che porta a nostra conoscenza esempi sempre molto ingarbugliati, e questo spesso porta ad aprire ampie discussioni tra tanti forumisti che forse lo portano fuori fase.
ti consiglio, Alex, di selezionare quello che ti è più utile e lasciar perdere altre cose che ti portano fuori strada.
ciao a tutti.
"adaBTTLS":Si, hai ragione tu.
"mi sono permessa di togliere un "fratto x" alla componente g" (questa era l'annotazione che ho riportato nel primo messaggio di pagina 2)
intervengo sulla continuità (ho già ricordato quanto ci disse il prof di topologia!): in analisi, quando ancora non si studia la topologia, ed anche per motivazioni forse più intuitive e storiche, si parla non di continuità (generale) di una funzione, ma di continuità puntuale... e poi si parla, a parte, di continuità uniforme...
una funzione f si dice continua in un punto c (che necessariamente deve essere di accumulazione) se esistono, finiti entrambi ed uguali tra loro, e uguali al valore della funzione f(c), i limiti destro e sinistro di f per x che tende a c.
se per caso c fosse un punto isolato, la funzione si considera automaticamente discontinua, perché vuol dire che il dominio è "sconnesso" (ho voluto usare questo termine topologico per rendere l'idea), e la continuità la consideriamo sulla "relazione univoca" definita su R (detta impropriamente funzione reale) e non sulla funzione di dominio D sottoinsieme proprio di R: altrimenti perché studiamo gli asintoti verticali e diciamo che la funzione è discontinua in quei punti?
Dissento. Limitiamoci a parlare di topologia (e metrica) euclidea. Ricapitolo come la penso (non sto dicendo che tu dici cose diverse, semplicemtne ricapitolo, è un mio vizio
):Si parla di continuità in un punto se $AAepsilon>0 EEdelta>0 t.c. AA x in A,|x-x_0|
C'è continuità in un insieme (globale, se vuoi) se c'è continuità in ogni punto dell'insieme.
La continuità uniforme è un'altra cosa, non vale la pena parlarne.
Ma soprattutto: vera la definizione che ho dato (sulla quale spero concorderai) si ha che:
dato $x_0$ nel dominio e punto di accumulazione per esso: $f " continua ""in " x_0<=>lim_(x to x_0) f(x)=f(x_0)$
dato $x_0$ nel dominio e punto isolato si ha automaticamente la continuità.
E non c'entrano niente questioni di connessione..
attendo con ansia un esempio di funzione reale ben definita e continua in un intervallo chiuso, che abbia un numero infinito numerabile di intersezioni con l'asse x in quell'intervallo chiuso.
Il seno sui reali: i reali sono un intervallo chiuso, si annulla su un insieme numerabile ($piZZ$).
Se preferisci: $x*sin(1/x)$ definita in [0,1]: si annulla in $1/(kpi), k in NN$ e in $0$, un'infinità numerabile di punti. E' continua su [0,1].
il dubbio poi che chiedevo di chiarire era sulla banale definizione di chiuso, in relazione agli aperti: ti faccio direttamente l'esempio così ci capiamo.
considero l'insieme R con la topologia euclidea. la definizione di aperto porta a considerare aperti anche unioni numerabili di intervalli aperti.
si definisce chiuso un qualsiasi complementare di aperto. però dati più chiusi, solo l'unione finita può essere considerata un chiuso, non un'unione numerabile (ovviamente ci sono delle eccezioni, dipende da come si prendono i chiusi di partenza, ma è importante che l'unione numerabile non garantisca il fatto che il risultato sia un chiuso). forse il problema riguarda ricoprimenti infiniti di intervalli aperti fatti con intervalli chiusi? perché così me lo spiegherei, ma ad esempio un'unione numerabile di intervalli chiusi disgiunti risulta essere complementare di un aperto, e quindi un chiuso. chiedo se è così, e ti scrivo l'esempio:
$...uu[-5,-4]uu[-3,-2]uu[-1,0]uu[1,2]uu[3,4]uu[5,6]uu...$
Unione finita di chiusi è un chiuso. E' difficile migliorare questo risultato. Ad esempio unione di una famiglia localmente finita di chiusi è chiuso.
[Dato $(X,tau)$ e $ {V_n}_(n in NN) sub P(X)$ si dice che tale famiglia è localmente finita <=> $AA x in X EE A in tau t.c. EE J sub I " finito " t.c. AAi in I-J: AcupV_i=O/$ cioè questo aperto A incontra un numero finito di elementi della famiglia]
Ma non è detto che unione sovrafinita (non so se esiste questa parola, l'ho inventata ora!) di chiusi sia un chiuso: se fosse vero (passando al complementare)avremmo che intersezione sovrafinita di aperti sarebbe un aperto: controesempio: $A_n=(-1/n,1/n)$. Si ha $cap_(n in NN^+) A_n={0}$ che è chiuso.
Non vorrei aggiungere altra carne al fuoco, ma rileggendo il post noto un errore che comunque lascia tutto corretto:
Per come è definita la funzione $h(x)$ dovremmo avere:
$lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) [f(x)/x*x-sqrt(x)-2]=lim_(x to +oo) [f(x)/x*x-sqrt(x)]=lim_(x to +oo) sqrt(x)[f(x)/x*sqrt(x)-1]=+oo$
dove ho utilizzato gli sviluppi asintotici polinomiali per $x->+oo$ per garantire l'uguaglianza nei limiti.
Probabilmente non volevi nemmeno mettere $x$ al denominatore della funzione che tu hai chiamato $g(x)$.
Comunque complimenti per lo svolgimento dell'esercizio perché era tutto molto chiaro e ben motivato! (Almeno a me è sembrato così...)
edit: nel frattempo qualcun altro l'aveva segnalato e non me ne ero accorto
"Gaal Dornick":
Vediamo un po' se vi convince:
$lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) f(x)/x*x-frac{sqrt(x)+2}{x}=+oo$ (date le ipotesi)
Per come è definita la funzione $h(x)$ dovremmo avere:
$lim_(x to +oo) h(x)=lim_(x to +oo) [f(x)/x*x-sqrt(x)-2]=lim_(x to +oo) [f(x)/x*x-sqrt(x)]=lim_(x to +oo) sqrt(x)[f(x)/x*sqrt(x)-1]=+oo$
dove ho utilizzato gli sviluppi asintotici polinomiali per $x->+oo$ per garantire l'uguaglianza nei limiti.
Probabilmente non volevi nemmeno mettere $x$ al denominatore della funzione che tu hai chiamato $g(x)$.
Comunque complimenti per lo svolgimento dell'esercizio perché era tutto molto chiaro e ben motivato! (Almeno a me è sembrato così...)
edit: nel frattempo qualcun altro l'aveva segnalato e non me ne ero accorto
l'esempio purtroppo, o per fortuna, non funziona. ho parlato di intervallo chiuso in cui una funzione è ben definita e continua. in 0 la funzione che hai considerato (tra l'altro uguale all'esempio che avevo fatto io per dire il contrario!) non è ben definita. quindi, volendo usare quella, dovresti partire da un punto preciso, anche se a scelta, maggiore di zero. ma non credo funzioni.
quanto ai punti isolati, posso convenire. è questione di dominio: la questine di tracciare grafici separati legata al fatto che la funzione non è definita in tutto R si può interpretare alla luce di altre definizioni.
in analisi invece si parla di punti isolati di discontinuità... questo però penso che tu lo accetti...: ma come lo interpreti?
ti volevo chiedere invece su quel "chiuso particolare" se secondo te è un chiuso: te lo riscrivo secondo notazioni più consone, se ci riesco:
$C=uuu_(k in ZZ)\[2k-1, 2k]$
ciao e grazie.
quanto ai punti isolati, posso convenire. è questione di dominio: la questine di tracciare grafici separati legata al fatto che la funzione non è definita in tutto R si può interpretare alla luce di altre definizioni.
in analisi invece si parla di punti isolati di discontinuità... questo però penso che tu lo accetti...: ma come lo interpreti?
ti volevo chiedere invece su quel "chiuso particolare" se secondo te è un chiuso: te lo riscrivo secondo notazioni più consone, se ci riesco:
$C=uuu_(k in ZZ)\[2k-1, 2k]$
ciao e grazie.
Puoi prolungare la funzione in 0 per continuità. Non l'ho detto perchè mi sembrava scontato: più esplicitamente:
sia $F(X)={(x*sin(1/x),0
Una funzione continua si può disegnare senza alzare la matita dal foglio SU INTERVALLI (o più in generale su connessi).
Speravo ci arrivasse Alex..
Il $C$ da te definito è unione localmente finita di chiusi, quindi è chiuso.
sia $F(X)={(x*sin(1/x),0
Una funzione continua si può disegnare senza alzare la matita dal foglio SU INTERVALLI (o più in generale su connessi).
Speravo ci arrivasse Alex..Il $C$ da te definito è unione localmente finita di chiusi, quindi è chiuso.
OK. apro una brevissima parentesi per dire che ho l'impressione che con il tuo modo di ragionare "saltano" tutti i concetti base sui punti isolati di discontinuità (e anche non isolati): una funzione non definita in un punto ma definita nell'intorno che ammette un certo limite nell'intorno (o forse anche se i limiti destro e sinistro sono diversi!) per te è continua, perché il punto non va considerato in quanto non fa parte del dominio. correggimi se sbaglio: ho interpretato bene?
ora veniamo alla questione più specifica dell'esercizio: l'esistenza di una funzione come quella scritta da te (l'ultima F(X)) certamente non semplifica le cose nel problema di alex.
senza usare la topologia, come dimostreresti che A ha massimo e minimo?
intendiamoci, puoi usare la proprietà dei chiusi per cui gli estremi appartengono all'insieme, ma mi piacerebbe sapere come dimostri che A è un chiuso senza ricorrere alla continuità della funzione secondo la definizione topologica che te lo assicura in maniera banale.
ciao e grazie.
ora veniamo alla questione più specifica dell'esercizio: l'esistenza di una funzione come quella scritta da te (l'ultima F(X)) certamente non semplifica le cose nel problema di alex.
Nel complementare dell'unione (che è limitato) è sicuramente contenuto $A$, quindi $A$ è limitato.
Inoltre $A=h^(-1)({0})$, $h$ continua, ${0}$ chiuso, quindi $A$ chiuso. Quindi contiene il sup e l'inf di se stesso, che sono pertanto massimo e minimo.
Qui vorrei fare un po' di chiarezza. Anzitutto: sfrutto questa caratterizzazione delle funzioni continue:
$f:RR to RR "continua"<=> AA C sub RR "chiuso": f^(-1)(C) " chiuso"$
La proposizione scritta sopra è una definizione (se vuoi) di "funzione continua": dipende tutto da come definisci il concetto "funzione continua"; ad esempio,
se sfrutti la definizione $epsilon-delta$, questa equivalenza va provata. Oppure potresti usare la definizione "per successioni" di "funzione continua", anche in questo caso va provata l'equivalenza. Negli spazi topologici una funzione si dice continua <=> la controimmagine di un aperto è un aperto; da questa si ottiene subito la proposizione che ho scritto su. Ovviamente $RR$ è uno spazio topologico e allora...entrano in contrasto tutte queste definizioni dello stesso concetto?? No, si prova che sono tutte equivalenti.
Ok, quindi: se mi dici quale definizione tu preferisci usare..possiamo provare a dimostrare insieme l'equivalenza.
Inoltre ${0}$ è chiuso (dimostrazione?) e quindi $A$ è chiuso (perchè controimmagine mediante una funzione continua di un chiuso).
Non sono convinto del fatto che $A$ sia finito. Probabilmente si può anche scrivere un controesempio.
In effetti non serve ai fini dell'esercizio: so semplicemente che $A$ è limitato (superiormente e inferiormente) quindi è dotato di inf e sup [che ho scoperto essere le abbreviazioni di infimus e supremus, pazzesco], cioè $EE "inf" A, "sup" A in RR$.
Dalle proprietà di estremo superiore [inferiore] si può costruire ${x_n}_(n in NN) sub A t.c. x_n to "sup" A [{y_n}_(n in NN) t.c. y_n to "inf" A].
(mi sapresti dimostrare quello che ho scritto qui?)
Ma $A$ è chiuso. Una caratterizzazione dei chiusi (ancora una volta..che definizione usi tu di "insieme chiuso"?) è:
$A sub RR " chiuso"<=> AA{x_n}_(n in NN) sub A, x_n to barx in RR: barx in A$ (ogni successione di elementi dell'insieme che converge, converge ad un elemento dell'insieme)
Quindi $"inf" A in A$ e $ "sup" A in A$.
Si, è un po' un casino, bisogna avere una salda conoscenza dei concetti..e io ho dato un esame su spazi metrici e topologie la scorsa settimana
senza usare la topologia, come dimostreresti che A ha massimo e minimo?
intendiamoci, puoi usare la proprietà dei chiusi per cui gli estremi appartengono all'insieme, ma mi piacerebbe sapere come dimostri che A è un chiuso senza ricorrere alla continuità della funzione secondo la definizione topologica che te lo assicura in maniera banale.
ciao e grazie.
Sulla continuità, mi permetto di autocitarmi 
:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... html#79547
Ma tutto il thread è interessante
:https://www.matematicamente.it/forum/pro ... html#79547
Ma tutto il thread è interessante
grazie a Fioravante per il contributo, che da un lato mi conforta nel senso di ciò che ci ha detto il prof di Geometria 2, ma da un lato mi pone di fronte ad una realtà "assurda" nella prospettiva dell'insegnamento dell'analisi (io in realtà ora insegno al classico, e quando mi è capitato di insegnare al 5° scientifico ho dato entrambe le versioni...): salta tutto l'impianto.
in questa prospettiva, anche le "dicontinuità di salto" (nei tre casi in cui la funzione ha valore uguale a uno dei due limiti o valore diverso da entrambi o non è definita) e le discontinuità di seconda specie nel senso di limite infinito o di limiti destro e sinistro l'uno +infinito e l'altro -infinito (per non parlare di discontinuità eliminabile)...: nessuna di queste è una vera discontinuità oppure il non considerarla una discontunuità è strettamente legata alla non definizione della funzione in un punto?
in tale prospettiva, quali dei casi precedenti vanno considerati come "discontinuità"?
ciao e grazie.
in questa prospettiva, anche le "dicontinuità di salto" (nei tre casi in cui la funzione ha valore uguale a uno dei due limiti o valore diverso da entrambi o non è definita) e le discontinuità di seconda specie nel senso di limite infinito o di limiti destro e sinistro l'uno +infinito e l'altro -infinito (per non parlare di discontinuità eliminabile)...: nessuna di queste è una vera discontinuità oppure il non considerarla una discontunuità è strettamente legata alla non definizione della funzione in un punto?
in tale prospettiva, quali dei casi precedenti vanno considerati come "discontinuità"?
ciao e grazie.
diciamo che in parte ho trovato una risposta:
se considero la funzione
$f(x)={[x" if "x<0],[x^2+1" if "x>=0] :}$
essa è discontinua perché la controimmagine di $(1/2, 2)$, aperto, è $[0,1)$ che aperto non è.
se però scrivo
$g(x)={[x" if "x<0],[x^2+1" if "x>0] :}$
questa è continua (abbiamo solo eliminato il vecchio punto di discontinuità dal dominio).
è così? ciao.
se considero la funzione
$f(x)={[x" if "x<0],[x^2+1" if "x>=0] :}$
essa è discontinua perché la controimmagine di $(1/2, 2)$, aperto, è $[0,1)$ che aperto non è.
se però scrivo
$g(x)={[x" if "x<0],[x^2+1" if "x>0] :}$
questa è continua (abbiamo solo eliminato il vecchio punto di discontinuità dal dominio).
è così? ciao.
Non mi farei troppi problemi.
Come dicevo nel post citato:
Quindi, da un punto di vista formale, non ha senso dire che abbiamo una funzione discontinua in 0.
Ma, anche qui, subentrano le convenzioni...
Se un collega, parlando, mi dice che questa è una funzione discontinua in 0, non lo interrompo dicendogli: "Ha! Sbagliato! Errore grave, da penna blu!". Semplicemente interpreto quello che lui dice nel modo seguente: "non è possibile prolungare la funzione in 0 in modo da ottenere una funzione continua in 0" (come già detto in post passati da Luca.Lussardi).
E, allora, i prof di liceo sbagliano? Non so. Loro hanno la difficoltà di trasmettere un messaggio corretto ma anche adeguato al livello di conoscenza di chi hanno di fronte. Per cui si trovano a dover fare dei compromessi (come molte "dimostrazioni" che si fanno al liceo). Quale è il livello adeguato del discorso, tenendo anche conto degli "errori postumi" (e le incertezze) che ne possono derivare? Non so. Per fortuna non è il mio mestiere rispondere a domande così difficili!
Come dicevo nel post citato:
Quindi, da un punto di vista formale, non ha senso dire che abbiamo una funzione discontinua in 0.
Ma, anche qui, subentrano le convenzioni...
Se un collega, parlando, mi dice che questa è una funzione discontinua in 0, non lo interrompo dicendogli: "Ha! Sbagliato! Errore grave, da penna blu!". Semplicemente interpreto quello che lui dice nel modo seguente: "non è possibile prolungare la funzione in 0 in modo da ottenere una funzione continua in 0" (come già detto in post passati da Luca.Lussardi).
E, allora, i prof di liceo sbagliano? Non so. Loro hanno la difficoltà di trasmettere un messaggio corretto ma anche adeguato al livello di conoscenza di chi hanno di fronte. Per cui si trovano a dover fare dei compromessi (come molte "dimostrazioni" che si fanno al liceo). Quale è il livello adeguato del discorso, tenendo anche conto degli "errori postumi" (e le incertezze) che ne possono derivare? Non so. Per fortuna non è il mio mestiere rispondere a domande così difficili!
... però è un buono spunto per il manuale che andiamo a realizzare...
"adaBTTLS":
$g(x)={[x" if "x<0],[x^2+1" if "x>0] :}$
questa è continua (abbiamo solo eliminato il vecchio punto di discontinuità dal dominio).
Certo. Però non è prolungabile per continuità, per cui basta sostituire la fase "non è continua in 0" (scoretta, perché in 0 no è definita), con "non è prolungabile per continuità in 0".
C'è dietro una idea di "mass action". I punti isolati sostanzialmente contano poco
Un po' più seriamente, c'è da dire che questa funzione od un suo prolungamento per continuità sono "sperimentalmente indistinguibili". Intendo dire: se stanno a rappresentare dati sperimentali (ma anche previsioni teoriche, mi azzarderei a dire), è un po' difficile dire quale delle due è quella giusta. Quello che conta è che nel punto incriminato, lo 0 in questo caso, o molto vicino ad esso, si ha una "brusca variazione dei valori" della grandezza che stiamo osservando.
però, se consideriamo $f(x)={[(x^2+x-2)/(x-1)" if "x != 1], [0 " if " x=1] :}$
questa la consideriamo discontinua perché definita in x=1 e non continua, si può "modificare" mettendo f(1)=3 (ed infatti si parla di discontinuità eliminabile):
se non fosse stato specificato f(1)=0 si poteva dire "prolungabile per continuità a x=1, prendendo f(1)=3"; nel caso in cui specifichiamo f(1)=0 non possiamo più dire prolungabile per continuità. mentre con l'altra definizione si parlava di "discontinuità eliminabile" in entrambi i casi.
nel caso di "non esistenza" dei limiti destro o sinistro nel caso in cui la funzione sia definita nei due intorni, penso che comunque si possa parlare di discontinuità.
nel caso di limiti infiniti, sicuramente non si può parlare di prolungamento per continuità, ma il fattore discriminante torna ad essere l'essere o meno definita la funzione in un punto "critico": non c'è differenza tra limiti destro e sinistro infiniti dello stesso segno o di segno opposto?
ciao e grazie.
questa la consideriamo discontinua perché definita in x=1 e non continua, si può "modificare" mettendo f(1)=3 (ed infatti si parla di discontinuità eliminabile):
se non fosse stato specificato f(1)=0 si poteva dire "prolungabile per continuità a x=1, prendendo f(1)=3"; nel caso in cui specifichiamo f(1)=0 non possiamo più dire prolungabile per continuità. mentre con l'altra definizione si parlava di "discontinuità eliminabile" in entrambi i casi.
nel caso di "non esistenza" dei limiti destro o sinistro nel caso in cui la funzione sia definita nei due intorni, penso che comunque si possa parlare di discontinuità.
nel caso di limiti infiniti, sicuramente non si può parlare di prolungamento per continuità, ma il fattore discriminante torna ad essere l'essere o meno definita la funzione in un punto "critico": non c'è differenza tra limiti destro e sinistro infiniti dello stesso segno o di segno opposto?
ciao e grazie.
L'ultima $F$ era semplicemente il controesempio che m'avevi chiesto.
Tornando all'esercizio: sappiamo che $A$ è limitato, quindi $EE"inf"A in RR$. Dalle proprietà dell'inf $EE{x_n}_(n in NN) subA:x_n to "inf"A$. $(AAn in NN: h(x_n)=0)=>$(per la continuità di h) $h("inf"A)=h(lim_n x_n)=lim_n h(x_n)=0$
Quindi $"inf"A in A$. Quindi A è dotato di minimo. Analogamente A è dotato di massimo.
Questa è difatto la dimostrazione che la controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua è un chiuso.
E non ci vedo niente di topologico. Come dicevo su, è facile da dimostare..bisogna fare solo un po' di attenzione alla definizione di "funzione continua" che si usa. Io ho utilizzato la caratterizzazione sequenziale ora.
Se vuoi una dimostrazione dell'altra implicazione (se antitrasforma chiusi in chiusi allora è continua) puoi vedere (grazie a Google) qui http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geotop-2007/w2.pdf pag.2
Tornando all'esercizio: sappiamo che $A$ è limitato, quindi $EE"inf"A in RR$. Dalle proprietà dell'inf $EE{x_n}_(n in NN) subA:x_n to "inf"A$. $(AAn in NN: h(x_n)=0)=>$(per la continuità di h) $h("inf"A)=h(lim_n x_n)=lim_n h(x_n)=0$
Quindi $"inf"A in A$. Quindi A è dotato di minimo. Analogamente A è dotato di massimo.
Questa è difatto la dimostrazione che la controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua è un chiuso.
E non ci vedo niente di topologico. Come dicevo su, è facile da dimostare..bisogna fare solo un po' di attenzione alla definizione di "funzione continua" che si usa. Io ho utilizzato la caratterizzazione sequenziale ora.
Se vuoi una dimostrazione dell'altra implicazione (se antitrasforma chiusi in chiusi allora è continua) puoi vedere (grazie a Google) qui http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/geotop-2007/w2.pdf pag.2
grazie.
se hai notato, c'è stata un'evoluzione nel frattempo, con l'intervento di Fioravante, ed io non ho dubbi sulla validità delle tue affermazioni (piuttosto, era una battaglia che conducevo con me stessa vedendo delle contraddizioni tra i vari modi di definire la continuità).
nell'ultima richiesta che ti avevo fatto ti chiedevo solo se era possibile
dimostrare che A è un chiuso senza utilizzare il fatto che A è la controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua.
grazie comunque per tutte queste attenzioni ed informazioni aggiuntive. ciao.
se hai notato, c'è stata un'evoluzione nel frattempo, con l'intervento di Fioravante, ed io non ho dubbi sulla validità delle tue affermazioni (piuttosto, era una battaglia che conducevo con me stessa vedendo delle contraddizioni tra i vari modi di definire la continuità).
nell'ultima richiesta che ti avevo fatto ti chiedevo solo se era possibile
dimostrare che A è un chiuso senza utilizzare il fatto che A è la controimmagine di un chiuso mediante una funzione continua.
grazie comunque per tutte queste attenzioni ed informazioni aggiuntive. ciao.
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