Decomposizione in fratti semplici
Salve ragazzi! Ho un lapsus per quanto riguarda la scompisizione in fratti semplici di una funzione razionale fratta.
Per esempio: $(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$ posso scomporlo in questo modo $a/x+b/(x-1)+c/(x-2)$ ????????
Ho delle reminescenze che risalgono al tempo del liceo che mi dicono che quando si ha una espressione di grado superiore, in questo caso di secondo grado, bisogna metere un binomio di primo grado al numeratore con coefficienti incogniti. Mi rinfrescate la memoria per favore?
Per esempio: $(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$ posso scomporlo in questo modo $a/x+b/(x-1)+c/(x-2)$ ????????
Ho delle reminescenze che risalgono al tempo del liceo che mi dicono che quando si ha una espressione di grado superiore, in questo caso di secondo grado, bisogna metere un binomio di primo grado al numeratore con coefficienti incogniti. Mi rinfrescate la memoria per favore?
Risposte
Sì, la scomposizione è giusta. Il "trucco" è che il grado di ogni numeratore deve essere minore di uno del grado del rispettivo denominatore.
Ho provato a fare i conti e mi viene:
a=1/2
b=-2
c=5/2
se è giusto, mi spiego!
a=1/2
b=-2
c=5/2
se è giusto, mi spiego!
$[(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))=A/x+B/(x-1)+C/(x-2)]$
$A=lim_(x->0)[x*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->0)[(x^2+1)/((x-1)(x-2))]=1/2$
$B=lim_(x->1)[(x-1)*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->1)[(x^2+1)/(x(x-2))]=-2$
$C=lim_(x->2)[(x-2)*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->2)[(x^2+1)/(x(x-1))]=5/2$
$[(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))=1/(2x)-2/(x-1)+5/(2(x-2))]$
$A=lim_(x->0)[x*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->0)[(x^2+1)/((x-1)(x-2))]=1/2$
$B=lim_(x->1)[(x-1)*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->1)[(x^2+1)/(x(x-2))]=-2$
$C=lim_(x->2)[(x-2)*(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))]=lim_(x->2)[(x^2+1)/(x(x-1))]=5/2$
$[(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))=1/(2x)-2/(x-1)+5/(2(x-2))]$
Ciao Speculor!
mi tornano i tuoi stessi risultati anche se il mio procedimento è diverso, ora lo illustro:
se
$(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$=$A/x+B/(x-1)+C/(x-2)$
allora
$(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$=$(A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1))/(x(x-1)(x-2))$
da cui
$x^2+1=Ax^2+Bx^2+Cx^2-3Ax-2Bx-Cx+2A$
ed infine
$A+B+C=1$
$-3A-2B-C=0$
$2A=1$
dopodichè si risolve il sistema in tre e quazioni e tre incognite, corretto?
mi tornano i tuoi stessi risultati anche se il mio procedimento è diverso, ora lo illustro:
se
$(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$=$A/x+B/(x-1)+C/(x-2)$
allora
$(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$=$(A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1))/(x(x-1)(x-2))$
da cui
$x^2+1=Ax^2+Bx^2+Cx^2-3Ax-2Bx-Cx+2A$
ed infine
$A+B+C=1$
$-3A-2B-C=0$
$2A=1$
dopodichè si risolve il sistema in tre e quazioni e tre incognite, corretto?
Ciao gio73. Immaginavo che l'avessi risolto così. Tuttavia, almeno quando il denominatore è il prodotto di binomi di primo grado, l'altro metodo mi sembra più immediato.
Ho riletto il tuo intervento e ho compreso la logica che guida la risoluzione da te proposta, ti ringrazio speculor!
Grazie mille a tutti per le risposte sono molto chiare ed esaurienti! 
Ora avrei un altro dubbio. Siccome sulle dispense del mio prof non sono spiegate granchè, volevo sapere in generale come vengono scomposte alcune funzioni razionali conil metodo di Hermite. So che bisogna applicare una formula mi sapreste dire quale è come dovrebbe essere svolto un esercizio? Appena avrò tempo posterò un esercizio ma purtropo non ho le soluzioni quindi l'unico modo per avere un riscontro è questo xD! Grazie mille ancora 
Ora avrei un altro dubbio. Siccome sulle dispense del mio prof non sono spiegate granchè, volevo sapere in generale come vengono scomposte alcune funzioni razionali conil metodo di Hermite. So che bisogna applicare una formula mi sapreste dire quale è come dovrebbe essere svolto un esercizio? Appena avrò tempo posterò un esercizio ma purtropo non ho le soluzioni quindi l'unico modo per avere un riscontro è questo xD! Grazie mille ancora
Ciao, se scorri questo post Speculor si è speso parecchio per introdurre un metodo per la determinazione di fratti semplici che si rifà anche al principio di Hermite, ma forse ancora più intuitivo.
Ecco:
dubbio-edo-con-laplace-t93727.html
Ecco:
dubbio-edo-con-laplace-t93727.html
Buongiorno ragazzi! Ho un problema con un esercizio. Devo scomporre in fratti semplici questa funzione:
$R(x)=1/((x-1)(x^2+1))$.
So che la funzione ha due poli semplici nei punti $x=1$ e $x=+-j$. So che la decomposizione di una funzione del genere nel campo reale si scrive con una formula che ora non ho voglia di scrivere in quanto è abbastanza articolata. Questa consiste di due doppie sommatorie (scusate il gioco di parole), la prima corrisponde agli zeri reali della funzione, la seconda agli zeri complessi. Per la prima non ci sono problemi perchè per determinare il coefficiente basta applicare il metodo dei residui ed infatti mi trovo con il risultato del libro, ho un problema con il secondo. Il mio libro applica anche qui il metodo dei residui e non mi trovo con il risultato del limite, sareste cosi gentili da aiutarmi a capire?
P.S. Si possono calcolare i coefficienti della parte complessa con il metodo dei residui? oppure bisogna applicare il metodo dei coefficienti indeterminati? Oppure entrambi?
Grazie a tutti per le risposte
EDIT: Il limite sarebbe questo: $lim_(x -> j) (x-j)/((x-1)(x^2+1))=lim_(x -> j) 1/((x-1)(x+j))=1/((j-1)2j)$
per $x->j$, mentre sul mio libro c'è scritto $(-1+j)/4$ che sinceramente non riesco proprio a capire da dove esce fuori
.
$R(x)=1/((x-1)(x^2+1))$.
So che la funzione ha due poli semplici nei punti $x=1$ e $x=+-j$. So che la decomposizione di una funzione del genere nel campo reale si scrive con una formula che ora non ho voglia di scrivere in quanto è abbastanza articolata. Questa consiste di due doppie sommatorie (scusate il gioco di parole), la prima corrisponde agli zeri reali della funzione, la seconda agli zeri complessi. Per la prima non ci sono problemi perchè per determinare il coefficiente basta applicare il metodo dei residui ed infatti mi trovo con il risultato del libro, ho un problema con il secondo. Il mio libro applica anche qui il metodo dei residui e non mi trovo con il risultato del limite, sareste cosi gentili da aiutarmi a capire?
P.S. Si possono calcolare i coefficienti della parte complessa con il metodo dei residui? oppure bisogna applicare il metodo dei coefficienti indeterminati? Oppure entrambi?
Grazie a tutti per le risposte
EDIT: Il limite sarebbe questo: $lim_(x -> j) (x-j)/((x-1)(x^2+1))=lim_(x -> j) 1/((x-1)(x+j))=1/((j-1)2j)$
per $x->j$, mentre sul mio libro c'è scritto $(-1+j)/4$ che sinceramente non riesco proprio a capire da dove esce fuori
.
Devi solo decomplessificare.
Ciao sempre dal post potresti usare il metodo menzionato, e vedere i complessi come coppie di seni e coseni. Per l'esercizio in particolare potresti porre:
$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-i)}+frac{C}{(x+i)}$
Essendo tutti poli di ordine 1 la determinazione dei coefficienti è molto esemplificata:
$A=lim_{x->1}[(x-1)*\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}]=1/2$
$B=lim_{x->+i}[(x-i)*\frac{1}{(x-1)(x-i)(x+i)}]=-1/4+1/4i$
$C=lim_{x->-i}[(x+i)*\frac{1}{(x-1)(x-i)(x+i)}]=1/4-1/4i$
Da cui
$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\text{1/2}}{x-1}+\frac{\text{-1/4+1/4}i}{(x-i)}+frac{\text{1/4-1/4}i}{(x+i)}$
$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-i)}+frac{C}{(x+i)}$
Essendo tutti poli di ordine 1 la determinazione dei coefficienti è molto esemplificata:
$A=lim_{x->1}[(x-1)*\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}]=1/2$
$B=lim_{x->+i}[(x-i)*\frac{1}{(x-1)(x-i)(x+i)}]=-1/4+1/4i$
$C=lim_{x->-i}[(x+i)*\frac{1}{(x-1)(x-i)(x+i)}]=1/4-1/4i$
Da cui
$\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{\text{1/2}}{x-1}+\frac{\text{-1/4+1/4}i}{(x-i)}+frac{\text{1/4-1/4}i}{(x+i)}$
$1/[(i-1)2i] = -i/[(i-1)2] = -i(i+1)/ [(i-1)(i+1)2] = (1-i)/(-4)$.
Ho solo usato $1/i = -i $ e realizzato il denominatore.
Ma chi è che può inventarsi di chiamare l'unità immaginaria $j$ ?
Ho solo usato $1/i = -i $ e realizzato il denominatore.
Ma chi è che può inventarsi di chiamare l'unità immaginaria $j$ ?
"Giuly19":
Ma chi è che può inventarsi di chiamare l'unità immaginaria $j$ ?
Eheh...in effetti....sta di fatto che molti utilizzano $j$ perchè prediligono l'indice $i$ per le sommatorie, Non credo che Eulero la possa prendere tanto a male
"ELWOOD":
..molti utilizzano $j$ perchè prediligono l'indice $i$ per le sommatorie, Non credo che Eulero la possa prendere tanto a male
Questa è proprio una scusa del cavolo
Io invece penso che Eulero si stia rigirando nella tomba
Fine OT.
Grazie ad entrambi ma perdonatemi se continuo a non capire. @ELWOOD: si io mi trovo con il primo limite mentre con il secondo no. Come giustamente tu scrivi io ho che:
$lim_(x -> j) (x-j)/((x-1)(x-j)(x+j))=1/((x-1)(x+j))$
poi se mando $x->j$ ottengo quello che ho scritto sopra che non coincide con il tuo risultato. Dove sbaglio?
EDIT: Scusa Giuly ho letto dopo il tuo post xD. Comunque il problema rimane perchè avrei $-j/(2(j-1))$.
P.S. purtroppo sono abituato a chiamare l'unità immaginaria con j perchè sto studiando sulle dispense del mio prof e lui le chiama cosi. Ci ho fatto l'abitudine xD. So che è un inghippo stupido perchè magari si tratta di giocare un pò con la j ma mi ci sto arrovellando da parecchio e vi prego aiutatemi
. Elwood potresti postare tutit i passaggi che hai fatto nel limite?
$lim_(x -> j) (x-j)/((x-1)(x-j)(x+j))=1/((x-1)(x+j))$
poi se mando $x->j$ ottengo quello che ho scritto sopra che non coincide con il tuo risultato. Dove sbaglio?
EDIT: Scusa Giuly ho letto dopo il tuo post xD. Comunque il problema rimane perchè avrei $-j/(2(j-1))$.
P.S. purtroppo sono abituato a chiamare l'unità immaginaria con j perchè sto studiando sulle dispense del mio prof e lui le chiama cosi. Ci ho fatto l'abitudine xD. So che è un inghippo stupido perchè magari si tratta di giocare un pò con la j ma mi ci sto arrovellando da parecchio e vi prego aiutatemi
. Elwood potresti postare tutit i passaggi che hai fatto nel limite?
"Giuly19":
$1/[(i-1)2i] = -i/[(i-1)2] = -i(i+1)/ [(i-1)(i+1)2] = (1-i)/(-4)$.
Giuly19 ti ha fatto i vari passaggi della razionalizzazione che ti riporto, confrontali con i tuoi e sicuramente trovi l'errore
"Giuly19":
Questa è proprio una scusa del cavolo
Io invece penso che Eulero si stia rigirando nella tomba
Fine OT.
PS: sono comunque d'accordo con te, non per nulla l'ho messa in firma
Ops mi scuso ancora non avevo visto il post. Ok ora si mi trovo grazie mille . Allora adesso posso scrivere la scomposizione in questo modo:
$R(x)=1/2(1/(x-1))+1/2((x-(-1-j)/4)/(x^2+1))$
Giusto?
P.S. Solo un altra domanda: se avessi lasciato il risultato del limite senza aver trasformato il coefficiente in quel modo sarebbe considerato errore? (in sede d'esame ovviemente)
. Allora adesso posso scrivere la scomposizione in questo modo:$R(x)=1/2(1/(x-1))+1/2((x-(-1-j)/4)/(x^2+1))$
Giusto?
P.S. Solo un altra domanda: se avessi lasciato il risultato del limite senza aver trasformato il coefficiente in quel modo sarebbe considerato errore? (in sede d'esame ovviemente)
"paolotesla91":
P.S. Solo un altra domanda: se avessi lasciato il risultato del limite senza aver trasformato il coefficiente in quel modo sarebbe considerato errore? (in sede d'esame ovviemente)
Io ti avrei tolto mezzo punto
Salve a tutti. Ho questa funzione da decomporre in fratti per poi antitrasformarla: $((z-1)^2(z+1))/(z^3-8)$, sapreste indicarmi la strada per scomporla?
Posto di seguito un mio tentativo: ho scritto la funzione in questo modo $(z^3+1)/((z-2)(z+2)^2)$.
Ora devo scomporre quest'ultima funzione in fratti. E' lecito scomporla in questo modo: $A/(z-2)+B/(z+2)+C/(z+2)^2$ ???????
Non continuo a scrivere perchè facendo i calcoli non mi trovo. Potreste aiutarmi? Grazie
Posto di seguito un mio tentativo: ho scritto la funzione in questo modo $(z^3+1)/((z-2)(z+2)^2)$.
Ora devo scomporre quest'ultima funzione in fratti. E' lecito scomporla in questo modo: $A/(z-2)+B/(z+2)+C/(z+2)^2$ ???????
Non continuo a scrivere perchè facendo i calcoli non mi trovo. Potreste aiutarmi? Grazie
Certo che è lecito ma non capisco come possa venirti quel numeratore, io scomporrei ulteriormente il denominatore trovandomi altre 2 radici (complesse) di molteciplità 1, e poi in base al metodo By Speculor trovi i coefficienti $A$ $B$ e $C$:
$((z-1)^2(z+1))/(z^3-8)=\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2z+4)} \rarr \frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3})}$
$ \rarr \frac{A}{(z-2)}+\frac{B}{(z+1-i\sqrt{3})}+\frac{C}{(z+1+i\sqrt{3})}$
In questo modo è un attimo antitrasformare con Laplace
$((z-1)^2(z+1))/(z^3-8)=\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2z+4)} \rarr \frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+1-i\sqrt{3})(z+1+i\sqrt{3})}$
$ \rarr \frac{A}{(z-2)}+\frac{B}{(z+1-i\sqrt{3})}+\frac{C}{(z+1+i\sqrt{3})}$
In questo modo è un attimo antitrasformare con Laplace
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