Decomposizione in fratti semplici
Salve ragazzi! Ho un lapsus per quanto riguarda la scompisizione in fratti semplici di una funzione razionale fratta.
Per esempio: $(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$ posso scomporlo in questo modo $a/x+b/(x-1)+c/(x-2)$ ????????
Ho delle reminescenze che risalgono al tempo del liceo che mi dicono che quando si ha una espressione di grado superiore, in questo caso di secondo grado, bisogna metere un binomio di primo grado al numeratore con coefficienti incogniti. Mi rinfrescate la memoria per favore?
Per esempio: $(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$ posso scomporlo in questo modo $a/x+b/(x-1)+c/(x-2)$ ????????
Ho delle reminescenze che risalgono al tempo del liceo che mi dicono che quando si ha una espressione di grado superiore, in questo caso di secondo grado, bisogna metere un binomio di primo grado al numeratore con coefficienti incogniti. Mi rinfrescate la memoria per favore?
Risposte
Ok grazie Elwood ma comunque non mi trovo con i coefficienti. 
scusa hai ragione riguardo al numeratore. Ieri nei calcoli ho confuso quella scrittura con la scomposizione del prodotto notevole a3+b3 xD! chiedo scusa.
scusa hai ragione riguardo al numeratore. Ieri nei calcoli ho confuso quella scrittura con la scomposizione del prodotto notevole a3+b3 xD! chiedo scusa.
Se ti danno fastidio i complessi allora puoi tenere i naturali ma sappi che devi derivare, per cui:
$A/(z-2)+B/(z+2)+C/(z+2)^2$
con
$A=lim_{z->2}[(z-2)*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2}]=3/(16)$
$B=lim_{z->-2}[d/(dz)((z+2)^2*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2})]=-51/(16)$
$C=lim_{z->-2}[(z+2)^2*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2}]=9/4$
PS: ho fatto i conti in fretta con wolprham, dagli un occhio
$A/(z-2)+B/(z+2)+C/(z+2)^2$
con
$A=lim_{z->2}[(z-2)*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2}]=3/(16)$
$B=lim_{z->-2}[d/(dz)((z+2)^2*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2})]=-51/(16)$
$C=lim_{z->-2}[(z+2)^2*\frac{z^3-z^2-z+1}{(z-2)*(z+2)^2}]=9/4$
PS: ho fatto i conti in fretta con wolprham, dagli un occhio
Si Elwood ma non ho capito da dove saltano fuori quei valori: $(z+2)$ e $(z+2)^2$ ???
Cioè, per calcolare i coefficienti con il metodo dei residui non devo fare il limite trascrivendo l'equazione a denominatore come prodotto dei fattori che lo annullano? Cioè praticamente devo fattorizzare il denominatore! Ora da dove escono quei fattori se gli zeri del denom sono zeri complessi? Sono un pò confuso :S
Cioè, per calcolare i coefficienti con il metodo dei residui non devo fare il limite trascrivendo l'equazione a denominatore come prodotto dei fattori che lo annullano? Cioè praticamente devo fattorizzare il denominatore! Ora da dove escono quei fattori se gli zeri del denom sono zeri complessi? Sono un pò confuso :S
Forse sono l'ultima persona in grado di darti una risposta precisa, in quanto mi sono approcciato anch'io solo ultimamente nell'utilizzo di questo metodo.
Comunque la teoria dei residui è chiara, io ho colmato molti dubbi in questa dispensa:
http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... mplici.pdf
A pag. 6 trovi la formula da cui deriva la determinazione dei coefficienti.
Comunque la teoria dei residui è chiara, io ho colmato molti dubbi in questa dispensa:
http://www.dii.unimo.it/zanasi/didattic ... mplici.pdf
A pag. 6 trovi la formula da cui deriva la determinazione dei coefficienti.
Ok grazie mille Elwood 
. Spero di colmare anche io i miei dubbi. Me la studio un pò e se ho qualche problema posto qui. Grazie ancora 
. Spero di colmare anche io i miei dubbi. Me la studio un pò e se ho qualche problema posto qui. Grazie ancora
Elwood grazie mille ora ho capito, ho solo un ultimo dubbio che non riesco a spiegarmi: perchè quando hai calcolato il coefficiente $C$ non hai applicato la stessa formula? Mi spiego: perchè l'hai trattato come se fosse un polo semplice?
il polo del coefficiente $C$ è il polinomio $(z+2)^2$ che è di ordine 1 rispetto al denominatore (che ha grado 3) per cui è polo semplice.
si ma se io risolvo l'equazione $(z+2)^2=0 <=> z=-2$ con molteplicità due quindi il polo è doppio ti trovi?
Ma quello che conta è il grado "residuo" tra le radici del denominatore, in questo caso $3-2=1$
Ah! Elwood saresti cosi gentile da definirmi questo grado "residuo"? ho cercato anche sulle dispense che mi hai consigliato ma non c'è niente a riguardo!
provo a risponderti in base a ciò che ho capito, per cui non prendere per oro colato ciò che ti dico.
Supponi di avere una determinata funzione $\frac{f(x)}{(x-p)^n}$ La quale puoi scomporre per fratti semplici come:
$\frac{f(x)}{(x-p)^n}=\frac{C_1}{(x-p)}+\frac{C_2}{(x-p)^2}+...+\frac{C_k}{(x-p)^k}+...+\frac{C_n}{(x-p)^n}$
Allora i coefficienti li puoi calcolare secondo la formula:
$C_k=lim_(x->p)\frac{1}{(n-k)!}[\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}((x-p)^n*\frac{f(x)}{(x-p)^n})]$
Per cui il grado residuo lo interpreto come $r=n-k$
Supponi di avere una determinata funzione $\frac{f(x)}{(x-p)^n}$ La quale puoi scomporre per fratti semplici come:
$\frac{f(x)}{(x-p)^n}=\frac{C_1}{(x-p)}+\frac{C_2}{(x-p)^2}+...+\frac{C_k}{(x-p)^k}+...+\frac{C_n}{(x-p)^n}$
Allora i coefficienti li puoi calcolare secondo la formula:
$C_k=lim_(x->p)\frac{1}{(n-k)!}[\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}((x-p)^n*\frac{f(x)}{(x-p)^n})]$
Per cui il grado residuo lo interpreto come $r=n-k$
ok ho capito! Ora prendendo in esame quello che ti dicevo prima io ho che:
$C=lim_(z -> -2) d^2/dz^2[(z+2)^2(z^3-z^2-z+1)/((z-2)(z+2)^2)]$
Giusto?
$C=lim_(z -> -2) d^2/dz^2[(z+2)^2(z^3-z^2-z+1)/((z-2)(z+2)^2)]$
Giusto?
Non direi, il fratto associato al coefficiente $C$ è $(z+2)^k$ di molteplicità $k=2$ per cui il suo grado residuo rispetto al fratto iniziale è $r=n-k=2-2=0$ per cui è un polo semplice e non vi è nemmeno da fare l'operazione di derivazione.
...Elwood ti ringrazio! Credo di aver capito. Io ho ragionato cosi:Vado a vedere il grado del polo per il polinomio $(z+2)^2$, e faccio cosi:
$lim_(z -> -2) (z+2)^n(z^3-z^2-z+1)/((z-2)(z+2)^2)$.
Per definizione quel limite deve esistere finito e $l!=0$, questo è vero per $n=2$, quindi l'ordine del polo relativo al polinomio in questione è $2$. Siccome nella mia formula, $N$ è il grado del polo allora in sostanza io avrò che:
$lim_(z -> -2) 1/(0) d^(2-2)/dz^(2-2)[......]$.
E quindi da ciò devo dedurre che il polo è semplice? o.O Non mi pare!
Ops..scsua si hai ragione li c'è $0!$ che è $1$. Ok ora ci sono grazie mille
Si ma la derivata non va fatta! Avresti una derivata "zeeresima" per cui non c'è!
infatti sisi ho capito grazie ancora! Vedo di fare qualche esercizio e se ho problemi posto qui ok!
Vedo di fare qualche esercizio e se ho problemi posto qui ok!
Allora Elwood io devo antitrasformare questa funzione: $f(z)=(3z^2)/((z^2-1)(z^2+z+1))+(2z^2-z)/(z^2+z+1)$.
Per quanto riguarda la prima parte non c'è problema perchè sono riuscito ad antitrasformarla, ho un problema con la seconda parte.
Devo calcolare $\mathcal{Z^(-1)}[(2z^2-z)/(z^2+z+1)]$.
Allora decido di scomporre quella funzione in fratti, il denominatore ha due zeri complessi coniugati, quindi devo scomporla conla formula di Hermite. Il mio libro mi da questa formula:
$\mathcal{R}(x)=sum (c_m)/(x-x_m) + sum (a_mx+b_m)/(x^2+p_mx+q_m) + d/dz[P(x)/Q(x)]$.
Una volta impostata la formula come calcolo i coefficienti incogniti dato che con il metodo dei residui mi viene un macello?
PS. I termini della prima sommatoria con coefficienti $c_m$ sono tutti nulli in quanto la mia funzione non ha zeri reali.
Per quanto riguarda la prima parte non c'è problema perchè sono riuscito ad antitrasformarla, ho un problema con la seconda parte.
Devo calcolare $\mathcal{Z^(-1)}[(2z^2-z)/(z^2+z+1)]$.
Allora decido di scomporre quella funzione in fratti, il denominatore ha due zeri complessi coniugati, quindi devo scomporla conla formula di Hermite. Il mio libro mi da questa formula:
$\mathcal{R}(x)=sum (c_m)/(x-x_m) + sum (a_mx+b_m)/(x^2+p_mx+q_m) + d/dz[P(x)/Q(x)]$.
Una volta impostata la formula come calcolo i coefficienti incogniti dato che con il metodo dei residui mi viene un macello?
PS. I termini della prima sommatoria con coefficienti $c_m$ sono tutti nulli in quanto la mia funzione non ha zeri reali.
Scusa ma non è possibile scomporre il polinomio $z^2+z+1$ in polinomi più semplici se non utilizzando i numeri complessi!
Per cui l'unica possibilità è questa $(2z^2-z)/(z^2+z+1)=\frac{A}{(z+1/2+\frac{i\sqrt{3}}{2})}+\frac{B}{(z+1/2-\frac{i\sqrt{3}}{2})}$
Per cui l'unica possibilità è questa $(2z^2-z)/(z^2+z+1)=\frac{A}{(z+1/2+\frac{i\sqrt{3}}{2})}+\frac{B}{(z+1/2-\frac{i\sqrt{3}}{2})}$
Quindi non posso usare Hermite? Questa è una bella fregatura, perchè ho provato a risolvere come mi dici tu ma non mi trovo con le soluzioni del libro
Questa è una bella fregatura, perchè ho provato a risolvere come mi dici tu ma non mi trovo con le soluzioni del libro
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