Decomposizione in fratti semplici

[paolotesla91]

Salve ragazzi! Ho un lapsus per quanto riguarda la scompisizione in fratti semplici di una funzione razionale fratta.

Per esempio: $(x^2+1)/(x(x-1)(x-2))$ posso scomporlo in questo modo $a/x+b/(x-1)+c/(x-2)$ ????????

Ho delle reminescenze che risalgono al tempo del liceo che mi dicono che quando si ha una espressione di grado superiore, in questo caso di secondo grado, bisogna metere un binomio di primo grado al numeratore con coefficienti incogniti. Mi rinfrescate la memoria per favore?

[ELWOOD1]

Non so se non puoi usare Hermite, deduco solamente che quel polinomio non può essere semplificato ulteriormente se non attraverso i complessi.

Che risultati porta il tuo libro?

[paolotesla91]

Ciao Elwood. Ho questa altra funzione da scomporre $f(z)=1/(z^2+z+1)^2$.

Se volessi scomporla ricorrendo alla formula di Hermite come dovrei procedere?

[ELWOOD1]

Nel 5 post di pag. 2 di questo thread

http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-edo-con-laplace-t93727.html?hilit=edo%20con%20laplace&start=10

Speculor decompone una funzione razionale molto simile, dalla quale puoi dedurre anche la scomposizione del tuo esempio.

Ovviamente sempre attraverso i complessi.

[Capissimo]

Ho letto sommariamente i post precedenti ma non ho trovato niente che risolvesse il mio dubbio.

[tex]{1\over(z^2+1)(z+1)^2}={A\over z+1}+{B\over (z+1)^2}+{Cz+D\over z^2+1}[/tex]

per A e B non ho avuto problemi e risulta [tex]A=B={1\over 2}[/tex]

il mio problema sono C e D.

sugli appunti presi in classe ho: [tex]\lim_{z \to \infty} {z\over (z+1)^2(z^2+1)}=0[/tex] e perciò [tex]A+C=0[/tex] ? perchè?
e poi aggiungo: infine ponendo z=0 trovo anche D. ma devo sempre porre z=0 o solo in questo caso?

[livrea]

"ELWOOD":provo a risponderti in base a ciò che ho capito, per cui non prendere per oro colato ciò che ti dico.

Supponi di avere una determinata funzione $\frac{f(x)}{(x-p)^n}$ La quale puoi scomporre per fratti semplici come:

$\frac{f(x)}{(x-p)^n}=\frac{C_1}{(x-p)}+\frac{C_2}{(x-p)^2}+...+\frac{C_k}{(x-p)^k}+...+\frac{C_n}{(x-p)^n}$

Allora i coefficienti li puoi calcolare secondo la formula:

$C_k=lim_(x->p)\frac{1}{(n-k)!}[\frac{d^{n-k}}{dx^{n-k}}((x-p)^n*\frac{f(x)}{(x-p)^n})]$

Per cui il grado residuo lo interpreto come $r=n-k$

riprendo questo vecchio post perchè non ho chiaro il "grado del residuo"
in particolare $r=n-k$ questa $n $ a quale grado si riferisce?
per esempio se ho la funzione
$f(z) = 1/((z-1)^2(z-2))$ in fratti semplice diventa $ 1/((z-1)^2(z-2)) = A/(z-1) + B/(z-1)^2 + C/(z-2)$
quali sono i gradi dei residui?