Cuspide in un punto di minimo relativo
Ciao ragazzi/e,
ho un dubbio circa il calcolo della derivata in un punto.
Ho la seguente funzione $root(3)((x-1)(x-2)^2)$ Il dominio è $RR$ in quanto la radice ha indice dispari.
Dopo aver calcolato le intersezioni con gli assi $(0, -2^(2/3))$, $(1,0)$, $(2,0)$ sono passato al calcolo della derivata prima ed ottengo $ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
Ho svolto lo studio del segno della derivata prima ponendola $>=0$ ed ottengo le seguenti coordinate per i punti di minimo e di massimo relativi $(4/3, root(3)(4)/3)$ e $(2, 0)$.
Ora poichè $x=2$ è anche un punto di intersezione con l'asse x, ho svolto il limite destro e sinistro della derivata prima, e se non ho commesso errori, ottengo che $lim_(x->2^+) ((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=+infty$ mentre $lim_(x->2^-) ((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=-infty$ quindi quella funzione in quel punto presenta una cuspide.
Ciò mi ha fatto sorgere diverse perplessità:
1) è corretto aver svolto il limite destro e sinistro della derivata prima oppure devo svolgere il limite del rapporto incrementale nel punto $x_0=2$? Oppure non c'è differenza?
2) ho svolto il limite destro e sinistro in quanto il fatto che il punto di minimo era anche un punto di intersezione mi ha portato a fare un controllo. Era presente qualche altro "indizio" che mi avrebbe dovuto portare ad accorgermi subito che 2 era un punto di non derivabilità?
3) è corretto dire che il punto di coordinate $(2,0)$ è un punto di minimo non stazionario? Nel senso quando un punto non derivabile può anche essere un punto di minimo e massimo e come faccio ad accorgermene?
Grazia a tutti per l'aiuto.
ho un dubbio circa il calcolo della derivata in un punto.
Ho la seguente funzione $root(3)((x-1)(x-2)^2)$ Il dominio è $RR$ in quanto la radice ha indice dispari.
Dopo aver calcolato le intersezioni con gli assi $(0, -2^(2/3))$, $(1,0)$, $(2,0)$ sono passato al calcolo della derivata prima ed ottengo $ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
Ho svolto lo studio del segno della derivata prima ponendola $>=0$ ed ottengo le seguenti coordinate per i punti di minimo e di massimo relativi $(4/3, root(3)(4)/3)$ e $(2, 0)$.
Ora poichè $x=2$ è anche un punto di intersezione con l'asse x, ho svolto il limite destro e sinistro della derivata prima, e se non ho commesso errori, ottengo che $lim_(x->2^+) ((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=+infty$ mentre $lim_(x->2^-) ((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=-infty$ quindi quella funzione in quel punto presenta una cuspide.
Ciò mi ha fatto sorgere diverse perplessità:
1) è corretto aver svolto il limite destro e sinistro della derivata prima oppure devo svolgere il limite del rapporto incrementale nel punto $x_0=2$? Oppure non c'è differenza?
2) ho svolto il limite destro e sinistro in quanto il fatto che il punto di minimo era anche un punto di intersezione mi ha portato a fare un controllo. Era presente qualche altro "indizio" che mi avrebbe dovuto portare ad accorgermi subito che 2 era un punto di non derivabilità?
3) è corretto dire che il punto di coordinate $(2,0)$ è un punto di minimo non stazionario? Nel senso quando un punto non derivabile può anche essere un punto di minimo e massimo e come faccio ad accorgermene?
Grazia a tutti per l'aiuto.
Risposte
Ciao Quasar3.14,
A me risulta il solo punto di massimo relativo $M(4/3,\root[3]{4}/3)$
Eh, direi: cosa succede alla derivata prima $f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) $ per $x = 2$ ?
Aggiungerei che nel punto $(1, 0) $ si ha un flesso a tangente verticale ascendente (infatti $\lim_{x \to 1} f'(x) = +\infty $) e che la funzione proposta $f(x) = \root(3)((x-1)(x-2)^2) $ ha un asintoto obliquo di equazione $y = mx + q $ ove
$m = \lim_{x \to \pm \infty}(f(x))/x = 1 $
$q = \lim_{x \to \pm \infty}[f(x) - mx] = \lim_{x \to \pm \infty}[f(x) - x] = - 5/3 $
"Quasar3.14":
ottengo le seguenti coordinate per i punti di minimo e di massimo relativi $(4/3,\root[3]{4}/3)$ e $(2,0)$.
A me risulta il solo punto di massimo relativo $M(4/3,\root[3]{4}/3)$
"Quasar3.14":
Era presente qualche altro "indizio" che mi avrebbe dovuto portare ad accorgermi subito che 2 era un punto di non derivabilità?
Eh, direi: cosa succede alla derivata prima $f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) $ per $x = 2$ ?
Aggiungerei che nel punto $(1, 0) $ si ha un flesso a tangente verticale ascendente (infatti $\lim_{x \to 1} f'(x) = +\infty $) e che la funzione proposta $f(x) = \root(3)((x-1)(x-2)^2) $ ha un asintoto obliquo di equazione $y = mx + q $ ove
$m = \lim_{x \to \pm \infty}(f(x))/x = 1 $
$q = \lim_{x \to \pm \infty}[f(x) - mx] = \lim_{x \to \pm \infty}[f(x) - x] = - 5/3 $
Il punto (1,0) è un flesso a tangente verticale discendente. Il fatto che la funzione sia crescente non ha alcuna rilevanza. Piuttosto, rileva il fatto che la funzione passi dall'essere sopra la retta tangente all'essere sotto la retta tangente.
Chiedo scusa, ha ragione Noodles: il punto $(1, 0) $ è un punto di flesso a tangente verticale discendente, in quanto la funzione passa dall'avere la concavità verso l'alto a sinistra del punto di flesso ad avere la concavità verso il basso a destra del punto di flesso.
@Quasar3.14: Il punto è che applichi le regole di derivazione ma non fai alcuna premessa su dove la funzione è derivabile (e quindi, conseguentemente, mancano le dimostrazioni del perché è derivabile in un certo insieme e perché invece non lo è in un certo altro insieme).
Prima devi usare i teoremi di regolarità (con regolarità si intende: continuità, derivabilità, continuità delle derivate, eccetera) per stabilire dove la funzione è derivabile grazie ad essi e conseguentemente ivi applicare le regole di derivazione; dove non valgono i teoremi può succedere qualsiasi cosa (come in qualsiasi implicazione). In tal caso, devi studiare i punti o con la definizione o con altri teoremi che ti permettono di procedere correttamente.
Prova a scrivere per bene questo studio di funzione. Usa locuzioni del tipo:
"(i) Per i teoremi \(T_1, \dots, T_n\), \(f\) è derivabile in \(A\). In \(\mathbb{R}\setminus A\) non sappiamo nulla a priori.
(ii) Usiamo la definizione in un certo \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus A\) e dato che il limite del rapporto incrementale di \(f\) in \(x_0\) è ... segue che \(f\) è/non è derivabile in \(x_0\).
(iii) In \(\mathbb{R}\setminus A\) la funzione \(f\) è derivabile, e dato che per \(x_1 \in A\) il limite per \(x \to x_1\) della funzione derivata ottenuta con le regole di derivazione è ... per il teorema \(\tau\) segue che \(f\) è/non è derivabile in \(x_1\)."
Prima devi usare i teoremi di regolarità (con regolarità si intende: continuità, derivabilità, continuità delle derivate, eccetera) per stabilire dove la funzione è derivabile grazie ad essi e conseguentemente ivi applicare le regole di derivazione; dove non valgono i teoremi può succedere qualsiasi cosa (come in qualsiasi implicazione). In tal caso, devi studiare i punti o con la definizione o con altri teoremi che ti permettono di procedere correttamente.
Prova a scrivere per bene questo studio di funzione. Usa locuzioni del tipo:
"(i) Per i teoremi \(T_1, \dots, T_n\), \(f\) è derivabile in \(A\). In \(\mathbb{R}\setminus A\) non sappiamo nulla a priori.
(ii) Usiamo la definizione in un certo \(x_0 \in \mathbb{R}\setminus A\) e dato che il limite del rapporto incrementale di \(f\) in \(x_0\) è ... segue che \(f\) è/non è derivabile in \(x_0\).
(iii) In \(\mathbb{R}\setminus A\) la funzione \(f\) è derivabile, e dato che per \(x_1 \in A\) il limite per \(x \to x_1\) della funzione derivata ottenuta con le regole di derivazione è ... per il teorema \(\tau\) segue che \(f\) è/non è derivabile in \(x_1\)."
Scusate ragazzi, vi ringrazio tantissimo per le vostre risposte ma sono confuso.
Spero che possiate aiutarmi a chiarire i miei dubbi.
L'esercizio mi richiede di trovare i punti di minimo e massimo (relativi e/o assoluti) ed i punti di flesso della seguente funzione $root(3)((x-1)(x-2)^2)$
Ora per svolgere questo tipo di esercizio la prima cosa che faccio è calcolarmi il dominio, ed in questo caso la funzione è definita, ed è continua, in tutto $RR$.
Poichè l'esercizio non mi richiede lo studio di funzione, posso passare direttamente al calcolo della derivata prima dopo aver calcolato il dominio?
La derivata prima è $ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$.
Al denominatore $x!=1$ e $x!=2$ in quanto per questi due valori il denominatore si annulla.
Nel primo post non ho calcolato il dominio di $f'(x)$ in quanto avevo capito che il dominio della derivata prima non coincide con i punti in cui è definita la funzione $y=f'(x)$ ma bensì con i punti di derivabilità, solo che in questo caso essendo la funzione continua in $RR$ non mi è chiaro come avrei dovuto individuare eventuali punti di "non derivabilità" prima del suo calcolo.
$1$ e $2$ annullano il denominatore della derivata prima, quindi per questi punti è necessario procedere con i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale di $f(x)$ ?
Perchè il punto di coordinate $(2,0)$ non può essere considerato un punto di minimo relativo?
È comunque un punto in cui la funzione è definita anche se non è derivabile essendo una cuspide.
Per il calcolo della derivata seconda non mi è chiaro quale è la regola di derivazione principale in questo caso. Derivata del prodotto? derivata del quoziente?
Scusate se nel primo post non sono stato chiaro su cosa richiedesse l'esercizio. Essendo i primi esercizi del genere che faccio tendo sempre a svolgere tutto lo studio di funzione anche quando non è richiesto come in questo caso
Grazie a tutti per l'aiuto.
Spero che possiate aiutarmi a chiarire i miei dubbi.
L'esercizio mi richiede di trovare i punti di minimo e massimo (relativi e/o assoluti) ed i punti di flesso della seguente funzione $root(3)((x-1)(x-2)^2)$
Ora per svolgere questo tipo di esercizio la prima cosa che faccio è calcolarmi il dominio, ed in questo caso la funzione è definita, ed è continua, in tutto $RR$.
Poichè l'esercizio non mi richiede lo studio di funzione, posso passare direttamente al calcolo della derivata prima dopo aver calcolato il dominio?
La derivata prima è $ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$.
Al denominatore $x!=1$ e $x!=2$ in quanto per questi due valori il denominatore si annulla.
Nel primo post non ho calcolato il dominio di $f'(x)$ in quanto avevo capito che il dominio della derivata prima non coincide con i punti in cui è definita la funzione $y=f'(x)$ ma bensì con i punti di derivabilità, solo che in questo caso essendo la funzione continua in $RR$ non mi è chiaro come avrei dovuto individuare eventuali punti di "non derivabilità" prima del suo calcolo.
$1$ e $2$ annullano il denominatore della derivata prima, quindi per questi punti è necessario procedere con i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale di $f(x)$ ?
Perchè il punto di coordinate $(2,0)$ non può essere considerato un punto di minimo relativo?
È comunque un punto in cui la funzione è definita anche se non è derivabile essendo una cuspide.
Per il calcolo della derivata seconda non mi è chiaro quale è la regola di derivazione principale in questo caso. Derivata del prodotto? derivata del quoziente?
Scusate se nel primo post non sono stato chiaro su cosa richiedesse l'esercizio. Essendo i primi esercizi del genere che faccio tendo sempre a svolgere tutto lo studio di funzione anche quando non è richiesto come in questo caso
Grazie a tutti per l'aiuto.
Prego! Rispondo alla parte sulla derivabilità: sei confuso perché stai procedendo meccanicamente. Le regole di derivazione sono teoremi, e in quanto tali hanno delle ipotesi. Tu stai derivando brutalmente senza appoggiarti ad alcun risultato teorico. Cerco di riassumere:
(i) i domini delle funzioni non si calcolano, sono preassegnati; quindi, tantomeno si calcola il dominio della derivata di una funzione. Esso è l'insieme dei punti del dominio della funzione in cui essa è derivabile.
(ii) Non avendo tu menzionato nulla sulla derivabilità, perché procedi applicando delle regole se non sai neanche che c'è derivabilità? Quello che intendevo con i teoremi di regolarità è il ragionamento seguente: sappiamo che le funzioni costanti e le potenze sono derivabili in tutti i punti dei loro domini naturali, mentre le radici sono derivabili nei punti in cui non si annullano i radicandi (nel caso di radici di indici pari si deve intersecare con l'insieme in cui i radicandi sono non negativi). Inoltre, per i teoremi di regolarità, sappiamo che somma, prodotto, composizione e rapporto (dove il denominatore non è nullo) di funzioni derivabili è derivabile e la derivata in tale punti si calcola con le note regole di derivazione. Quindi, dato che \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}\) è la composizione di una radice cubica con un prodotto di somme tra potenze e costanti, essendo i polinomi derivabili su \(\mathbb{R}\) ed essendo \(\sqrt[3]{t}\) derivabile per ogni \(t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) i teoremi di regolarità assicurano che \(f\) è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\) e risulta:\[
\forall x \in \mathbb{R}\setminus\{1,2\}, \ \ \ f'(x)=\frac{(x-2)(3x-4)}{3\left((x-1)(x-2)^2\right)^{2/3}}
Un commento sull'uso della parola "assicurano" nella frase precedente: dato che se le ipotesi di un teorema non valgono non possiamo dire niente sulla tesi del teorema, ciò non significa che l'insieme di derivabilità di \(f\) è \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\); significa solamente che i teoremi non ci danno informazioni sui punti \(x=1\) e \(x=2\) e perciò, per essi, dobbiamo indgare in maniera differente.
(iii) Si può indagare come si vuole ora, a patto sempre di appoggiarsi a definizioni e teoremi. Si può quindi procedere nel calcolare il limite del rapporto incrementale di \(f\) in \(x=1\) e in \(x=2\), oppure si possono usare altri risultati. Tu hai calcolato il limite dell'espressione di \(f'\) valida in \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\) per dedurre qualcosa. Il teorema (che non hai citato e di cui non hai citato l'uso) che ti assicura la validità di questo procedimento è un corollario del teorema di Lagrange, e anch'esso ha delle ipotesi. Quindi, o usi la definizione, o usi quel teorema ma devi prima verificarne le ipotesi.
Vedi ora che, procedendo come si deve, i dubbi si dipanano da soli perché si sa quello che si sta facendo? In pratica, l'idea grezza è che uno trova un "insieme enorme" di derivabilità tramite i teoremi generali e poi spera che i casi rimasti esclusi dai teoremi generali si possano o studiare a mano se sono finiti o studiare con qualche stratagemma se sono infiniti; ovviamente, ciò funziona solo perché gli esercizi sono fatti apposta. Non è che questa sia una vera e propria strategia generale.
(i) i domini delle funzioni non si calcolano, sono preassegnati; quindi, tantomeno si calcola il dominio della derivata di una funzione. Esso è l'insieme dei punti del dominio della funzione in cui essa è derivabile.
(ii) Non avendo tu menzionato nulla sulla derivabilità, perché procedi applicando delle regole se non sai neanche che c'è derivabilità? Quello che intendevo con i teoremi di regolarità è il ragionamento seguente: sappiamo che le funzioni costanti e le potenze sono derivabili in tutti i punti dei loro domini naturali, mentre le radici sono derivabili nei punti in cui non si annullano i radicandi (nel caso di radici di indici pari si deve intersecare con l'insieme in cui i radicandi sono non negativi). Inoltre, per i teoremi di regolarità, sappiamo che somma, prodotto, composizione e rapporto (dove il denominatore non è nullo) di funzioni derivabili è derivabile e la derivata in tale punti si calcola con le note regole di derivazione. Quindi, dato che \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita ponendo \(f(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}\) è la composizione di una radice cubica con un prodotto di somme tra potenze e costanti, essendo i polinomi derivabili su \(\mathbb{R}\) ed essendo \(\sqrt[3]{t}\) derivabile per ogni \(t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\) i teoremi di regolarità assicurano che \(f\) è derivabile in \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\) e risulta:\[
\forall x \in \mathbb{R}\setminus\{1,2\}, \ \ \ f'(x)=\frac{(x-2)(3x-4)}{3\left((x-1)(x-2)^2\right)^{2/3}}
Un commento sull'uso della parola "assicurano" nella frase precedente: dato che se le ipotesi di un teorema non valgono non possiamo dire niente sulla tesi del teorema, ciò non significa che l'insieme di derivabilità di \(f\) è \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\); significa solamente che i teoremi non ci danno informazioni sui punti \(x=1\) e \(x=2\) e perciò, per essi, dobbiamo indgare in maniera differente.
(iii) Si può indagare come si vuole ora, a patto sempre di appoggiarsi a definizioni e teoremi. Si può quindi procedere nel calcolare il limite del rapporto incrementale di \(f\) in \(x=1\) e in \(x=2\), oppure si possono usare altri risultati. Tu hai calcolato il limite dell'espressione di \(f'\) valida in \(\mathbb{R}\setminus\{1,2\}\) per dedurre qualcosa. Il teorema (che non hai citato e di cui non hai citato l'uso) che ti assicura la validità di questo procedimento è un corollario del teorema di Lagrange, e anch'esso ha delle ipotesi. Quindi, o usi la definizione, o usi quel teorema ma devi prima verificarne le ipotesi.
Vedi ora che, procedendo come si deve, i dubbi si dipanano da soli perché si sa quello che si sta facendo? In pratica, l'idea grezza è che uno trova un "insieme enorme" di derivabilità tramite i teoremi generali e poi spera che i casi rimasti esclusi dai teoremi generali si possano o studiare a mano se sono finiti o studiare con qualche stratagemma se sono infiniti; ovviamente, ciò funziona solo perché gli esercizi sono fatti apposta. Non è che questa sia una vera e propria strategia generale.
"Quasar3.14":
Ora per svolgere questo tipo di esercizio la prima cosa che faccio è calcolarmi il dominio, ed in questo caso la funzione è definita, ed è continua, in tutto $\RR $.
In generale, una funzione reale di una variabile reale è definita assegnando una legge $f$ ed un dominio $D$. Se il dominio non è specificato, ma ti si chiede di determinarlo, ci si riferisce al dominio naturale della funzione, che è l'insieme più ampio dei valori reali che può assumere $x$ affinché esista il corrispondente valore reale $y$: nel tuo caso comunque il dominio naturale della funzione proposta in effetti è $D = \RR $
"Quasar3.14":
Al denominatore $x \ne 1$ e $x \ne 2 $ in quanto per questi due valori il denominatore si annulla.
Mi è venuto un dubbio: hai notato che il valore $x = 2 $ annulla anche il numeratore della derivata prima, vero?
Grazie Mephlip.
Riprovo seguendo il tuo insegnamento.
Esercizio: Trovare minimi, massimi e flessi di $f(x)= root(3)((x-1)(x-2)^2) $
Il dominio di $f(x) = RR$
Dal seguente teorema di definizione
"Siano f e g due funzioni definite in [a,b] a valori in $RR$, derivabili in $x_0 in [a,b]$, allora sono derivabili in $x_0$ le seguenti funzioni: $c_1f + c_2f$, $f*g$ $f/g$ con $(g(x)!=0)$
In questo caso ho il prodotto di due funzioni definite e derivabili in tutto $RR$.
Il prodotto si presenta sotto una radice cubica.
La radice cubica è una funzione continua in tutto $RR$ e derivabile ovunque eccetto dove si annulla il radicando. In questo caso la funzione interseca l'asse delle ascisse quando $x=1$ e $x=2$.
Per confermare la non derivabilità della funzione in questi punti e conoscere il comportamento della funzione svolgo il limite destro e sinistro della derivata prima in quei punti.
Lo posso fare come conseguenza del teorema di Lagrange, che posso sfruttare in quanto $f(x)$ è sicuramente continua in $RR$ ed è derivabile ovunque tranne quando si annulla il radicando, affinchè la funzione sia derivabile anche in $x=1$ e in $x=2$ il $lim_(x->x_0^+)f'(x) = lim_(x->x_0^-)f'(x)=l$
Procedo al calcolo della derivata applicando le regole di derivazione ed ottengo
$ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$ con $x!=1$ e $x!=2$
Svolgo il limite della derivata prima con $lim_(x->1^+)f'(x)$
Quindi
$lim_(x->1^+)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) = lim_(x->1^(+))((1^(+) -2)(3(1^(+))-4))/(3((1^(+) -2)^2(1^(+) -1))^(2/3)) = +infty$
$lim_(x->1^-)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) = lim_(x->1^(-))((1^(-) -2)(3(1^(-))-4))/(3((1^(-) -2)^2(1^(-) -1))^(2/3)) = +infty$
Poichè entrambi i limiti tendono a $+infty$ in quel punto è presente $f(x)$ non è derivabile ed è presente un flesso a tangente verticale.
Svolgo
$lim_(x->2^+)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))= +infty$
$lim_(x->2^-)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))= -infty$
Dal risultato dei limiti la funzione non è derivabile e presenta una cuspide.
Da qui in poi procedo come nel primo post e pongo la derivata $>=0$ e studiando il segno della derivata ottengo le seguenti coordinate $(4/3, root(3)(4)/3)$ e $(2, 0)$.
Dalla definizione di punto di minimo e di massimo $(2, 0)$ dovrebbe essere un punto di minimo relativo nonostante sia un punto di non derivabilità, il post di @pilloeffe però mi fa pensare, ma non capisco perchè non lo dovrei ritenere un pundo di minimo.
Per conoscere se ci sono ulteriori flessi è necessario e indispensabile calcolare la derivata seconda?
Spiego la domanda. Ho provato a calcolarla ma mi viene qualcosa del genere:
$ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
$ D[k(fx)]=k*f'(x)$
$Df(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=1/3Df=(x)((x-2)(3x-4))/(((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
$Df(x)= (Dp(x)q(x)-p(x)Dq(x))/([q(x)]^2)$
$f''(x)=1/3 (6x-10((x-2)^2(x-1))^(2/3)-(x-2)(3x-4)(6x^2 -20x+16)/(3root(3)(x-2)^2(x-1)))/((x-2)^2(x-1)^(2/3))^2$
Ho provato con le varie semplificazioni ma mi ritrovo comunque con qualcosa di poco maneggevole, potreste darmi una mano per favore?
Grazie
Riprovo seguendo il tuo insegnamento.
Esercizio: Trovare minimi, massimi e flessi di $f(x)= root(3)((x-1)(x-2)^2) $
Il dominio di $f(x) = RR$
Dal seguente teorema di definizione
"Siano f e g due funzioni definite in [a,b] a valori in $RR$, derivabili in $x_0 in [a,b]$, allora sono derivabili in $x_0$ le seguenti funzioni: $c_1f + c_2f$, $f*g$ $f/g$ con $(g(x)!=0)$
In questo caso ho il prodotto di due funzioni definite e derivabili in tutto $RR$.
Il prodotto si presenta sotto una radice cubica.
La radice cubica è una funzione continua in tutto $RR$ e derivabile ovunque eccetto dove si annulla il radicando. In questo caso la funzione interseca l'asse delle ascisse quando $x=1$ e $x=2$.
Per confermare la non derivabilità della funzione in questi punti e conoscere il comportamento della funzione svolgo il limite destro e sinistro della derivata prima in quei punti.
Lo posso fare come conseguenza del teorema di Lagrange, che posso sfruttare in quanto $f(x)$ è sicuramente continua in $RR$ ed è derivabile ovunque tranne quando si annulla il radicando, affinchè la funzione sia derivabile anche in $x=1$ e in $x=2$ il $lim_(x->x_0^+)f'(x) = lim_(x->x_0^-)f'(x)=l$
Procedo al calcolo della derivata applicando le regole di derivazione ed ottengo
$ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$ con $x!=1$ e $x!=2$
Svolgo il limite della derivata prima con $lim_(x->1^+)f'(x)$
Quindi
$lim_(x->1^+)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) = lim_(x->1^(+))((1^(+) -2)(3(1^(+))-4))/(3((1^(+) -2)^2(1^(+) -1))^(2/3)) = +infty$
$lim_(x->1^-)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3)) = lim_(x->1^(-))((1^(-) -2)(3(1^(-))-4))/(3((1^(-) -2)^2(1^(-) -1))^(2/3)) = +infty$
Poichè entrambi i limiti tendono a $+infty$ in quel punto è presente $f(x)$ non è derivabile ed è presente un flesso a tangente verticale.
Svolgo
$lim_(x->2^+)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))= +infty$
$lim_(x->2^-)((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))= -infty$
Dal risultato dei limiti la funzione non è derivabile e presenta una cuspide.
Da qui in poi procedo come nel primo post e pongo la derivata $>=0$ e studiando il segno della derivata ottengo le seguenti coordinate $(4/3, root(3)(4)/3)$ e $(2, 0)$.
Dalla definizione di punto di minimo e di massimo $(2, 0)$ dovrebbe essere un punto di minimo relativo nonostante sia un punto di non derivabilità, il post di @pilloeffe però mi fa pensare, ma non capisco perchè non lo dovrei ritenere un pundo di minimo.
Per conoscere se ci sono ulteriori flessi è necessario e indispensabile calcolare la derivata seconda?
Spiego la domanda. Ho provato a calcolarla ma mi viene qualcosa del genere:
$ f'(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
$ D[k(fx)]=k*f'(x)$
$Df(x)=((x-2)(3x-4))/(3((x-2)^2(x-1))^(2/3))=1/3Df=(x)((x-2)(3x-4))/(((x-2)^2(x-1))^(2/3))$
$Df(x)= (Dp(x)q(x)-p(x)Dq(x))/([q(x)]^2)$
$f''(x)=1/3 (6x-10((x-2)^2(x-1))^(2/3)-(x-2)(3x-4)(6x^2 -20x+16)/(3root(3)(x-2)^2(x-1)))/((x-2)^2(x-1)^(2/3))^2$
Ho provato con le varie semplificazioni ma mi ritrovo comunque con qualcosa di poco maneggevole, potreste darmi una mano per favore?
Grazie
Sconsiglierei lo studio del segno della derivata seconda della funzione proposta, che non ti fornisce informazioni così rilevanti rispetto a quelle che hai già ottenuto, ma se non ho fatto male i conti dovresti trovare l'espressione seguente:
$ f''(x) = - \frac{2(x - 2)^2}{9[(x - 2)^2 (x - 1)]^{5/3}} $
Con le informazioni di cui già disponi però dovresti aver capito qual è l'andamento di massima della funzione proposta, ma nel dubbio potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
$ f''(x) = - \frac{2(x - 2)^2}{9[(x - 2)^2 (x - 1)]^{5/3}} $
Con le informazioni di cui già disponi però dovresti aver capito qual è l'andamento di massima della funzione proposta, ma nel dubbio potresti dare un'occhiata ad esempio qui.
Grazie ragazzi!
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