Curve fitting
Buonasera a tutti
Vorrei trovare una funzione f(x)∈C¹ così definita:
f(x) = Kx se x≤x0, ln(x) altrimenti
Per capirci, qualcosa del genere:

quindi devo determinare K ed x0
Ho fatto qualche tentativo ed ho ottenuto dei risultati intermedi (c'è di mezzo la funzione di Lambert W) ma non sono arrivato a conclusione.
Potete aiutarmi spiegandomi anche il procedimento per cortesia? Grazie
Vorrei trovare una funzione f(x)∈C¹ così definita:
f(x) = Kx se x≤x0, ln(x) altrimenti
Per capirci, qualcosa del genere:

quindi devo determinare K ed x0
Ho fatto qualche tentativo ed ho ottenuto dei risultati intermedi (c'è di mezzo la funzione di Lambert W) ma non sono arrivato a conclusione.
Potete aiutarmi spiegandomi anche il procedimento per cortesia? Grazie
Risposte
Ciao marcopulv19,
Beh, il punto di "saldatura" non è semplicemente $S(e, 1) $?
La retta sarà $y = kx = x/x_0 = x/e $ e la funzione sarà definita nel modo seguente:
$f(x) := {(x/e \text{ se } x <= e),(ln(x) \text{ se } x > e):} $
Il procedimento è semplice, prova, ma se proprio non riesci siamo qui...
Beh, il punto di "saldatura" non è semplicemente $S(e, 1) $?
La retta sarà $y = kx = x/x_0 = x/e $ e la funzione sarà definita nel modo seguente:
$f(x) := {(x/e \text{ se } x <= e),(ln(x) \text{ se } x > e):} $
Il procedimento è semplice, prova, ma se proprio non riesci siamo qui...

Grazie pilloeffe,
sicuramente è facilissimo ma non riesco, ho provato anche a capire la tua soluzione.
Che è corretta ovviamente si, ma non come sei arrivato.
Questo ad esempio non l'ho capito
\begin{equation}
kx = \frac{x}{x_{0}}
\end{equation}
Io avevo provato così:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
kx = ln(x) & \mbox{se } x \ge x_{0}\\
kx = \frac{1}{x} & \mbox{se } x \le x_{0}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Dove sbaglio? L'idea è che \( \frac{d(kx)}{dx} = \frac{d(ln(x)}{dx} \). se \( x = x_0 \), dalla prima mi calcolavo \( x_0 \) (qui trovavo la funzione di Lambert) che poi sostituivo nella seconda per ottenere \( k \)
Però evidentemente mi sbaglio, e c'è qualche errore inguardabile, chiedo scusa
sicuramente è facilissimo ma non riesco, ho provato anche a capire la tua soluzione.
Che è corretta ovviamente si, ma non come sei arrivato.
Questo ad esempio non l'ho capito
\begin{equation}
kx = \frac{x}{x_{0}}
\end{equation}
Io avevo provato così:
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{ll}
kx = ln(x) & \mbox{se } x \ge x_{0}\\
kx = \frac{1}{x} & \mbox{se } x \le x_{0}\\
\end{array}
\right.
\end{equation}
Dove sbaglio? L'idea è che \( \frac{d(kx)}{dx} = \frac{d(ln(x)}{dx} \). se \( x = x_0 \), dalla prima mi calcolavo \( x_0 \) (qui trovavo la funzione di Lambert) che poi sostituivo nella seconda per ottenere \( k \)
Però evidentemente mi sbaglio, e c'è qualche errore inguardabile, chiedo scusa

Mah, è molto più semplice di quello che pensi...
La retta $y = kx $ deve essere tangente alla curva e quindi in $x_0$ deve avere il coefficiente angolare $k$ pari a quello della funzione $ln(x) $ che ha derivata $1/x \implies k = 1/x_0 \implies y = x/x_0 $
Ora, siccome ovviamente in $x_0 $ la retta e la curva devono assumere lo stesso valore, dato che in $x_0 $ la retta $y = x/x_0 $ assume valore $y_0 = x_0/x_0 = 1 $, tale valore deve essere assunto in $x_0 $ anche dalla funzione $ln(x) $, cioè $y_0 = ln(x_0) = 1 \implies x_0 = e $

La retta $y = kx $ deve essere tangente alla curva e quindi in $x_0$ deve avere il coefficiente angolare $k$ pari a quello della funzione $ln(x) $ che ha derivata $1/x \implies k = 1/x_0 \implies y = x/x_0 $
Ora, siccome ovviamente in $x_0 $ la retta e la curva devono assumere lo stesso valore, dato che in $x_0 $ la retta $y = x/x_0 $ assume valore $y_0 = x_0/x_0 = 1 $, tale valore deve essere assunto in $x_0 $ anche dalla funzione $ln(x) $, cioè $y_0 = ln(x_0) = 1 \implies x_0 = e $
pilloeffe ha già scritto lo svolgimento corretto. Per scrupolo mi limito a rispondere a questo:
In primo luogo la seconda condizione è sbagliata, credo volessi scrivere solo $k$, non $kx$. Ma soprattutto, l'errore di fondo sta in quei $x\geq x_0$ e $x \leq x_0$: il tuo problema è *solo* ad $x=x_0$, a destra e sinistra di quel punto la funzione è chiaramente $C^\infty$.
"marcopulv19":
Io avevo provato così:
\[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} kx = \ln(x) & \mbox{se } x \ge x_{0}\\ kx = \frac{1}{x} & \mbox{se } x \le x_{0}\\ \end{array} \right. \end{equation} \]
Dove sbaglio?
In primo luogo la seconda condizione è sbagliata, credo volessi scrivere solo $k$, non $kx$. Ma soprattutto, l'errore di fondo sta in quei $x\geq x_0$ e $x \leq x_0$: il tuo problema è *solo* ad $x=x_0$, a destra e sinistra di quel punto la funzione è chiaramente $C^\infty$.