Curvatura
Buonasera,
non riesco a risolvere il seguente esercizio. Siamo in $RR^3$ ed abbiamo una certa curva $alpha$ di cui è nota la curvatura $k_alpha$. Detta $M$ una certa matrice ortogonale ($M^tM=I$), ci viene assegnata un'altra curva $beta=Malpha$. Qual è la curvatura $k_beta$ della curva $beta$? Io avevo pensato che, se $detM=1$ (se $M$ conservasse l'orientazione), allora si avrebbe:
$beta'=Malpha' rarr T_beta=MT_alpha rarr T'_beta=MT'_alpha rarr k_betaN_beta=Mk_alphaN_alpha rarr k_beta=k_alpha$
Ma l'esercizio nulla dice su $detM$.
Grazie.
non riesco a risolvere il seguente esercizio. Siamo in $RR^3$ ed abbiamo una certa curva $alpha$ di cui è nota la curvatura $k_alpha$. Detta $M$ una certa matrice ortogonale ($M^tM=I$), ci viene assegnata un'altra curva $beta=Malpha$. Qual è la curvatura $k_beta$ della curva $beta$? Io avevo pensato che, se $detM=1$ (se $M$ conservasse l'orientazione), allora si avrebbe:
$beta'=Malpha' rarr T_beta=MT_alpha rarr T'_beta=MT'_alpha rarr k_betaN_beta=Mk_alphaN_alpha rarr k_beta=k_alpha$
Ma l'esercizio nulla dice su $detM$.
Grazie.
Risposte
Se scrivi la curva \(\gamma : I \to \mathbb{R}^2\) in forma parametrica (questo, almeno in un opportuno intorno del punto dove vuoi calcolare la curvatura, se la curva è ivi $C^2$, si può sempre fare), e cioè se scrivi $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ allora la curvatura si calcola come
$$
\left| \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{({\dot{x}^2 + \dot{y}^2)}^{3/2}} \right| = \left|\frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|\dot\gamma\|^3}\right|
$$
e dunque un conto diretto ti mostra che la curvatura di $M.\gamma$ è uguale a
$$
\left|\frac{\left(a_{1,2} a_{2,1}-a_{1,1} a_{2,2}\right)
\left(\ddot{x} \dot{y}-\dot{x}
\ddot{y}\right)}{\left(\left(a_{1,1} \dot{x}+a_{1,2}
\dot{y}\right)^2+\left(a_{2,1} \dot{x}+a_{2,2}
\dot{y}\right)^2\right)^{3/2}} \right|=
\left| \det M \cdot \frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|M.\dot\gamma\|^3} \right| = \left|\frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|\dot\gamma\|^3}\right|
$$
perché $M$ è ortogonale.
$$
\left| \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{({\dot{x}^2 + \dot{y}^2)}^{3/2}} \right| = \left|\frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|\dot\gamma\|^3}\right|
$$
e dunque un conto diretto ti mostra che la curvatura di $M.\gamma$ è uguale a
$$
\left|\frac{\left(a_{1,2} a_{2,1}-a_{1,1} a_{2,2}\right)
\left(\ddot{x} \dot{y}-\dot{x}
\ddot{y}\right)}{\left(\left(a_{1,1} \dot{x}+a_{1,2}
\dot{y}\right)^2+\left(a_{2,1} \dot{x}+a_{2,2}
\dot{y}\right)^2\right)^{3/2}} \right|=
\left| \det M \cdot \frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|M.\dot\gamma\|^3} \right| = \left|\frac{\det(\dot\gamma,\ddot\gamma)}{\|\dot\gamma\|^3}\right|
$$
perché $M$ è ortogonale.
Grazie per la risposta. In realtà, da come so io la curvatura di una curva $alpha$ in forma parametrica è $k_alpha=(det(alpha',alpha''))/(|alpha'|^3)$ solo in $RR^2$; in $RR^3$ è $k_alpha=(|alpha' ^^ alpha''|)/|alpha'|^3$. Qui siamo in $RR^3$.
Ok, avevo letto male, però è la stessa cosa, quello che in R^2 è il determinante della matrice a colonne \((\dot\gamma,\ddot\gamma)\) in R^3 è il loro prodotto vettoriale. Una matrice ortogonale rispetta il prodotto vettoriale di vettori.
OK, grazie.
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