Criterio di stabilità

[ee4]

Ho questo problema svolto:

http://tinypic.com/r/34sgk9e/5


L'unica cosa che non capisco è come fa a dimostrare che vi è nell'origine equilibri stabile.
Affinchè ci sia equilibrio stabile devono verificarsi queste condizioni:

1) $V'(0)=0$
2) $V(x)>0$
3) $V'(x(t,x^0))<= 0$

le prime due riesco a dimostrarli, son banali, ma la terza proprio non mi viene guardando la risoluzione....qualche suggerimento a riguardo?

[ELWOOD1]

Manca un pezzo del problema fondamentale, quale sia il sistema lineare associato.

Devi porre poi $\dot{V}(x(t),y(t))=0$ cioè $\gradV(x(t),y(t))\cdot(\dot{x}(t),\dot{y}(t))=0$

[Sk_Anonymous]

ELWOOD ha ragione. In ogni modo, se analizzi l'ultimo passaggio, il sistema potrebbe essere questo:

$\{(dotx_1=x_2),(dotx_2=x_1(x_1^2-1)):}$

[ee4]

E' vero, il sistema è questo:

$\{(dotx_1=x_2),(dotx_2=x_1(x_1^2-1) - \alfa x_2):}$

elwood, quello in parentesi alla funzione divergenza, è un prodotto scalare tra $(x(t),y(t))$ e la loro derivata?