Criterio di Leibniz
Buongiorno, sto leggendo e studiando il Criterio di Leibniz, per serie numeriche, vi riporto l'enunciato e la dimostrazione.
Sia data una serie $sum(-1)^na_n$, con $a_n>0$, per ogni $n \ in NN$. Se
i) $a_n$ decrescente
ii) $a_n$ infinitesima
allora la serie $sum(-1)^na_n$ è convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice pari per difetto; il resto è $|sum_{k+1}^{\infty} a_k|=|R_k| le a_{n+1}$.
Dimostrazione:
Sia la successione delle somme parziali
Si ha per l'ipotesi i) che
dunque, le successioni di indice pari sono decrescenti, e quelle di indice dispari sono crescenti.
Inoltre, si ha
e quindi si $s_{2n} ge s_{2n+1}$, invece, per l'osservazione fatta su $s_{2n+1} ge s_{2n-1}$, combinando
Quindi, abbiamo che la successione ${s_{2n}} $ è limitata inferiormente e decrescente, perciò
(Quello che segue, non capisco perché gli autori l'abbiamo considerato; infatti, la successione ${s_{2n}} $ è un estratta della successione ${s_{n}} $ ? se si, allora non vale il seguente teorema, detto semplice, se ho una successione convergente, ad un certo valore $l$, se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette limite $l$. Perché si fa questo discorso ?)
Sia $lims_{2n}-s_{2n+1}=lim a_{n+1}=0 => lim s_{2n}=S=lim s_{2n+1}$, allora anche la serie converge ad $S$
cioè non posso dire direttamente che la serie converge ad $S$ perché l'estratta ${s_{2n}} $della successione delle somme parziali ${s_{n}} $è convergente. Questa è la prima parte che non mi è chiara.
Invece, la seconda parte che non mi è chiara è questa
E' evidente che $s_{2n} to S$ per eccesso, $s_{2n+1} to S$ per difetto, perché ? $S=mbox{inf}{s_{2n}}$ e $S=mbox{sup}{s_{2n+1 }}$se si, mi è chiaro.
Saluti
Sia data una serie $sum(-1)^na_n$, con $a_n>0$, per ogni $n \ in NN$. Se
i) $a_n$ decrescente
ii) $a_n$ infinitesima
allora la serie $sum(-1)^na_n$ è convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice pari per difetto; il resto è $|sum_{k+1}^{\infty} a_k|=|R_k| le a_{n+1}$.
Dimostrazione:
Sia la successione delle somme parziali
$s_n=a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1)^na_n$.
Si ha per l'ipotesi i) che
$s_{2n+2}=s_{2n}-(a_{2n+1}-a_{2n+1}) le s_{2n}$
$s_{2n+1}=s_{2n-1}+(a_{2n}-a_{2n+1}) ge s_{2n-1}$
$s_{2n+1}=s_{2n-1}+(a_{2n}-a_{2n+1}) ge s_{2n-1}$
dunque, le successioni di indice pari sono decrescenti, e quelle di indice dispari sono crescenti.
Inoltre, si ha
$s_{2n}-s_{2n+1}=a_{n+1} ge 0$
e quindi si $s_{2n} ge s_{2n+1}$, invece, per l'osservazione fatta su $s_{2n+1} ge s_{2n-1}$, combinando
$s_{2n} ge s_{2n+1} ge s_{2n-1}$
cosicché si ha $s_{2n} ge s_{2n+1} ge s_{2n-1}ge...ges_1=a_0-a_1.$
Quindi, abbiamo che la successione ${s_{2n}} $ è limitata inferiormente e decrescente, perciò
$lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S$
(Quello che segue, non capisco perché gli autori l'abbiamo considerato; infatti, la successione ${s_{2n}} $ è un estratta della successione ${s_{n}} $ ? se si, allora non vale il seguente teorema, detto semplice, se ho una successione convergente, ad un certo valore $l$, se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette limite $l$. Perché si fa questo discorso ?)
Sia $lims_{2n}-s_{2n+1}=lim a_{n+1}=0 => lim s_{2n}=S=lim s_{2n+1}$, allora anche la serie converge ad $S$
cioè non posso dire direttamente che la serie converge ad $S$ perché l'estratta ${s_{2n}} $della successione delle somme parziali ${s_{n}} $è convergente. Questa è la prima parte che non mi è chiara.
Invece, la seconda parte che non mi è chiara è questa
E' evidente che $s_{2n} to S$ per eccesso, $s_{2n+1} to S$ per difetto, perché ? $S=mbox{inf}{s_{2n}}$ e $S=mbox{sup}{s_{2n+1 }}$se si, mi è chiaro.
Saluti
Risposte
Ma che ${s_n}$ converge a $S$ lo devi dimostrare mica lo sai, per la seconda cosa, se una successione tende a un limite ed è crescente ci tenderà per difetto, e analogamente al contrario.
Ciao otta96, scusami ma non ho capito, cioè
Io se considero una successione ${a_n}$, e sia $l in RR$, ho la seguente affermazione:
Ora, ${s_{2n}}$ è una sottosuccessione di ${s_n}$, e $ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $, allora la successione ${s_n}$ converge ad $S$. Dove sbaglio?
Invece,
"otta96":
Ma che $ {s_n} $ converge a $ S $ lo devi dimostrare mica lo sai
Io se considero una successione ${a_n}$, e sia $l in RR$, ho la seguente affermazione:
${a_n}$ converge ad $l$ se e solo se ogni sua sottossuccessione $a_{n_k}$ converge ad $l$.
Ora, ${s_{2n}}$ è una sottosuccessione di ${s_n}$, e $ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $, allora la successione ${s_n}$ converge ad $S$. Dove sbaglio?
Invece,
"otta96":ma questo perché
per la seconda cosa, se una successione tende a un limite ed è crescente ci tenderà per difetto, e analogamente al contrario.
$ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $
e cioè il limite $S$ gode di << $forall varepsilon>0$ esiste un certo $N=N(varepsilon)>0 in NN$ tale che $S+\varepsilon>s_{2n} $ per ogni $n in NN$, con $n ge N$ >>
Compa:
$s_{2n}=0$, $s_{2n+1}=n$?
$s_{2n}=0$, $s_{2n+1}=n$?
@ghira, mi stai fornendo due esempi di sottosuccessioni, che smentiscono questa proprietà
${a_n}$ converge ad $l$ se e solo se ogni sua sottossuccessione $a_{n_k}$ converge ad $l$.
?
"compa90":
Perché si fa questo discorso ?)
Sia $\lim s_{2n}− s_{2n + 1}=\lim a_{n + 1}=0 \implies \lim s_{2n}= S =\lim s_{2n + 1}$, allora anche la serie converge ad $S$
cioè non posso dire direttamente che la serie converge ad $S$ perché l'estratta ${s_{2n}}$ della successione delle somme parziali ${s_n}$ è convergente. Questa è la prima parte che non mi è chiara.
No, perché convergono allo stesso limite $S$ proprio perché per ipotesi $\lim a_n=0$: se fosse $\lim a_n \ne 0$ allora potrebbe accadere che le due sottosuccessioni abbiano limite diverso e si ricadrebbe nel discorso delle serie oscillanti di cui a questo thread poco distante...
compa hai detto "Ora, ${s_{2n}}$ è una sottosuccessione di ${s_n}$, e $ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $, allora la successione ${s_n}$ converge ad $S$. Dove sbaglio?"
Quindi, la mia proposta. $s_n$ converge?
Quindi, la mia proposta. $s_n$ converge?
"compa90":
Ora, ${s_{2n}}$ è una sottosuccessione di ${s_n}$, e $ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $, allora la successione ${s_n}$ converge ad $S$. Dove sbaglio?
Fai confusione tra i ruoli della successione e la sottosuccessione.
"compa90":$ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $e cioè il limite $S$ gode di
<< $forall varepsilon>0$ esiste un certo $N=N(varepsilon)>0 in NN$ tale che $S+\varepsilon>s_{2n} $ per ogni $n in NN$, con $n ge N$ >>
Si però è quello che dici te che è una conseguenza del fatto che la sottosuccesione sia monotona, non il contrario.
@ghira, @otta96 chiariamo il primo problema.
@ghira, quando scrivi
@otta96 $s_{2n}$ non è la sottosuccessione di $s_n$
@ghira, quando scrivi
"ghira":mi stai chiedendo come sono fatte le due ridotte, oppure mi vuoi suggerire qualcosa?
Compa:
$ s_{2n}=0 $, $ s_{2n+1}=n $?
@otta96 $s_{2n}$ non è la sottosuccessione di $s_n$
compa vedi risposta modificata
"compa90":
${a_n}$ converge ad $l$ se e solo se ogni sua sottossuccessione $a_{n_k}$ converge ad $l$.
Ora, ${s_{2n}}$ è una sottosuccessione di ${s_n}$, e $ lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S $, allora la successione ${s_n}$ converge ad $S$. Dove sbaglio?
Qual è la distinzione tra "ogni sottosuccessione" ed "una sottosuccessione"?
Inoltre, potrebbe esserti utile dimostrare che vale il seguente fatto:
Sia $(x_n)$ una successione reale.
Risulta $x_n -> l$ se e solo se esiste una partizione[nota]Ricorda che una partizione di un insieme è una famiglia di sottoinsiemi non vuoti e a due a due disgiunti la cui unione è tutto l'insieme che li contiene.[/nota] di $NN$ in un numero finito di insiemi infiniti $(n_k^1)$, $(n_k^2)$, ..., $(n_k^m)$ tali che tutte le $m$ sottosuccessioni estratte da $(x_n)$ con indici $n_k^1$, $n_k^2$, ..., $n_k^m$ sono regolari ed hanno limite $l$.
da cui discende il seguente corollario adatto al caso in esame:
Sia $(x_n)$ una successione reale.
Si ha $x_n -> l$ se e solo se le sue due estratte d'indici pari e dispari, cioè $(x_(2k))$ ed $(x_(2k+1))$, sono regolari ed hanno limite $l$.
Ciao gugo82!
Alla domanda che mi ha posto: quella proposizione è vera per ogni sottosuccessione, quindi non solo per due o per una.
Comunque, ora provo e riporto la dimostrazione!
Alla domanda che mi ha posto: quella proposizione è vera per ogni sottosuccessione, quindi non solo per due o per una.
Comunque, ora provo e riporto la dimostrazione!
Brevemente, si ha:
$ s_{2m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + ... + (a_{2m - 1} - a_{2m}) $
$ s_{2m + 1} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - ... - (a_{2m} - a_{2m + 1}) $
$ s_{2m + 1} - s_{2m} = a_{2m + 1} $
Le parentesi sono tutte $\ge 0 $, sicché vale la catena di disuguaglianze seguente:
$a_1 - a_2 \le s_{2m} < s_{2m + 1} \le a_1 $
Al crescere di $m$ la sottosuccessione di posto pari $s_{2m} $ non decresce, mentre quella di posto dispari $s_{2m + 1} $ non cresce e si ha:
$\lim_{m \to +\infty} (s_{2m + 1} - s_{2m}) = \lim_{m \to +\infty} a_{2m + 1} $
Ora, siccome per ipotesi $\lim_{m \to +\infty} a_{2m + 1} = 0 $, allora si ha:
$\lim_{m \to +\infty} (s_{2m + 1} - s_{2m}) = 0 \implies \lim_{m \to +\infty} s_{2m + 1} = \lim_{m \to +\infty} s_{2m} $
Il risultato (comune) $S$ degli ultimi due limiti è finito in quanto compreso fra $(a_1 - a_2) $ e $a_1 $. Ne consegue che $\lim_{n \to +\infty} s_n = S $ e la serie considerata converge a tale valore.
$ s_{2m} = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + ... + (a_{2m - 1} - a_{2m}) $
$ s_{2m + 1} = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) - ... - (a_{2m} - a_{2m + 1}) $
$ s_{2m + 1} - s_{2m} = a_{2m + 1} $
Le parentesi sono tutte $\ge 0 $, sicché vale la catena di disuguaglianze seguente:
$a_1 - a_2 \le s_{2m} < s_{2m + 1} \le a_1 $
Al crescere di $m$ la sottosuccessione di posto pari $s_{2m} $ non decresce, mentre quella di posto dispari $s_{2m + 1} $ non cresce e si ha:
$\lim_{m \to +\infty} (s_{2m + 1} - s_{2m}) = \lim_{m \to +\infty} a_{2m + 1} $
Ora, siccome per ipotesi $\lim_{m \to +\infty} a_{2m + 1} = 0 $, allora si ha:
$\lim_{m \to +\infty} (s_{2m + 1} - s_{2m}) = 0 \implies \lim_{m \to +\infty} s_{2m + 1} = \lim_{m \to +\infty} s_{2m} $
Il risultato (comune) $S$ degli ultimi due limiti è finito in quanto compreso fra $(a_1 - a_2) $ e $a_1 $. Ne consegue che $\lim_{n \to +\infty} s_n = S $ e la serie considerata converge a tale valore.
Buonasera gugo82, pilloeffe !
Riporto la dimostrazione della proposizione riportata da gugo82. (Non so se ho capito bene la richiesta della proposizione)
$rightarrow$
$x_n to l$, allora per ogni intorno $I$ di $l$ esiste $nu$ per cui $x_n \in I$ se $n ge \nu$.
Considero una generica sottosuccessione $(x_{n_k})$ di $(x_n)$; in particolare, la $n_k to + infty $, pertanto esiste un certo $k'$ tale che $n_k> nu$ per $k ge k'$; quindi, $x_{n_k} \in I$ se $k ge \k'$, cioè $l=lim_{n to + infty}x_n=lim_{k to + infty} x_{n_k}$
Dall'arbitrarietà di $(x_{n_k})$, allora è vero anche per $ (n_k^1) $ $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $
$leftarrow$
Questa penso che sia vero, perchè se ogni sottosuccessione estratta da $x_n$ converge ad $l$ allora anche la successione $x_n$ converge ad $l$.
Riporto la dimostrazione della proposizione riportata da gugo82. (Non so se ho capito bene la richiesta della proposizione)
$rightarrow$
$x_n to l$, allora per ogni intorno $I$ di $l$ esiste $nu$ per cui $x_n \in I$ se $n ge \nu$.
Considero una generica sottosuccessione $(x_{n_k})$ di $(x_n)$; in particolare, la $n_k to + infty $, pertanto esiste un certo $k'$ tale che $n_k> nu$ per $k ge k'$; quindi, $x_{n_k} \in I$ se $k ge \k'$, cioè $l=lim_{n to + infty}x_n=lim_{k to + infty} x_{n_k}$
Dall'arbitrarietà di $(x_{n_k})$, allora è vero anche per $ (n_k^1) $ $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $
$leftarrow$
Questa penso che sia vero, perchè se ogni sottosuccessione estratta da $x_n$ converge ad $l$ allora anche la successione $x_n$ converge ad $l$.
"compa90":
Buonasera gugo82, pilloeffe !
Mirëmbrëma.
"compa90":
Riporto la dimostrazione della proposizione riportata da gugo82. (Non so se ho capito bene la richiesta della proposizione)
$rightarrow$
$x_n to l$, allora per ogni intorno $I$ di $l$ esiste $nu$ per cui $x_n \in I$ se $n ge \nu$.
Considero una generica sottosuccessione $(x_{n_k})$ di $(x_n)$; in particolare, la $n_k to + infty $, pertanto esiste un certo $k'$ tale che $n_k> nu$ per $k ge k'$; quindi, $x_{n_k} \in I$ se $k ge \k'$, cioè $l=lim_{n to + infty}x_n=lim_{k to + infty} x_{n_k}$
Dall'arbitrarietà di $(x_{n_k})$, allora è vero anche per $ (n_k^1) $ $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $
Ok.
"compa90":
$leftarrow$
Questa penso che sia vero, perchè se ogni sottosuccessione estratta da $x_n$ converge ad $l$ allora anche la successione $x_n$ converge ad $l$.
Hai letto le ipotesi o le hai inventate?
Ti è chiaro cosa significa la freccia $leftarrow$?
"Penso che" a questo livello non ha alcun senso: o un enunciato lo si dimostra o lo si confuta con qualche controesempio.
Buongiorno e buon inizio settimana !
L'implicazione $leftarrow$ della proposizione che hai scritto, io la riguardo cosi
Ipotesi: Sia $(x_n)$ successione di numeri reali. Se esiste una partizione di $ NN $ in un numero finito di insiemi infiniti $ (n_k^1) $, $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $ tali che tutte le $ m $ sottosuccessioni estratte da $ (x_n) $ con indici $ n_k^1 $, $ n_k^2 $, ..., $ n_k^m $ sono regolari ed hanno limite $ l $.
Tesi: $x_n$ tende ad $l$ per $n$ che tende a $+ infty$.
Procedo cosi:
Sia ${x_n}$ successione di numeri reali, e sia $l in RR^{**}$.
Per ipotesi tutte le sottosuccessioni ${x_{n_k}}$ di ${x_n}$ sono convergenti ad $l$, la tesi è far vedere che ${x_n}$ converge ad $l$.
Per assurdo ${x_n}$ non converge ad $l$, allora esiste un intorno $I$ tra la famiglia di intorni di $l$ per cui $x_n \notin I$ per ogni $n in N$ tale che $n ge m$. Considero $n_k:=m+k$ con $k in NN_0$, pertanto ho che esiste un intorno $I$ di $l$ per cui $x_{n_k} \notin I$ per ogni $k in NN_0$.
Va bene cosi?
L'implicazione $leftarrow$ della proposizione che hai scritto, io la riguardo cosi
Ipotesi: Sia $(x_n)$ successione di numeri reali. Se esiste una partizione di $ NN $ in un numero finito di insiemi infiniti $ (n_k^1) $, $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $ tali che tutte le $ m $ sottosuccessioni estratte da $ (x_n) $ con indici $ n_k^1 $, $ n_k^2 $, ..., $ n_k^m $ sono regolari ed hanno limite $ l $.
Tesi: $x_n$ tende ad $l$ per $n$ che tende a $+ infty$.
Procedo cosi:
Sia ${x_n}$ successione di numeri reali, e sia $l in RR^{**}$.
Per ipotesi tutte le sottosuccessioni ${x_{n_k}}$ di ${x_n}$ sono convergenti ad $l$, la tesi è far vedere che ${x_n}$ converge ad $l$.
Per assurdo ${x_n}$ non converge ad $l$, allora esiste un intorno $I$ tra la famiglia di intorni di $l$ per cui $x_n \notin I$ per ogni $n in N$ tale che $n ge m$. Considero $n_k:=m+k$ con $k in NN_0$, pertanto ho che esiste un intorno $I$ di $l$ per cui $x_{n_k} \notin I$ per ogni $k in NN_0$.
Va bene cosi?
"otta96":
Si però è quello che dici te che è una conseguenza del fatto che la sottosuccesione sia monotona, non il contrario.
Io voglio provare che $s_{2n} to S$ per eccesso.
Questo è il mio ragionamento
Definizione di intorno destro
Sia $x in RR$, si ha che $[x, x+r)$ con $r>0$ è un intorno destro.
Definizione di limite per eccesso
$lim_{x to x_0}f(x)=l_+$ se per ogni intorno destro $V_+$ di $l$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ per cui
$f(x) in V_+ $, se $x_0 \ne x \in XcapU$
Dunque
$lim s_{2n}=S_+$ se per ogni intorno destro $I_+$ di $S$ esiste un certo $\nu in NN$ per cui ${s_{2n}} in I_+$ se $n ge nu$, e cioè se per ogni $r>0$ esiste un certo $nu=nu(r)$ tale che ${s_{2n}} in $ $[S, S+r)$ se $n ge nu, $ e quindi se per ogni $r>0$ esiste un certo $nu=nu(r)$ tale che $S le {s_{2n}}
\[ S=\mbox{inf}{{s_{2_n}}} =
\begin{cases}
S \le s_{2_n} & \quad \text{per ogni } n \in\mathbb{N} \\
\forall r>0, \quad \exists\nu=\nu(r)>0 \quad : S+r>s_{2_n} \forall n \ge \nu
\end{cases}
\]
Cosi va bene ?
"compa90":
L'implicazione $leftarrow$ della proposizione che hai scritto, io la riguardo cosi
Ipotesi: Sia $(x_n)$ successione di numeri reali. Se esiste una partizione di $ NN $ in un numero finito di insiemi infiniti $ (n_k^1) $, $ (n_k^2) $, ..., $ (n_k^m) $ tali che tutte le $ m $ sottosuccessioni estratte da $ (x_n) $ con indici $ n_k^1 $, $ n_k^2 $, ..., $ n_k^m $ sono regolari ed hanno limite $ l $.
Tesi: $x_n$ tende ad $l$ per $n$ che tende a $+ infty$.
Ok.
Procedo cosi:
Sia ${x_n}$ successione di numeri reali, e sia $l in RR^{**}$.
Per ipotesi tutte le sottosuccessioni ${x_{n_k}}$ di ${x_n}$ sono convergenti ad $l$, la tesi è far vedere che ${x_n}$ converge ad $l$.
No, non è questa l'ipotesi.
Sia ${x_n}$ successione di numeri reali, e sia $l∈R^{**}$.
Per ipotesi le sottosuccessioni ${x_{n_k}}$ con indici $n_k^1, n_k^2,...,n_k^m$ di$ {x_n}$ sono convergenti ad $l$, la tesi è far vedere che ${x_n}$ converge ad $l$.
Supponiamo per assurdo che ${x_n}$ non converge ad $l$, allora esiste un intorno $I$ tra la famiglia di intorni di $l$ per cui $x_n∉I$ per ogni $n∈NN$ tale che $n≥m$. Considero $n_k:=m+k$ con $k∈NN_0$, pertanto esiste un intorno $I$ di $l$ per cui $x_{n_k}∉I$ per ogni $k∈NN_0$, che è assurdo.
cosi?
Per ipotesi le sottosuccessioni ${x_{n_k}}$ con indici $n_k^1, n_k^2,...,n_k^m$ di$ {x_n}$ sono convergenti ad $l$, la tesi è far vedere che ${x_n}$ converge ad $l$.
Supponiamo per assurdo che ${x_n}$ non converge ad $l$, allora esiste un intorno $I$ tra la famiglia di intorni di $l$ per cui $x_n∉I$ per ogni $n∈NN$ tale che $n≥m$. Considero $n_k:=m+k$ con $k∈NN_0$, pertanto esiste un intorno $I$ di $l$ per cui $x_{n_k}∉I$ per ogni $k∈NN_0$, che è assurdo.
cosi?
Non stai usando l'ipotesi, quindi non hai dimostrato nulla.
In particolare, chi ti assicura che gli $n_k^i$ siano del tipo $m+k$? Non c'è scritto da nessuna parte.
In particolare, chi ti assicura che gli $n_k^i$ siano del tipo $m+k$? Non c'è scritto da nessuna parte.
Si hai ragione.
Sia $ {x_n} $ successione di numeri reali, e sia $ l∈R^{**} $.
Per ipotesi le sottosuccessioni $ {x_{n_k^i}} $ con indici $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $ di $ {x_n} $ sono convergenti ad $ l $, la tesi è far vedere che $ {x_n} $ converge ad $ l $.
Supponiamo per assurdo che $ {x_n} $ non converge ad $ l $, allora, esiste un intorno $ I $ tra la famiglia degli intorni di $ l $ per cui $ x_n∉I $ per ogni $ n∈NN $ tale che $ n≥nu $. Essendo $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $, successioni crescenti, esiste un certo $bar{k}_i$, con $i=1,...,m$ tale che $ n_k^i ge nu$ per ogni $k gebar{k}_i$, e quindi $ {x_{n_k^i}} ∉I $, per ogni $k gebar{k}_i$, questo dovrebbero portare ad una contraddizione.
ok ?
Sia $ {x_n} $ successione di numeri reali, e sia $ l∈R^{**} $.
Per ipotesi le sottosuccessioni $ {x_{n_k^i}} $ con indici $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $ di $ {x_n} $ sono convergenti ad $ l $, la tesi è far vedere che $ {x_n} $ converge ad $ l $.
Supponiamo per assurdo che $ {x_n} $ non converge ad $ l $, allora, esiste un intorno $ I $ tra la famiglia degli intorni di $ l $ per cui $ x_n∉I $ per ogni $ n∈NN $ tale che $ n≥nu $. Essendo $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $, successioni crescenti, esiste un certo $bar{k}_i$, con $i=1,...,m$ tale che $ n_k^i ge nu$ per ogni $k gebar{k}_i$, e quindi $ {x_{n_k^i}} ∉I $, per ogni $k gebar{k}_i$, questo dovrebbero portare ad una contraddizione.
ok ?
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