Criterio di Leibniz
Buongiorno, sto leggendo e studiando il Criterio di Leibniz, per serie numeriche, vi riporto l'enunciato e la dimostrazione.
Sia data una serie $sum(-1)^na_n$, con $a_n>0$, per ogni $n \ in NN$. Se
i) $a_n$ decrescente
ii) $a_n$ infinitesima
allora la serie $sum(-1)^na_n$ è convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice pari per difetto; il resto è $|sum_{k+1}^{\infty} a_k|=|R_k| le a_{n+1}$.
Dimostrazione:
Sia la successione delle somme parziali
Si ha per l'ipotesi i) che
dunque, le successioni di indice pari sono decrescenti, e quelle di indice dispari sono crescenti.
Inoltre, si ha
e quindi si $s_{2n} ge s_{2n+1}$, invece, per l'osservazione fatta su $s_{2n+1} ge s_{2n-1}$, combinando
Quindi, abbiamo che la successione ${s_{2n}} $ è limitata inferiormente e decrescente, perciò
(Quello che segue, non capisco perché gli autori l'abbiamo considerato; infatti, la successione ${s_{2n}} $ è un estratta della successione ${s_{n}} $ ? se si, allora non vale il seguente teorema, detto semplice, se ho una successione convergente, ad un certo valore $l$, se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette limite $l$. Perché si fa questo discorso ?)
Sia $lims_{2n}-s_{2n+1}=lim a_{n+1}=0 => lim s_{2n}=S=lim s_{2n+1}$, allora anche la serie converge ad $S$
cioè non posso dire direttamente che la serie converge ad $S$ perché l'estratta ${s_{2n}} $della successione delle somme parziali ${s_{n}} $è convergente. Questa è la prima parte che non mi è chiara.
Invece, la seconda parte che non mi è chiara è questa
E' evidente che $s_{2n} to S$ per eccesso, $s_{2n+1} to S$ per difetto, perché ? $S=mbox{inf}{s_{2n}}$ e $S=mbox{sup}{s_{2n+1 }}$se si, mi è chiaro.
Saluti
Sia data una serie $sum(-1)^na_n$, con $a_n>0$, per ogni $n \ in NN$. Se
i) $a_n$ decrescente
ii) $a_n$ infinitesima
allora la serie $sum(-1)^na_n$ è convergente. Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice pari per difetto; il resto è $|sum_{k+1}^{\infty} a_k|=|R_k| le a_{n+1}$.
Dimostrazione:
Sia la successione delle somme parziali
$s_n=a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1)^na_n$.
Si ha per l'ipotesi i) che
$s_{2n+2}=s_{2n}-(a_{2n+1}-a_{2n+1}) le s_{2n}$
$s_{2n+1}=s_{2n-1}+(a_{2n}-a_{2n+1}) ge s_{2n-1}$
$s_{2n+1}=s_{2n-1}+(a_{2n}-a_{2n+1}) ge s_{2n-1}$
dunque, le successioni di indice pari sono decrescenti, e quelle di indice dispari sono crescenti.
Inoltre, si ha
$s_{2n}-s_{2n+1}=a_{n+1} ge 0$
e quindi si $s_{2n} ge s_{2n+1}$, invece, per l'osservazione fatta su $s_{2n+1} ge s_{2n-1}$, combinando
$s_{2n} ge s_{2n+1} ge s_{2n-1}$
cosicché si ha $s_{2n} ge s_{2n+1} ge s_{2n-1}ge...ges_1=a_0-a_1.$
Quindi, abbiamo che la successione ${s_{2n}} $ è limitata inferiormente e decrescente, perciò
$lim s_{2n}=mbox{inf}{s_{2n}}=S$
(Quello che segue, non capisco perché gli autori l'abbiamo considerato; infatti, la successione ${s_{2n}} $ è un estratta della successione ${s_{n}} $ ? se si, allora non vale il seguente teorema, detto semplice, se ho una successione convergente, ad un certo valore $l$, se e solo se ogni sua sottosuccessione ammette limite $l$. Perché si fa questo discorso ?)
Sia $lims_{2n}-s_{2n+1}=lim a_{n+1}=0 => lim s_{2n}=S=lim s_{2n+1}$, allora anche la serie converge ad $S$
cioè non posso dire direttamente che la serie converge ad $S$ perché l'estratta ${s_{2n}} $della successione delle somme parziali ${s_{n}} $è convergente. Questa è la prima parte che non mi è chiara.
Invece, la seconda parte che non mi è chiara è questa
E' evidente che $s_{2n} to S$ per eccesso, $s_{2n+1} to S$ per difetto, perché ? $S=mbox{inf}{s_{2n}}$ e $S=mbox{sup}{s_{2n+1 }}$se si, mi è chiaro.
Saluti
Risposte
No.
Chi è $nu$?
Chi è $nu$?
"gugo82":
Chi è $ nu $?
E' un naturale che viene determinato a partire dall'intorno $I$, inoltre, dice che per ogni naturale maggiore o uguale ad esso si ha che la successione $ x_n∉I $.
Non mi pare che la negazione della definizione di limite dica questo.
Hai ragione, infatti, la definizione di limite di successione è
e la negazione dovrebbe essere
Se ho capito, corretto questo, dovrebbe essere giusto.
Mi sbaglio ?
$lim x_n=l in RR^{**} <=> forall I in I(l) quad exists nu in NN quad : {x_n} in I quad$ quando $ n ge nu$.
e la negazione dovrebbe essere
$lim x_n ne l in RR^{**} <=> forall I in I(l) quad exists nu in NN quad : {x_n} notin I quad$ quando $ n ge nu$.
Se ho capito, corretto questo, dovrebbe essere giusto.
Mi sbaglio ?
La negazione non è quella.
Ti ripeto ciò che ho già scritto un mesetto fa: hai dei problemi con l'uso dei quantificatori e faresti bene a risolverli.
Ti ripeto ciò che ho già scritto un mesetto fa: hai dei problemi con l'uso dei quantificatori e faresti bene a risolverli.
Sono andato a rivedere un mio vecchio post, dove si parla di negare una definizione, eccolo https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=227073, prendendo spunto dalla risposto di Quinzio, dovrebbe essere questa la negazione
Giusto?
$lim x_n ne l in RR^{**} <=> forall I in I(l) quad $\(\displaystyle \nexists \) $ nu in NN quad : {x_n} in I$ con $n ge nu$
se è cosi, ho che gli intorni $I$ di $l$ non contengono nessun $x_n$, e quindi non contengono nessuna sottosuccessione di ${x_n}$. Giusto?
No.
La gestione dei quantificatori è talmente importante che il tuo testo di riferimento, che se non ricordo male è il Pagani & Salsa, ne parla a pag. 8 (forse in maniera un po' stringata, ma i concetti importanti ci sono).
La gestione dei quantificatori è talmente importante che il tuo testo di riferimento, che se non ricordo male è il Pagani & Salsa, ne parla a pag. 8 (forse in maniera un po' stringata, ma i concetti importanti ci sono).
Buongiorno.
Mi sono fatto una lettura, ho dedotto che, se considero le due proposizioni $exists x : p(x)$ , $ forall x : p(x)$ le rispettive negazioni sono
Ora ho la seguente definizione
la riguardo come
la negazione dovrebbe essere $exists I in I(l)$ non $P(I)$
allora
Mi sono fatto una lettura, ho dedotto che, se considero le due proposizioni $exists x : p(x)$ , $ forall x : p(x)$ le rispettive negazioni sono
$forall x : $ non $p(x)$, $exists x :$ non $ p(x)$
Ora ho la seguente definizione
$lim x_n= l leftrightarrow forall I in I(l) \ exists nu in NN \ : forall n in NN , n ge nu \ {x_n} in I $
la riguardo come
$forall I in I(l)$, $P(I)=exists nu in NN \ : \ forall n in NN, n ge nu \ {x_n} in I $
la negazione dovrebbe essere $exists I in I(l)$ non $P(I)$
dove non $P(I) \leftrightarrow forall nu in NN, exists n in NN, nge nu $ per cui ${x_n}notin I$
allora
$lim x_n \ne l \leftrightarrow exists I in I(l) \ : forall nu in NN, exists n in NN, n ge nu$ per cui $ {x_n} notin I $
Finalmente.
E quindi questa dimostrazione come va a finire?
E quindi questa dimostrazione come va a finire?
Perfetto !
Quindi, fissato tale intorno $I$, e dal fatto che le successioni $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $ sono successioni crescenti, esiste un certo $ bar{k}_j $, dove $ j=1,...,m $, tale che $ n_k^j ge nu $ per ogni $ k gebar{k}_j $.
Pertanto per ogni $ k gebar{k}_j $ si ha $ n_k^j ge nu $, quindi per tali valori, segue che \(\displaystyle {x_{n_k^j}} \nsubseteq I \), questo è assurdo per ipotesi.
Cosi?
Quindi, fissato tale intorno $I$, e dal fatto che le successioni $ n_k^1, n_k^2,...,n_k^m $ sono successioni crescenti, esiste un certo $ bar{k}_j $, dove $ j=1,...,m $, tale che $ n_k^j ge nu $ per ogni $ k gebar{k}_j $.
Pertanto per ogni $ k gebar{k}_j $ si ha $ n_k^j ge nu $, quindi per tali valori, segue che \(\displaystyle {x_{n_k^j}} \nsubseteq I \), questo è assurdo per ipotesi.
Cosi?
No.
ok
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