Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni

[qwerty901]

Il criterio di Cauchy è importante per conoscere se una successione $a_n$ ha limite, anche senza sapere quale sia il valore a cui converge.
Una successione $a_n$ è di Cauchy se
$AA epsilon >0, EE barn in NN t.c. AA n,m > barn ,|a_m - a_n|< epsilon$

Adesso io mi chiedo : Come funziona nella pratica?
Sapreste farmi per favore qualche esempio?

Grazie

[indovina]

Ecco stavo per aprire un post a parte.
Sto ripetendo le successioni di Cauchy e io ho questa dimostrazione.
Vorrei vedere se va bene con la vostra.

Presa una successione $a_n$ convergente ad $l$
$L=lim (a_n)$ per $n->+oo$ allora c'è un $epsilon>0$ esiste un $v$ per cui $n>v$
succede $|(a_n)-l|<(epsilon)/2$

$epsilon$ è arbitrario, basta che sia positivo.

Dimostrazione:
presi $p$ e $q$ tale che sia $q>v$
$|(a_p)-(a_q)|!<|(a_p)-l+l-(a_q)|$
per la diseguaglianza triangolare si ha:
$|(a_p)-l|(l-(a_q)|<(epsilon/2)+(epsilon/2)$

quindi la proprietà di Cauchy è:
$|(a_p)-(a_q)| se prendo una successione che verifica ciò, la successione si chiama di Cauchy.
quindi si ha che:
presa una successione convergente $->$ la successione $a_n$ è di Cauchy (mi dice solo che tipo di successione è)

questa è la dimostrazione presa dai miei appunti, non se se va bene e se si deve aggiungere o correggere qualcosa.
va bene secondo voi?

[qwerty901]

sistemo un pò la tua dimostrazione:

Presa una successione $a_n$ convergente ad $l$
$L=lim (a_n)$ per $n->+oo$ allora c'è un $epsilon>0$ esiste un $v$ per cui $n>v$
succede $|(a_n)-l|<(epsilon)$

$epsilon$ è arbitrario, basta che sia positivo.

Dimostrazione:
presi $p$ e $q$ tale che sia $q>v$
$|(a_p)-(a_q)|<|(a_p)-l+l-(a_q)|$
per la diseguaglianza triangolare si ha:
$|(a_p)-l|+|l-(a_q)|<(epsilon/2)+(epsilon/2)$

quindi la proprietà di Cauchy è:
$|(a_p)-(a_q)| se prendo una successione che verifica ciò, la successione si chiama di Cauchy.
quindi si ha che:
presa una successione convergente $->$ la successione $a_n$ è di Cauchy (mi dice solo che tipo di successione è)


Ma questa è la dimostrazione che presa una successione convergente $->$ la successione $a_n$ è di Cauchy.

Ma ti manca di dimostrare il viceversa, cioè :
presa una successione di Cauchy $->$ la successione è convergente

[indovina]

Grazie per la sistemata alla dimostrazione.
Non so che dire, questi sono gli appunti, e non so come dimostrare il contrario.

[dissonance]

Sempre la stessa storia, clever. Scandisci bene ipotesi e tesi, non si capisce proprio che cosa devi dimostrare. Prova a seguire lo stesso schema che ho seguito io qui (ora non dovrebbero più esserci errori!).

[qwerty901]

"clever":Grazie per la sistemata alla dimostrazione.
Non so che dire, questi sono gli appunti, e non so come dimostrare il contrario.

Dovresti dimostrare come prima cosa che una successione di cauchy è limitata usando la definizione di limite in corrispondenza di $epsilon = 1$
dopo aver visto che è limitata saprai per un noto teorema che la successione ammette una sottosuccessione convergente ad un valore $l$. Mostri che anche la successione tende a quel valore ed hai finito.
Comunque io te l'ho spiegata a parole...scriverlo con le formule è un pò lunghetto...ma sul tuo libro ci dovrebbe essere.

[indovina]

andrebbe bene tipo:
Ipotesi:
Ho una successione di Cauchy, dunque limitata.
Tesi:
Voglio dimostrare che se prendo una successione di Cauchy, la successione è convergente.

$epsilon=1$

esiste un $v$ tale che: $n>v$

presa una successione di Cauchy, essa è limitata in questo modo:

$|(a_n)-l|<1$

$l-1
Questa successione $a_n$ è limitata superiormente e inferiormente, dunque limitata.

Da questa successione, si può prendere una sottosuccessione per il teorema di Bolzano-weirstrass, che dice che se una successione di numeri reali è contenuta in un intervallo limitato del tipo $[a,b]$ possiede una sottosuccessione convergente in $[a,b]$.

Il nostro intervallo chiuso e limitato è proprio $[l-1;l+1]$
Quindi, la sottosuccessione è convergente e risulta essere convergente proprio per $l$.

Va bene così?

[qwerty901]

"clever":andrebbe bene tipo:
Ipotesi:
Ho una successione di Cauchy, dunque limitata.
Tesi:
Voglio dimostrare che se prendo una successione di Cauchy, la successione è convergente.

$epsilon=1$

esiste un $v$ tale che: $n>v$

presa una successione di Cauchy, essa è limitata in questo modo:

$|(a_n)-l|<1$

$l-1
Questa successione $a_n$ è limitata superiormente e inferiormente, dunque limitata.

Da questa successione, si può prendere una sottosuccessione per il teorema di Bolzano-weirstrass, che dice che se una successione di numeri reali è contenuta in un intervallo limitato del tipo $[a,b]$ possiede una sottosuccessione convergente in $[a,b]$.

Il nostro intervallo chiuso e limitato è proprio $[l-1;l+1]$
Quindi, la sottosuccessione è convergente e risulta essere convergente proprio per $l$.

Va bene così?

direi proprio di no, domani se ho tempo scrivo la dimostrazione.

[indovina]

eh, grazie. Mi salveresti

[indovina]

"dissonance":[quote="Luca.Lussardi"]Veramente la dimostrazione del fatto che se una serie numerica converge allora il termine generale è infinitesimo discende solo dalla definizione di convergenza di una serie...

Certo, si può dimostrare per entrambe le vie, in effetti è più che altro questione di gusti.
@qwerty: Per intenderci la dimostrazione che suggerivo io è questa:

Proposizione Una serie numerica è convergente solo se il proprio termine generale è infinitesimo.

dimostrazione:
La serie di numeri reali [size=75](*)[/size] $sum a_n$ è convergente se e solo se la successione $S_n$ delle somme parziali verifica il criterio di Cauchy, ovvero

$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n, m >=nu,\ |S_m-S_n| < epsilon$;

che, per $n>nu$ e $m=n+1$, si riduce a


l'ho ripetuto proprio oggi.
Condizione necessaria, ma non sufficiente per dire se la serie di termine generale $a_n$ è convergente è che il termine $a_n$ sia infinitesimo per $n->+oo$.
Cauchy praticamente è la conferma per i nostri dubbi per la convergenza di una serie.
Il criterio di cauchy è una condizione 'necessaria e sufficiente'.


$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n>=nu,\ |a_{n+1}| < epsilon$;

ovvero $a_n \to 0$. ////

Luca invece suggerisce di applicare la definizione, una possibile via è questa:

dimostrazione (2):
Con le stesse notazioni della dimostrazione precedente, per ipotesi $S_n$ è convergente. Osserviamo che $\forall n\inNN$ si ha

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$;

e il secondo membro di questa uguaglianza è infinitesimo, perché essendo $S_n$ una successione convergente anche $S_{n+1}$ lo è ed esse convergono allo stesso limite. ////

___________________
[size=75](*)[/size] Ma vanno benissimo anche i numeri complessi. La dimostrazione è formalmente identica.[/quote]