Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni

[qwerty901]

Il criterio di Cauchy è importante per conoscere se una successione $a_n$ ha limite, anche senza sapere quale sia il valore a cui converge.
Una successione $a_n$ è di Cauchy se
$AA epsilon >0, EE barn in NN t.c. AA n,m > barn ,|a_m - a_n|< epsilon$

Adesso io mi chiedo : Come funziona nella pratica?
Sapreste farmi per favore qualche esempio?

Grazie

[Boris1]

A volte quando ci sono i $AA$, queste definizioni sono ottime per negare, più che per affermare. Infatti è molto più facile trovare un unico caso per il quale la definizione non è verificata, piuttosto che verificare infiniti casi.

Es:
$z^n, z in CC$

Per $|z|=1, z!=1$, verifichiamo che la successione non ha limite sfruttando il criterio di Cauchy:
infatti $|z^(n+1)-z^n|=|z^n||z-1|=|z-1|>0$
e quindi, per ogni $z$ di lunghezza unitaria diverso da uno, riusciamo sempre a trovare un $\epsilon$ abbastanza piccolo da non riuscire a maggiorare la successione in un intorno dell'infinito.

[Fioravante Patrone1]

Esempio di "a cosa serve": il teorema di punto fisso per contrazioni.


Se hai una contrazione da $RR$ in $RR$, puoi provare che ha un punto fisso.

Sia $f:RR -> RR$ una contrazione, cioè esiste $K \in [0,1[$ t.c $|f(x_1)-f(x_2)| \le K |x_1 - x_2|$ per ogni $x_1, x_2 \in RR$.

Si dimostra che, scelto a piacere $\bar x \in RR$, la successione definita per ricorrenza così:

$x_0 = \bar x$
$x_{n+1} = f(x_n)$ per ogni $n \ge 0$

è di Cauchy. Quindi converge. Una volta che si sa questo, è facile provare che il suo limite è un punto fisso, ovvero soddisfa la condizione $f(x) = x$.


NB: non è necessario lavorare in $RR$. Il teorema, e la dimostrazione, fungono su un qualsiasi spazio metrico completo (cioè uno spazio metrico nel quale le successioni di Cauchy sono convergenti... ).

[qwerty901]

ok grazie. Se ho un problema adesso sul Criterio di Cauchy ma per le serie...devo aprire un altro topic?

[dissonance]

Proprio no. Anzi, mi hai anticipato: una conseguenza notevolissima del criterio di Cauchy è la famosa condizione necessaria alla convergenza: se una serie è convergente allora il termine generale è infinitesimo.

[Luca.Lussardi]

Veramente la dimostrazione del fatto che se una serie numerica converge allora il termine generale è infinitesimo discende solo dalla definizione di convergenza di una serie...

[qwerty901]

"dissonance":Proprio no. Anzi, mi hai anticipato: una conseguenza notevolissima del criterio di Cauchy è la famosa condizione necessaria alla convergenza: se una serie è convergente allora il termine generale è infinitesimo.

Prima parlavo di successioni, ora di serie.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie $sum a_n$ sia convergente è che, fissato $epsilon >0$, si possa determinare un indice $N$ tale che , $AAp >= N$ e $AAq >=0$ si abbia

$| a_p + a_(p+1) + ... + a_(p+q) | < epsilon $

E fino a qui ci sono...

Poi il libro (Pagani - Salsa) fa un esempio che non mi è molto chiaro:

Consideriamo la serie armonica:

$sum_(n=1)^ infty frac{1}{n} = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n+... $

Per un certo n, consideriamo le due somme parziali $s_n$ e $s_(2n)$ : (da qui in poi non capisco...)

$s_(2n) - s_n = frac{1}{n+1} + frac{1}{n+2} + .... + 1/(2n) $

Poichè ogni addendo nell'espressione precedente è maggiore o uguale a $1/(2n)$ , risulta:

$ s_(2n) - s_n >= n * 1/(2n)= 1/2 $

potendosi prendere n arbitrariamente grande, il criterio di Cauchy non è soddisfatto e perciò la serie armonica non converge.

Poi parla della condizione (a me nota) di cui parlavi tu dissonance:
Se nella disequazione:

$| a_p + a_(p+1) + ... + a_(p+q) | < epsilon $

poniamo $q=0$ otteniamo una condizione solo necessaria di convergenza.
Infatti
$|a_p| < epsilon$ $ AA p >= N$

[dissonance]

"Luca.Lussardi":Veramente la dimostrazione del fatto che se una serie numerica converge allora il termine generale è infinitesimo discende solo dalla definizione di convergenza di una serie...

Certo, si può dimostrare per entrambe le vie, in effetti è più che altro questione di gusti.
@qwerty: Per intenderci la dimostrazione che suggerivo io è questa:

Proposizione Una serie numerica è convergente solo se il proprio termine generale è infinitesimo.

dimostrazione:
La serie di numeri reali [size=75](*)[/size] $sum a_n$ è convergente se e solo se la successione $S_n$ delle somme parziali verifica il criterio di Cauchy, ovvero

$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n, m >=nu,\ |S_m-S_n| < epsilon$;

che, per $n>nu$ e $m=n+1$, si riduce a

$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n>=nu,\ |a_{n+1}| < epsilon$;

ovvero $a_n \to 0$. ////

Luca invece suggerisce di applicare la definizione, una possibile via è questa:

dimostrazione (2):
Con le stesse notazioni della dimostrazione precedente, per ipotesi $S_n$ è convergente. Osserviamo che $\forall n\inNN$ si ha

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$;

e il secondo membro di questa uguaglianza è infinitesimo, perché essendo $S_n$ una successione convergente anche $S_{n+1}$ lo è ed esse convergono allo stesso limite. ////

___________________
[size=75](*)[/size] Ma vanno benissimo anche i numeri complessi. La dimostrazione è formalmente identica.

[Steven11]

"dissonance":
Proposizione Una serie numerica è convergente se e solo se il proprio termine generale è infinitesimo.

Se e solo se??

[dissonance]

[Fioravante Patrone1]

AL ROGO!!!

[qwerty901]

"dissonance":[quote="Luca.Lussardi"]Veramente la dimostrazione del fatto che se una serie numerica converge allora il termine generale è infinitesimo discende solo dalla definizione di convergenza di una serie...

Certo, si può dimostrare per entrambe le vie, in effetti è più che altro questione di gusti.
@qwerty: Per intenderci la dimostrazione che suggerivo io è questa:

Proposizione Una serie numerica è convergente solo se il proprio termine generale è infinitesimo.

dimostrazione:
La serie di numeri reali [size=75](*)[/size] $sum a_n$ è convergente se e solo se la successione $S_n$ delle somme parziali verifica il criterio di Cauchy, ovvero

$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n, m >=nu,\ |S_m-S_n| < epsilon$;

che, per $n>nu$ e $m=n+1$, si riduce a

$\forall epsilon >0,\ \exists nu \in NN\ \text{t.c.}\ \forall n>=nu,\ |a_{n+1}| < epsilon$;

ovvero $a_n \to 0$. ////

Luca invece suggerisce di applicare la definizione, una possibile via è questa:

dimostrazione (2):
Con le stesse notazioni della dimostrazione precedente, per ipotesi è $S_n \to 0$. Osserviamo che $\forall n\inNN$ si ha

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}$;

e il secondo membro di questa uguaglianza è infinitesimo, perché essendo $S_n$ una successione convergente anche $S_{n+1}$ lo è ed esse convergono allo stesso limite. ////

___________________
[size=75](*)[/size] Ma vanno benissimo anche i numeri complessi. La dimostrazione è formalmente identica.[/quote]

Ok...ti ringrazio per la risposta dissonance

Ma (scusa se forse chiedo tanto) saresti disposto a spiegarmi l'esempio che ho citato sopra?
Non capisco i termini della somma da dove li tira fuori...

[dissonance]

@Fioravante: E ho trovato un altro errore ancora...

Con le stesse notazioni della dimostrazione precedente, per ipotesi è Sn→0.

[dissonance]

@qwerty: Vedi un po' se questo vecchio messaggio ti aiuta https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#349739

[qwerty901]

"dissonance":@Fioravante: E ho trovato un altro errore ancora...

Con le stesse notazioni della dimostrazione precedente, per ipotesi è Sn→0.

Non dovrebbe essere $s_n ->s$, cioè convergente?

comunque la 2a dimostrazione che hai fatto tu...
io l'ho fatta simile alla tua solo che al posto di fare
$a_(n+1) - a_n = 0$

ho fatto :
$a_n - a_(n-1) = 0 $

Dovrebbe valere lo stesso no?

[dissonance]

Direi di si.

[qwerty901]

Nel link che mi hai dato, pure quell'utente non riusciva a capire i passaggi effettuati ( e infatti avevi risposto: "comunque appena posso cercherò di spiegarti meglio" )
Adesso puoi?

[dissonance]

Vabbé. Te lo spiego un po' a senso, la formalizzazione la trovi scritta egregiamente sul tuo libro.
Perché si verifichi il criterio di Cauchy, devi avere $|S_n-S_m|
Ora facendo il conto risulta che $|S_{2n}-S_{n}|=1/{n+1}+...+1/{2n}$. Siccome ognuno degli $n$ addendi è maggiore o uguale a $1/(2n)$, ottieni la disuguaglianza

$|S_{2n}-S_{n}|>=n*1/(2n)=1/2$;

che dimostra come sia impossibile aversi $|S_{2n}-S_{n}|< epsilon$ per ogni $epsilon>0$.

[qwerty901]

"dissonance"::-D
Vabbé. Te lo spiego un po' a senso, la formalizzazione la trovi scritta egregiamente sul tuo libro.
Perché si verifichi il criterio di Cauchy, devi avere $|S_n-S_m|

Pacifico come Obama

"dissonance":
Ora facendo il conto risulta che $|S_{2n}-S_{n}|=1/{n+1}+...+1/{2n}$.

Ecco non mi torna il conto... E' qui che casca l'asino...

"dissonance": Siccome ognuno degli $n$ addendi è maggiore o uguale a $1/(2n)$, ottieni la disuguaglianza

$|S_{2n}-S_{n}|>=n*1/(2n)=1/2$;

che dimostra come sia impossibile aversi $|S_{2n}-S_{n}|< epsilon$ per ogni $epsilon>0$.

Questi ultimi passaggi li ho capiti ma se non capisco i conti di prima , è fatica sprecata.

[dissonance]

Non hai capito proprio la parte più banale. Scrivi per esteso le somme parziali:

$S_{2n}=1+1/2+...+1/n + 1/{n+1}+...+1/{2n}$;
$S_n=1+1/2+...+1/n$.

Mi rifiuto di darti altri suggerimenti.

[qwerty901]

"dissonance":Non hai capito proprio la parte più banale. Scrivi per esteso le somme parziali:

$S_{2n}=1+1/2+...+1/n + 1/{n+1}+...+1/{2n}$;
$S_n=1+1/2+...+1/n$.

Mi rifiuto di darti altri suggerimenti.

$S_{2n}=1+1/2+...+1/n + 1/{n+1}+1/{n+2}+1/{n+3}+..+1/{n + n}$

quindi
$S_{2n} - S_n = 1/{n+1}+...+1/{2n}$
che imbecille che sono!
ti concedo di farmi questo --->