Criterio confronto asintotico

[zio_mangrovia]

Data la serie, determinarne il carattere, utilizzando il criterio del confronto asintotico:

$\sum_{n=1}^\infty (1/n-sin(1/n))$

mi aiutate a trovare una valore tale per cui possa applicare questo criterio?

[21zuclo]

"zio_mangrovia":Data la serie, determinarne il carattere, utilizzando il criterio del confronto asintotico:

$\sum_{n=1}^\infty (1/n-sin(1/n))$

mi aiutate a trovare una valore tale per cui possa applicare questo criterio?

Ti do solo un suggerimento.. dovresti utilizzare lo sviluppo di McLaurin della funzione $\sin(x_n)$

sia $x_n$ una successione che per $n\to +\infty$ si ha $x_n\to 0$

allora $\sin(x_n)=x_n-((x_n)^3)/(3!)+o((x_n)^(2n+2))$

nel tuo caso $x_n=1/n$

ora continua tu..

[zio_mangrovia]

Mi sorge un dubbio... potrei scrivere semplicemente $o(x^3)$ invece di $o(x^(2n+2))$

Se fosse un si potrei proseguire in questo modo?

$sin(x_n)=x_n-((x_n)^3)/(3!)+o(x_n^3)$

quindi tornando al termine generale della serie:

$1/x-sin(1/x)=1/x-(1/x-1/(3!x^3)+o(1/x^3))=1/(3!x^3)+o(1/x^3)$

Sono corretti questi passaggi?
Grazie

[21zuclo]

"zio_mangrovia":

$1/x-sin(1/x)=1/x-(1/x-1/(3!x^3)+o(1/x^3))=1/(3!x^3)+o(1/x^3)$

Sono corretti questi passaggi?
Grazie

sì l'unica cosa è che tu hai scritto $1/x$ quando è invece $1/n$

quindi, chiamiamo il termine generale della serie $a_n=1/n-\sin(1/n)$

$\lim_(n\to +\infty) a_n= \lim_(n\to +\infty) (1)/(3! n^3)+o((1)/(n^3))$

Quindi ora.. concludi tu..

[zio_mangrovia]

A questo punto, utilizzando il criterio del confronto asintotico, potrei confrontarlo con il termine generale della serie $1/x^3$ che è convergente.
Quindi...

$\lim_{x \to \infty}(1/(3!x^3)+o(1/x^3))/(1/x^3)$=$\lim_{x \to \infty}(1/(3!x^3)+o(1/x^3))x^3$=$\lim_{x \to \infty}1/(3!)+o(1)$ e quindi il limite vale $1/(3!)$ pertanto la serie di partenza è convergente.

Ma ho forti dubbi sul risultato di o piccolo che a mio avviso dovrebbe sparire perché non ha senso $o(1)$, corretto?

[21zuclo]

"zio_mangrovia":A questo punto, utilizzando il criterio del confronto asintotico, potrei confrontarlo con il termine generale della serie $1/x^3$ che è convergente.
Quindi...

$\lim_{x \to \infty}(1/(3!x^3)+o(1/x^3))/(1/x^3)$=$\lim_{x \to \infty}(1/(3!x^3)+o(1/x^3))x^3$=$\lim_{x \to \infty}1/(3!)+o(1)$ e quindi il limite vale $1/(3!)$ pertanto la serie di partenza è convergente.

Ma ho forti dubbi sul risultato di o piccolo che a mio avviso dovrebbe sparire perché non ha senso $o(1)$, corretto?

No allora.. ci sono un po' di cose da mettere a posto..

fino a qua mi pare di aver capito che ci sei..
$ \lim_(n\to +\infty) a_n=\lim_(n\to +\infty)(1)/(3! n^3)+o((1)/(n^3)) $

ora il passaggio che si fa è questo.. \( a_n \sim \) $ (1)/(3! n^3) $ per $n\to +\infty$

quindi concludi che la serie $ (1)/(3!) sum_(n = 1)^(+\infty) (1)/(n^3) $ CONVERGE!..

il termine $(1)/(3!)$ è una costante.. la puoi anche togliere..
in definitiva ti rimane la serie $ \sum_(1)^(+\infty) (1)/(n^3 ) $ che è CONVERGENTE

Ora è chiaro?

[zio_mangrovia]

chiarissimo e ti ringrazio, unico neo è che nel testo chiedeva di utilizzare il criterio del confronto asintotico per dimostrarlo.

[21zuclo]

"zio_mangrovia":chiarissimo e ti ringrazio, unico neo è che nel testo chiedeva di utilizzare il criterio del confronto asintotico per dimostrarlo.

ma l'ho fatto..

è questo

"21zuclo":

ora il passaggio che si fa è questo.. \( a_n \sim \) $ (1)/(3! n^3) $ per $n\to +\infty$

quindi concludi che la serie $ (1)/(3!) sum_(n = 1)^(+\infty) (1)/(n^3) $ CONVERGE!..