Costruzione originale integrali di linea di prima specie
Sui libri di Analisi che ho consultato l'integrale di linea di prima specie viene definito in termini di integrali di Riemann. Credo che ciò è stato fatto per motivi di semplicità. Tuttavia volevo sapere se da qualche parte l'integrale di linea di prima specie è presentato attraverso la sua costruzione principale, e non quella dell'integrale di Riemann. Conoscete qualcosa? Spero di essermi spiegato, grazie!
Risposte
Intendi chiedere se esiste una definizione "intrinseca" per un integrale del tipo:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s\; \text{?}
\]
Cioè, vuoi sapere se esiste una costruzione di questo ipo di integrali in cui sia un teorema l'uguaglianza:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s = \int_a^b f(\phi (t))\ |\phi^\prime (t)|\ \text{d} t
\]
valida per ogni parametrizzazione \(\phi:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) della curva orientata \(+\gamma\)?
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s\; \text{?}
\]
Cioè, vuoi sapere se esiste una costruzione di questo ipo di integrali in cui sia un teorema l'uguaglianza:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s = \int_a^b f(\phi (t))\ |\phi^\prime (t)|\ \text{d} t
\]
valida per ogni parametrizzazione \(\phi:[a,b]\to \mathbb{R}^n\) della curva orientata \(+\gamma\)?
Esattamente, è quello che chiedo.
Beh, la costruzione è esattamente la stessa che si fa per l'integrale di Riemann, solo che, al posto di una decomposizione dell'intervallo d'integrazione, si sostituisce una decomposizione della curva, i.e. un insieme finito di punti \(P_0,P_1,\ldots ,P_N,P_{N+1}\) tali che \(P_0\) è il primo estremo della curva, \(P_{N+1}\) è il secondo estremo, e \(P_n\prec P_{n+1}\) per ogni \(n=0,1,\ldots ,N\) (qui \(P_n\prec P_{n+1}\) significa che \(P_n\) precede \(P_{n+1}\) nell'orientamento scelto su \(\gamma\)).
Ovviamente, quando si formano le somme di Riemann superiori ed inferiori, esse saranno del tipo:
\[
S(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \sup_{P_nP_{n+1}} f\right)\ |P_{n+1}-P_n| \qquad \text{e} \qquad s(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \inf_{P_nP_{n+1}} f\right)\ |P_{n+1}-P_n|
\]
in cui si intende che gli estremi superiore ed inferiore sono presi lungo gli archi di \(\gamma\) d'estremi \(P_n\) e \(P_{n+1}\).
Chiaramente le due classi:
\[
\sigma (f) = \{s(f;D),\ D \text{ decomposizione di } +\gamma\} \qquad \text{e}\qquad \Sigma (f) = \{S(f;D),\ D \text{ decomposizione di } +\gamma\}
\]
sono separate e \(\sigma (f)\) è la classe dei minoranti; pertanto si possono definire gli integrali superiore ed inferiore di \(f\), ponendo:
\[
\overline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s := \inf \Sigma (f) \qquad \text{e} \qquad \underline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s := \sup \sigma (f)\; .
\]
Se queste due quantità coincidono, i.e. se le due classi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono contigue, allora la \(f\) è integrabile su \(+\gamma\) e si pone:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s = \overline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s =\underline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s\; .
\]
Fatto ciò, si riesce a provare, se non ricordo male, che se \(+\gamma\) è una curva parametrizzata regolare (ma forse basta rettificabile), allora vale l'uguaglianza:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s =\int_a^b f(\phi(t))\ |\phi^\prime (t)|\ \text{d} s\; .
\]
Ovviamente, quando si formano le somme di Riemann superiori ed inferiori, esse saranno del tipo:
\[
S(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \sup_{P_nP_{n+1}} f\right)\ |P_{n+1}-P_n| \qquad \text{e} \qquad s(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \inf_{P_nP_{n+1}} f\right)\ |P_{n+1}-P_n|
\]
in cui si intende che gli estremi superiore ed inferiore sono presi lungo gli archi di \(\gamma\) d'estremi \(P_n\) e \(P_{n+1}\).
Chiaramente le due classi:
\[
\sigma (f) = \{s(f;D),\ D \text{ decomposizione di } +\gamma\} \qquad \text{e}\qquad \Sigma (f) = \{S(f;D),\ D \text{ decomposizione di } +\gamma\}
\]
sono separate e \(\sigma (f)\) è la classe dei minoranti; pertanto si possono definire gli integrali superiore ed inferiore di \(f\), ponendo:
\[
\overline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s := \inf \Sigma (f) \qquad \text{e} \qquad \underline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s := \sup \sigma (f)\; .
\]
Se queste due quantità coincidono, i.e. se le due classi \(\sigma (f)\) e \(\Sigma (f)\) sono contigue, allora la \(f\) è integrabile su \(+\gamma\) e si pone:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s = \overline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s =\underline{\int_{+\gamma}} f\ \text{d} s\; .
\]
Fatto ciò, si riesce a provare, se non ricordo male, che se \(+\gamma\) è una curva parametrizzata regolare (ma forse basta rettificabile), allora vale l'uguaglianza:
\[
\int_{+\gamma} f\ \text{d} s =\int_a^b f(\phi(t))\ |\phi^\prime (t)|\ \text{d} s\; .
\]
Perfetto. Ho due domande:
1) perchè i libri di analisi ingannano lo studente presentando quell'uguaglianza come una definizione e non come un teorema (lo stesso discorso vale per gli integrali di superficie, che sono presentati in termini di integrali doppi)?
2) la costruzione formale da te scritta relativamente agli integrali di linea di prima specie è stata storicamente elaborata per risolvere il problema del calcolo dell'area che il grafico (a forma di linea curva e non di superficie) di una funzione di due variabili forma con il suo dominio?
Ti ringrazio (dovremmo fare quattro chiacchiere io e te, ora mi sento molto migliorato).
1) perchè i libri di analisi ingannano lo studente presentando quell'uguaglianza come una definizione e non come un teorema (lo stesso discorso vale per gli integrali di superficie, che sono presentati in termini di integrali doppi)?
2) la costruzione formale da te scritta relativamente agli integrali di linea di prima specie è stata storicamente elaborata per risolvere il problema del calcolo dell'area che il grafico (a forma di linea curva e non di superficie) di una funzione di due variabili forma con il suo dominio?
Ti ringrazio (dovremmo fare quattro chiacchiere io e te, ora mi sento molto migliorato).
"lisdap":
1) perchè i libri di analisi ingannano lo studente presentando quell'uguaglianza come una definizione e non come un teorema (lo stesso discorso vale per gli integrali di superficie, che sono presentati in termini di integrali doppi)?
Nessun inganno.
Rientra nelle libertà del Matematico scegliere cosa assumere per definizione/assioma e cosa dimostrare a partire da tali assunzioni (e.g., vedi la differenza di approccio tra la costruzione di \(\mathbb{R}\), descritta sommariamente qui, e la presentazione assiomatica di \(\mathbb{R}\); la discussione sulla dualità proprietà/assioma circa la completezza, avvenuta qui e seguenti).
Ogni autore sviluppa la teoria secondo i propri gusti, nella maniera che sia più chiara possibile per il terget dei suoi lettori.
"lisdap":
2) la costruzione formale da te scritta relativamente agli integrali di linea di prima specie è stata storicamente elaborata per risolvere il problema del calcolo dell'area che il grafico (a forma di linea curva e non di superficie) di una funzione di due variabili forma con il suo dominio?
Sulla questione specifica degli integrali di linea, non so risponderti.
Credo siano stati "inventati" per generalizzare certi procedimenti di Newton che consentivano il calcolo delle lunghezze o il calcolo del lovoro dei campi di forza, ma non ne sono sicuro... Mi documenterò e ti farò sapere.
Ok. Io credo che il problema del calcolo del lavoro dei campi di forza ha dato origine all'integrale di linea di seconda specie; il calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie ha dato origine (secondo me) agli integrali di superficie. Sei d'accordo?
Correggo parzialmente ciò che ho detto più sopra circa la definizione "intrinseca" di integrale curvilineo.
Nelle somme che definiscono gli integrali superiore ed inferiore, al posto della distanza \(|P_{n+1}-P_n|\) (che coincide con lunghezza del segmento \(P_n\) d'estremi \(P_{n+1}\)) ci va la quantità \(\ell (P_n,P_{n+1})\) ossia la lunghezza dell'arco su \(\gamma\) di estremi \(P_n\) e \(P_{n+1}\): quindi:
\[
S(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \sup_{P_nP_{n+1}} f\right)\ \ell(P_n, P_{n+1}) \qquad \text{e} \qquad s(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \inf_{P_nP_{n+1}} f\right)\ \ell (P_n,P_{n+1})\; .
\]
Ricordo che, per una curva \(\gamma\) qualsiasi, la lunghezza \(\ell (A,B)\) dell'arco d'estremi \(A\) e \(B\) su \(\gamma\) è definita come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte nell'arco \(AB\).
Ne consegue che, per consentire la definizione delle somme integrali superiore e d inferiore, la curva fissata \(\gamma\) deve essere rettificabile, ossia ha da avere lunghezza finita.
Nelle somme che definiscono gli integrali superiore ed inferiore, al posto della distanza \(|P_{n+1}-P_n|\) (che coincide con lunghezza del segmento \(P_n\) d'estremi \(P_{n+1}\)) ci va la quantità \(\ell (P_n,P_{n+1})\) ossia la lunghezza dell'arco su \(\gamma\) di estremi \(P_n\) e \(P_{n+1}\): quindi:
\[
S(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \sup_{P_nP_{n+1}} f\right)\ \ell(P_n, P_{n+1}) \qquad \text{e} \qquad s(f;D) := \sum_{n=0}^N \left( \inf_{P_nP_{n+1}} f\right)\ \ell (P_n,P_{n+1})\; .
\]
Ricordo che, per una curva \(\gamma\) qualsiasi, la lunghezza \(\ell (A,B)\) dell'arco d'estremi \(A\) e \(B\) su \(\gamma\) è definita come estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte nell'arco \(AB\).
Ne consegue che, per consentire la definizione delle somme integrali superiore e d inferiore, la curva fissata \(\gamma\) deve essere rettificabile, ossia ha da avere lunghezza finita.
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