Costruzione di $\exp$ e $\ln$: un passaggio poco chiaro

[Plepp]

Salve ragazzi,
sto studiando una costruzione della funzione esponenziale che parte dal considerare la funzione $f:RR^+\to RR^+$ definita ponendo $f(x):=1/x$ per ogni $x>0$. Si considera dunque l'unica primitiva $F:RR^+\to I: =F(RR^+)$ (che verrà in seguito ridenominata $\ln$) di $f$ che passa per il punto $(1,0)$, se ne studiano le proprietà, e dopo aver dedotto, tra l'altro, che $F$ è bigettiva, si passa a studiare la funzione $E:=F^{-1}:I\to RR^+$ (la futura $\exp$). Arriva quindi il momento di dover provare che $I\equiv RR$. Si suppone $I=(a,b)$ e si osserva innanzitutto che
\[\lim_{x\to b}E(x)=\sup_{x\in I}E(x)=+\infty\]
dal momento che (come si è provato) $E$ è strettamente crescente. Si suppone poi, per assurdo, $b<+\infty$ e si osserva che si ha, essendo $y\in I$,
\[\lim_{x\to (b-y)}E(x+y)=\lim_{z\to b}E(z)= +\infty\]
e
\[\lim_{x\to (b-y)}E(x)E(y)=[E\text{ e' contina}]=E(b-y)E(y)\in\mathbb{R}\]
D'altra parte si è provato che se $x,y\in I$ sono tali che $x+y\in I$, allora $E(x+y)=E(x)E(y)$, da cui l'assurdo (si contraddice l'unicità del limite).

Il mio "problema". Negli appunti che ho preso a lezione non si fa cenno a "come sia fatto" questo $y$...insomma, non posso prendere un $y$ a caso in $I$ e andare a calcolare $E(x+y)$ quando $x\to (b-y)$. Quale condizione c'è da imporre su $y$ affinché abbia senso calcolare quel limite?

[gugo82]

A me pare più immediato notare che \(F(x) :=\int_1^x \frac{\text{d} t}{t}\) ha dominio \(]0,+\infty[\) ed immagine \(\mathbb{R}\), quindi \(E=F^{-1}\) ha dominio \(\mathbb{R}\) ed immagine \(]0,+\infty[\).

Che l'immagine di \(F\) sia tutto \(\mathbb{R}\) è molto semplice da mostrare: infatti \(F\) è continua, strettamente crescente e si ha \(\lim_{x\to +\infty} F(x) =+\infty\) e \(\lim_{x\to 0^+} F(x)=-\infty\), quindi essa assume come valore ogni numero reale.

[Plepp]

Senza dubbio Gugo, ma non abbiamo ancora terminato la parte sulle derivate, quindi sarebbe stato difficile per il mio professore parlare addirittura di funzioni integrali Supponendo di poter procedere solo come ha fatto lui, tu come risolveresti il mio "problema"? (insomma, è questo discorso della $y$ che mi interessa )

[gugo82]

Mmm... Allora non sono certo di aver afferrato il problema.

A quanto ho capito, voi non usate ancora gli integrali definiti (perché state ancora parlando di derivabilità e gli integrali non sapete dove stanno di casa...); quindi al posto di caratterizzare \(F\) mediante l'assegnazione che ho usato in precedenza, i.e.:
\[
F(x) := \int_0^x \frac{\text{d} t}{t} \qquad \text{per } x>0\; ,
\]
vi è stato semplicemente detto a parole "chiamiamo \(F\) l'unica primitiva di \(f(x):=1/x\) definita sull'intervallo \(]0,+\infty[\) tale che \(F(1)=0\)". Fin qui ci sono... Ma mi viene spontanea una domanda: chi vi assicura che una funzione siffatta esiste davvero?
Avete per caso provato un teorema che vi dice che tutte le funzioni continue in un intervallo hanno qualche primitiva?

[Kashaman]

"gugo82":Mmm... Allora non sono certo di aver afferrato il problema.

A quanto ho capito, voi non usate ancora gli integrali definiti (perché state ancora parlando di derivabilità e gli integrali non sapete dove stanno di casa...); quindi al posto di caratterizzare \(F\) mediante l'assegnazione che ho usato in precedenza, i.e.:
\[
F(x) := \int_0^x \frac{\text{d} t}{t} \qquad \text{per } x>0\; ,
\]
vi è stato semplicemente detto a parole "chiamiamo \(F\) l'unica primitiva di \(f(x):=1/x\) definita sull'intervallo \(]0,+\infty[\) tale che \(F(1)=0\)". Fin qui ci sono... Ma mi viene spontanea una domanda: chi vi assicura che una funzione siffatta esiste davvero?
Avete per caso provato un teorema che vi dice che tutte le funzioni continue in un intervallo hanno qualche primitiva?

Ciao gugo, provano no. Ci han dato semplicemente dato questo risultato, senza dimostrarlo (lo dimostreremo nella seconda parte del corso, verso gennaio)

Se $I$ è un intervallo di $RR$. Ed $f : I -> RR$ è continua. Allora $f$ ammette primitiva.

[Plepp]

Yes ma, giustamente, il professore ha rimandato la dimostrazione al prossimo semestre.

Comunque mettiamola così: dobbiamo mostrare che $I=RR$. Quindi, per come il professore ha impostato la dimostrazione, ci ritroviamo a calcolare il limite
\[\lim_{x\to(b-y)}E(x+y)\]
Bene: quali condizioni bisogna imporre su $y$ affinché abbia senso calcolare questo limite (ammesso che sia necessario imporre delle condizioni..)?

Poi...mi ritrovo a calcolare
\[\lim_{x\to (b-y)}E(x)E(y)\]
che, essendo $E$ continua, risulta $E(b-y)E(y)$. Qui mi verrebbe da dire che $y$ dev'essere $>0$ (altrimenti non potrei calcolare $E(b-y)$), e dev'essere un elemento di $I$ (altrimenti non potrei calcolare $E(y)$).

Tu che ne pensi?

[gugo82]

Ho riletto con più calma ed ho capito il senso della dimostrazione (anche se non capisco come abbia fatto a provare che \(E\) gode della proprietà \(E(x+y)=E(x)E(y)\) senza usare gli integrali...).

Ad ogni modo, supposto che \(I=(a,b)\) con \(a<0
E comunque questo approccio non mi piace granché... Da quale libro è stato preso?

[Plepp]

"gugo82":
Ad ogni modo, supposto che \(I=(a,b)\) con \(a<0
E comunque questo approccio non mi piace granché... Da quale libro è stato preso?

Grazie Gugo, ma per $x,y$ fissati ci arrivo pure io il problema (ammesso che sia tale e non sia solo io a vederlo, che ora c'ho un po' di confusione in testa) è quando $x\to (b-y)$...

Comunque...l'approccio io lo trovo geniale anche se, per qualcuno che si è appena avvicinato alla Matematica, non risulta certo una passeggiata. Ed è molto più "simpatico" di quello che, a quanto ne so, è quello più comunemente adottato (definire $a^x$ come il sup dell'insieme blablabla). Non vorrei dirti stronzate, ma dovrebbe essere opera del mio professore (un tuo coetaneo, più o meno).

In parole povere, la proprietà di cui parli l'ha dimostrata innanzitutto mostrando che le uniche funzioni $g$ definite in un intervallo $J$ e tali che, $\forall x\in J$, $g'(x)=g(x)$ sono del tipo $c\cdotE$, con $c\in RR$ (insomma, ha risolto una piccola equazione differenziale). Dopodiché mostra che $h(x) : = E(x+y)-E(x)E(y)$ è del tipo $c\cdot E(x)$ e prova che $c=0$.

[theras]

@Plepp.
Benvenuto nel fantastico mondo della matemagica:
certamente interessante l'approccio del tuo insegnante,
ma mi sembra più adatto ad una sorta di definizione equivalente per studenti con più esperienza alle spalle di due mesi di Analisi I..
Qualcosa del genere,
sebbene su argomenti del tutto diversi,
l'avevo fatta pure io a suo tempo:
la definizione di limite attraverso le variabili ordinate
(se ben ricordo la trovi nel primo volume del Miranda,
qualora la tua curiosità fosse a prova di mal di testa..),
che venne capita solo l'anno successivo da buona parte degli allievi di quel corso!
Saluti dal web.

[gugo82]

Infatti, se \(y<0\) allora \(\max \{a,a-y\}=a-y\) e \(\min \{b,b-y\}=b\), quindi \(x\in (a-y,b)\) e non puoi far tendere \(x\) verso \(b-y\)... Pare ci sia qualcosa che non va.
Il tipo di approccio è carino, ma comunque lo trovo inutilmente complicato.
Sarebbe stato meglio aspettare dopo Natale e farvi vedere la stessa costruzione fatta usando la teoria dell'integrazione (e.g., questi miei fogli, §4).

[Plepp]

"theras":@Plepp.
Benvenuto nel fantastico mondo della matemagica:
certamente interessante l'approccio del tuo insegnante,
ma mi sembra più adatto ad una sorta di definizione equivalente per studenti con più esperienza alle spalle di due mesi di Analisi I..

Non ti si può dare torto Theras infatti io apprezzo l'idea, mi piace la Matematica che c'è dietro, ma condivido poco la scelta didattica...forse sarebbe stato più opportuno far passare qualche altro mese prima di farci affrontare una costruzione del genere. Con due anni (anziché due mesi) di Analisi (seppur depotenziata) alle spalle, non è stato così difficile per quel che mi riguarda, ma non tutti hanno "perso tempo" a Ingegneria prima di studiare Matematica...ho visto molta gente in difficoltà.

[Rigel1]

La costruzione della funzione \(\log\) attraverso l'integrale si trova ad esempio nel libro di Adams, Calcolo Differenziale, piuttosto diffuso soprattutto a ingegneria (e spesso a fisica).
Per quanto sia una buona costruzione, penso che in un primo corso di analisi non sia molto opportuna per introdurre la funzione logaritmo (proprio perché o non si sono fatti decentemente gli integrali, oppure bisogna aspettare la fine del corso prima di sentir parlare del logaritmo).
Personalmente ritengo che, nei corsi di base, sia meglio introdurre subito le funzioni elementari, magari con costruzioni non eccessivamente rigorose, per poi eventualmente ritornare alla loro definizione quando si dispone di strumenti più avanzati.

[theras]

Pur ampiamente d'accordo,con tutti gli attuali partecipanti a questo thread,
sulla non assoluta opportunità della scelta didattica
(come d'altronde deducibile dal mio precedente intervento),
sento l'esigenza di spezzare una lancia a favore del docente di Giuseppe dicendo che può esser utile iniziare ad intravedere su argomenti "easy" certi giri,
spesso arzigogolati,della Matematica:
una scelta didattica del genere è forse più tipica
(e magari opportuna..)
nell'insegnamento dell'Algebra,
ma posso assicurarvi che, quando tornai più maturo su quella definizione di limite cui accennavo sopra,
quel pomeriggio a lanciare maledizioni al mio insegnante
(davo ovviamente per certa l'equivalenza tra quella definizione "nuova" e quella classica,ma non riuscivo a provarla in modo soddisfacente da solo..)
si rivelò molto fruttifero!!
Saluti dal web.

[Plepp]

"gugo82":Infatti, se \(y<0\) allora \(\max \{a,a-y\}=a-y\) e \(\min \{b,b-y\}=b\), quindi \(x\in (a-y,b)\) e non puoi far tendere \(x\) verso \(b-y\)... Pare ci sia qualcosa che non va.
Il tipo di approccio è carino, ma comunque lo trovo inutilmente complicato.

Oddio però mi chiedo: per come è impostata la dimostrazione, non basterebbe provare che quel fatto lì è vero solamente per un certo $y$ tale che abbia senso calcolare il suddetto limite? In tal caso la dimostrazione sta fatta bene, perchè $y$ lo si può scegliere in $I$ in maniera oppurtuna affinché quel limite abbia senso...

PS: grazie per il link appena posso ci do' un bella lettura

[gugo82]

Mmmm... Forse sì, basta fissare \(y>0\) sufficientemente piccolo per far funzionare tutto.


P.S.: Prego.

[Plepp]

"gugo82":Mmmm... Forse sì, basta fissare \(y>0\) sufficientemente piccolo per far funzionare tutto.


P.S.: Prego.

Alé! e pare proprio che lo si possa fare, in quanto tra le proprietà esaminate di $F$ ce n'è una che dice

• $\exists B_\varepsilon(0)\subseteq I$, ovvero esiste un intorno di zero $(-\varepsilon,\varepsilon)$ contenuto in $I$;

Fin'ora non avevo capito che motivo c'era di mettere in evidenza questa cosa forse serviva proprio a questo.