Coseno con taylor
Ciao, mi sono bloccato su un esercizio nel calcolo del limite:
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)*cossqrt(3/x)] $
Inizialmente pensavo di usare Taylor per il coseno ma sviluppando in questo modo risulterebbe:
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)*(1-(3/x)/2+(9/x^2)/24)]= $
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)+(3x^2)/(2x(x+4))-(9x^2)/(24x^2(x+4)]] $
Che una volta sviluppato mi da $24/8$ che tuttavia non è il risultato corretto.
Cosa sbaglio??
Grazie per l'aiuto!
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)*cossqrt(3/x)] $
Inizialmente pensavo di usare Taylor per il coseno ma sviluppando in questo modo risulterebbe:
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)*(1-(3/x)/2+(9/x^2)/24)]= $
$ lim_(x -> oo) [x- x^2/(x+4)+(3x^2)/(2x(x+4))-(9x^2)/(24x^2(x+4)]] $
Che una volta sviluppato mi da $24/8$ che tuttavia non è il risultato corretto.
Cosa sbaglio??
Grazie per l'aiuto!
Risposte
come nell'altro post hai ancora sbagliato lo sviluppo del coseno. quello corretto è:
$cos epsilon_n=1-(epsilon_n)^2/(2!)+1/(4!)(epsilon_n)^4+...$ dove $epsilon_n->0$ e nel tuo caso $epsilon_n=3/x$
P.S. un consiglio: è inutile fare 1000 esercizi ma tutti fatti male. prendine uno, impara bene gli sviluppi e cerca di arrivare in fondo con coscienza di quello che fai.
$cos epsilon_n=1-(epsilon_n)^2/(2!)+1/(4!)(epsilon_n)^4+...$ dove $epsilon_n->0$ e nel tuo caso $epsilon_n=3/x$
P.S. un consiglio: è inutile fare 1000 esercizi ma tutti fatti male. prendine uno, impara bene gli sviluppi e cerca di arrivare in fondo con coscienza di quello che fai.
Ti do assolutamente ragione, ma sono abbastanza sicuro che lo sviluppo di $ cos( sqrt(3/x)) = 1-3/(2x)+3/(8x^2) $
Quindi nel mio caso non credo di aver sbagliato quello!
Quindi nel mio caso non credo di aver sbagliato quello!
pensa che bravo che sono: do consigli quando sono io il primo a sbagliare. 
ovviamente non è quello il problema ma sta nel denominatore. quando raccogli la x poi rimani con degli altri infinitesimi da controllare. mi spiego
$x^2/(x+4)=x^2/x(1+4/x)^(-1)$
sviluppa la parentesi, moltiplicala per lo sviluppo del coseno (trascurando pure tutti i termini che contengono $1/x^2$) ed arrivi al risultato (che dovrebbe essere $11/2$)
ovviamente non è quello il problema ma sta nel denominatore. quando raccogli la x poi rimani con degli altri infinitesimi da controllare. mi spiego
$x^2/(x+4)=x^2/x(1+4/x)^(-1)$
sviluppa la parentesi, moltiplicala per lo sviluppo del coseno (trascurando pure tutti i termini che contengono $1/x^2$) ed arrivi al risultato (che dovrebbe essere $11/2$)
Non preoccuparti... anzi, ti ringrazio per la spiegazione!! 
Ciao Dot.who,
In realtà il limite proposto è risolvibile anche solo coi limiti notevoli:
$ lim_{x to +\infty} [x- x^2/(x+4)*cos sqrt(3/x)] = lim_{x to +\infty} [x - x^2/(x+4) + x^2/(x+4) - x^2/(x+4)*cos sqrt(3/x)] = $
$ = lim_{x to +\infty} [frac{4x}{x + 4} + x^2/(x+4)(1 - cos sqrt(3/x))] = lim_{x to +\infty} [frac{4x}{x + 4} + frac{3x^2}{x^2 + 4x} \cdot frac{1 - cos sqrt(3/x)}{3/x}] = $
$ = lim_{x to +\infty} frac{4x}{x + 4} + lim_{x to +\infty} frac{3x^2}{x^2 + 4x} \cdot lim_{x to +\infty}frac{1 - cos sqrt(3/x)}{3/x} = 4 + 3 \cdot 1/2 = 11/2 $
In realtà il limite proposto è risolvibile anche solo coi limiti notevoli:
$ lim_{x to +\infty} [x- x^2/(x+4)*cos sqrt(3/x)] = lim_{x to +\infty} [x - x^2/(x+4) + x^2/(x+4) - x^2/(x+4)*cos sqrt(3/x)] = $
$ = lim_{x to +\infty} [frac{4x}{x + 4} + x^2/(x+4)(1 - cos sqrt(3/x))] = lim_{x to +\infty} [frac{4x}{x + 4} + frac{3x^2}{x^2 + 4x} \cdot frac{1 - cos sqrt(3/x)}{3/x}] = $
$ = lim_{x to +\infty} frac{4x}{x + 4} + lim_{x to +\infty} frac{3x^2}{x^2 + 4x} \cdot lim_{x to +\infty}frac{1 - cos sqrt(3/x)}{3/x} = 4 + 3 \cdot 1/2 = 11/2 $
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