Cosa fa questo integrale?
Ciao a tutti. Oggi ho avuto lo scritto di analisi 2 e mi sono ritrovato ad un certo punto questo integrale:
$ int_(0)^(oo ) (e^(-x^2)-1)/x^2 dx $
Secondo voi converge o diverge? se converge come diamine lo risolvo?
$ int_(0)^(oo ) (e^(-x^2)-1)/x^2 dx $
Secondo voi converge o diverge? se converge come diamine lo risolvo?
Risposte
Descrivi come hai tentato di stabilirlo tu...
EDIT: Ad occhio è sicuramente ad integrale convergente in un intorno di $0$ e dovrebbe esserlo anche in un intorno di $+oo$.
EDIT: Ad occhio è sicuramente ad integrale convergente in un intorno di $0$ e dovrebbe esserlo anche in un intorno di $+oo$.
no beh io ho sbagliato certamente, perchè ero a fine esame e non ragionavo più...
praticamente ho spezzato l'integrale e ho visto che l'integrale di 1/x divergeva per x-->0, dunque ho pensato che anche sommandogli una qualunque altra quantità sarebbe rimasto +infinito, e pertanto ho stabilito la sua divergenza. ma non credo sia giusto
praticamente ho spezzato l'integrale e ho visto che l'integrale di 1/x divergeva per x-->0, dunque ho pensato che anche sommandogli una qualunque altra quantità sarebbe rimasto +infinito, e pertanto ho stabilito la sua divergenza. ma non credo sia giusto
Ma l'integrale ha $x^2$ al denominatore?
L'unico errore che si poteva fare secondo me è quello che hai fatto 
Se studi il limite dell'integranda in $0$ ti accorgi che in realtà tende ad un valore finito!
Se studi il limite dell'integranda in $0$ ti accorgi che in realtà tende ad un valore finito!
L'integrale converge: infatti la funzione integranda è asintotica a
[tex]$\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\sim\frac{1-x^2+o(x^2)-1}{x^2}\sim -1,\qquad x\to 0^-$[/tex]
[tex]$\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\sim-\frac{1}{x^2},\qquad x\to+\infty$[/tex]
le quali sono entrambe rispettivamente integrabili (la prima in zero, la seconda all'infinito).
Sul come calcolarlo ho i miei dubbi che tu possa farlo. Ma al momento non mi va di cimentarmi in lunghissimi e tediosi calcoli!
[tex]$\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\sim\frac{1-x^2+o(x^2)-1}{x^2}\sim -1,\qquad x\to 0^-$[/tex]
[tex]$\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\sim-\frac{1}{x^2},\qquad x\to+\infty$[/tex]
le quali sono entrambe rispettivamente integrabili (la prima in zero, la seconda all'infinito).
Sul come calcolarlo ho i miei dubbi che tu possa farlo. Ma al momento non mi va di cimentarmi in lunghissimi e tediosi calcoli!
Ciampax la prima equivalenza asintotica non l'ho capita, chi se l'è mangiato l'$x^2$? A me risulta tendere a $-1$ piuttosto che a $0$.
"Giuly19":
Ciampax la prima equivalenza asintotica non l'ho capita, chi se l'è mangiato l'$x^2$? A me risulta tendere a $-1$ piuttosto che a $0$.
Non lo so... mi piaceva farlo sparire!
Che poi... Taylor in questo caso è il classico "cannone per ammazzare la zanzara"... 
"Seneca":
Che poi... Taylor in questo caso è il classico "cannone per ammazzare la zanzara"...
Ma che ti devo dire... avevo visto un $x^2$ pure a numeratore!
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