Correzioni Limiti
Salve, sono matthewcrn7
Mi sono iscritto da poco ed essenzialmente l'ho fatto perchè in analisi sono poco più che una capra e mi serve per andare avanti, per mettermi al passo con tutti e riuscire a passare il compitino fra quattro giorni (e l'esame a gennaio) di analisi I, sto facendo un sacco di esercizi sugli argomenti trattati, ma fra quelli del libro, l'eserciziario con svolgimenti poco chiari non capisco se, dove e/o perchè sbaglio (per non parlare di quelli trovati in rete che sono quasi arabo). Da tre giorni a questa parte sto facendo solo ed esclusivamente limiti, e per vedere almeno se sbaglio sto usando questo risolutore online, (https://www.symbolab.com/solver/limit-calculator) che è molto semplice da usare, nonostante ciò esso mi riporta le soluzioni passo passo, tramite la regola di de L'Hopital che non abbiamo trattato quindi vorrei evitarla (ed usare solo trucchi algebrici, limiti notevoli e simboli di landau* per trovare le soluzioni). Per questo vi posto ora i limiti con cui ho avuto problemi, se mi aiutaste ve ne sarei veramente grato ^^":
- $ lim_(x -> a) \frac(sin(x)-sin(a))(x-a) $ :
Sinceramente ho provato a sostituire i seni con i loro equivalenti asintotici (quindi i loro argomenti), e dato che viene $ limxto\a \frac(x-a)(x-a) $ ho semplicemente pensato di semplificare e quindi sarebbe dovuto venir 1, ma il risolutore mi ritorna : $ cos(a) $ . E non sapendo come arrivarci, nè capendo dove possa aver sbagliato sono passato al successivo. :C
- $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(tan(x-1))-e^(ln(x)))ln(1+arcsin(x-1)) $ :
Qui per lo stesso motivo di prima ho sostituito $ tan(x-1) $ con $ x - 1$ ed $ arcsin(x-1) $ con $ (x - 1) $, riscrivendo il limite così $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-e^(ln(x)))ln(1+x-1) $ che poi è diventato questo $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-e^(ln(x)))ln(x) $ . Inoltre ho notato $ e^(ln(x)) $ che per me è possibile tradurre come " e elevato a quell'esponente tale che il risultato è x" e seguendo questo pensiero ho riscritto così $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-x)ln(x) $ fattorizzando e venuto questo $ lim_(x -> 1) \frac(x*(e^(x-1)-1))ln(x) $ ed è stato qui che ho visto due limiti notevoli, precisamente:
1) $ \frac (e^x - 1)(x) $ (per la x che tende a 0)
2) $ \frac (ln(x+1))(x) $ (che si può ottenere tramite qualche passaggio algebrico non complicato)
Il limite ha subito queste riscritture:
1) $ lim_(x -> 1) \frac(x*(e^(x-1)-1))ln(x) * \frac (x-1)(x-1) $ => $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1))ln(x) $
2) $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1))ln(x) \frac(ln(1))(ln(1)) $ => $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1)*ln(1))ln(x+1) $ => $ lim_(x -> 1) (x-1)*ln(1) $
il limite che ho riscritto alla fine è stato appunto $ lim_(x -> 1) (x-1)*ln(1) $ che ho appunto riscritto con $lim_ (x->1) (x-1)*0 $ e quindi 0 ma il risolutore ha asserito che il risultato fosse 1... Dove ho sbagliato?
Mi sono iscritto da poco ed essenzialmente l'ho fatto perchè in analisi sono poco più che una capra e mi serve per andare avanti, per mettermi al passo con tutti e riuscire a passare il compitino fra quattro giorni (e l'esame a gennaio) di analisi I, sto facendo un sacco di esercizi sugli argomenti trattati, ma fra quelli del libro, l'eserciziario con svolgimenti poco chiari non capisco se, dove e/o perchè sbaglio (per non parlare di quelli trovati in rete che sono quasi arabo). Da tre giorni a questa parte sto facendo solo ed esclusivamente limiti, e per vedere almeno se sbaglio sto usando questo risolutore online, (https://www.symbolab.com/solver/limit-calculator) che è molto semplice da usare, nonostante ciò esso mi riporta le soluzioni passo passo, tramite la regola di de L'Hopital che non abbiamo trattato quindi vorrei evitarla (ed usare solo trucchi algebrici, limiti notevoli e simboli di landau* per trovare le soluzioni). Per questo vi posto ora i limiti con cui ho avuto problemi, se mi aiutaste ve ne sarei veramente grato ^^":
- $ lim_(x -> a) \frac(sin(x)-sin(a))(x-a) $ :
Sinceramente ho provato a sostituire i seni con i loro equivalenti asintotici (quindi i loro argomenti), e dato che viene $ limxto\a \frac(x-a)(x-a) $ ho semplicemente pensato di semplificare e quindi sarebbe dovuto venir 1, ma il risolutore mi ritorna : $ cos(a) $ . E non sapendo come arrivarci, nè capendo dove possa aver sbagliato sono passato al successivo. :C
- $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(tan(x-1))-e^(ln(x)))ln(1+arcsin(x-1)) $ :
Qui per lo stesso motivo di prima ho sostituito $ tan(x-1) $ con $ x - 1$ ed $ arcsin(x-1) $ con $ (x - 1) $, riscrivendo il limite così $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-e^(ln(x)))ln(1+x-1) $ che poi è diventato questo $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-e^(ln(x)))ln(x) $ . Inoltre ho notato $ e^(ln(x)) $ che per me è possibile tradurre come " e elevato a quell'esponente tale che il risultato è x" e seguendo questo pensiero ho riscritto così $ lim_(x -> 1) \frac(x*e^(x-1)-x)ln(x) $ fattorizzando e venuto questo $ lim_(x -> 1) \frac(x*(e^(x-1)-1))ln(x) $ ed è stato qui che ho visto due limiti notevoli, precisamente:
1) $ \frac (e^x - 1)(x) $ (per la x che tende a 0)
2) $ \frac (ln(x+1))(x) $ (che si può ottenere tramite qualche passaggio algebrico non complicato)
Il limite ha subito queste riscritture:
1) $ lim_(x -> 1) \frac(x*(e^(x-1)-1))ln(x) * \frac (x-1)(x-1) $ => $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1))ln(x) $
2) $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1))ln(x) \frac(ln(1))(ln(1)) $ => $ lim_(x -> 1) \frac(x*(x-1)*ln(1))ln(x+1) $ => $ lim_(x -> 1) (x-1)*ln(1) $
il limite che ho riscritto alla fine è stato appunto $ lim_(x -> 1) (x-1)*ln(1) $ che ho appunto riscritto con $lim_ (x->1) (x-1)*0 $ e quindi 0 ma il risolutore ha asserito che il risultato fosse 1... Dove ho sbagliato?
Risposte
punto 1:
Stai attento $sen(x)~_0\quadx$ cioe' sen(x) e' asintotico a x in 0 (cioe' puoi fare quello che hai fatto se x tende a 0).
Lo stesso errore c'e anche nel punto 2
pensa come fare e riprovaci...
Stai attento $sen(x)~_0\quadx$ cioe' sen(x) e' asintotico a x in 0 (cioe' puoi fare quello che hai fatto se x tende a 0).
Lo stesso errore c'e anche nel punto 2
pensa come fare e riprovaci...
Nel primo limite hai una forma indeterminata $0/0$, quindi per ottenere il valore del limite devi elidere il fattore di indeterminazione, per far ciò devi far ricorso alle note formule trigonometriche, da una di tali formule avremo:
$sinx-sina=2cos( (x+a)/2)×sin ((x-a)/2)$, sostituendo il nostro limite diventa:
$lim_(x->a)(2cos ((x+a)/2)×sin((x-a)/2))/(x-a)$ $=lim_(x->a)(cos((x+a)/2)×sin ((x-a)/2))/((x-a)/2)$, a questo punto si che puoi
usare l'equivalenza asintotica, per $x->a $, $sin((x-a)/2)~(x-a)/2$, e sostituendo ancora avrai:
$lim_(x->a)cos ((x+a)/2)×(((x-a)/2)/((x-a)/2)) $ da cui
$lim_(x->a)cos ((x+a)/2)=cos((a+a)/2)=cosa $
$sinx-sina=2cos( (x+a)/2)×sin ((x-a)/2)$, sostituendo il nostro limite diventa:
$lim_(x->a)(2cos ((x+a)/2)×sin((x-a)/2))/(x-a)$ $=lim_(x->a)(cos((x+a)/2)×sin ((x-a)/2))/((x-a)/2)$, a questo punto si che puoi
usare l'equivalenza asintotica, per $x->a $, $sin((x-a)/2)~(x-a)/2$, e sostituendo ancora avrai:
$lim_(x->a)cos ((x+a)/2)×(((x-a)/2)/((x-a)/2)) $ da cui
$lim_(x->a)cos ((x+a)/2)=cos((a+a)/2)=cosa $
Per quanto riguarda il secondo limite puoi procedere riscrivendo il limite, essendo $e^logx=e^log(1+(x-1))$, ed avendosi per $x->1$, $log (1+(x-1))~(x-1) $ ed , $tan (x-1)~(x-1 ) $, ed inoltre $arctan (x-1)~(x-1)$, cosi:
$lim_(x->1)(xe^(x-1)-e^(x-1))/(x-1) $ $=lim_(x->1)e^(x-1)×(x-1)/(x-1)=lim_(x->1)e^(x-1)=e^0=1$, faccio notare che ho usato gli asintotici che sono perfettamente equivalenti ai limiti notevoli.
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione;
Saluti!
$lim_(x->1)(xe^(x-1)-e^(x-1))/(x-1) $ $=lim_(x->1)e^(x-1)×(x-1)/(x-1)=lim_(x->1)e^(x-1)=e^0=1$, faccio notare che ho usato gli asintotici che sono perfettamente equivalenti ai limiti notevoli.
Spero di essere stato chiaro nell'esposizione;
Saluti!
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