Correzione integrale per sostituzione
Buon pomeriggio a tutti, ho svolto un integrale per sostituzione e vorrei avere un vostro parere sul procedimento:
$int x^2 /(root(3)(x+1)) dx$ con:
$t=root(3)(x+1)$
$x=t^3-1$
$dx=3t^2 dt$
$int (t^3-1)^2/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)*3t dt= int (3t^7+3t-6t^4) dt = 3 (t^8/8) +3 (t^2/2) - 6 (t^5/5) = 3/8 root (3)(x^8+1) - 6/5 root (3)(x^8+1) +3/2 root (3)(x^8+1) +c $
Grazie
$int x^2 /(root(3)(x+1)) dx$ con:
$t=root(3)(x+1)$
$x=t^3-1$
$dx=3t^2 dt$
$int (t^3-1)^2/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)*3t dt= int (3t^7+3t-6t^4) dt = 3 (t^8/8) +3 (t^2/2) - 6 (t^5/5) = 3/8 root (3)(x^8+1) - 6/5 root (3)(x^8+1) +3/2 root (3)(x^8+1) +c $
Grazie
Risposte
"arnett":
[quote="Marco Beta2"][---] $3 (t^8/8) +3 (t^2/2) - 6 (t^5/5)= 3/8 root (3)(x^8+1) - 6/5 root (3)(x^8+1) +3/2 root (3)(x^8+1) +c $
Ciao
Fino al primo membro dell'uguaglianza che cito era giusto, poi hai sbagliato a fare la sostituzione inversa: per esempio si ha $3 (t^8/8)=3/8 (\root(3)(x+1))^8=3/8(x+1)^(8/3)$ poiché avevi posto $t=(x+1)^(1/3)$ e così via per gli altri termini. Alla fine risulta $3 (t^8/8) +3 (t^2/2) - 6 (t^5/5)=3/8(x+1)^(8/3)+3/2(x+1)^(2/3)-6/5(x+1)^(5/3)+k$
(E ovviamente $dx=3t^2dt$, ma quelllo credo tu abbia solo dimenticato di trascriverlo perché poi nell'integrale lo hai messo correttamente)[/quote]
Ciao arnett e grazie per la risposta... Ho notato un errore di trascrizione infatti ho fatto copia e incolla delle radici senza cambiare i valori... Ti riscrivo i passaggi che ho sul quaderno, fammi sapere se ti trovi:
$ int (t^3-1)^2/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)/t *3t^2 dt = int (t^6 +1 -2t^3)*3t dt= int (3t^7+3t-6t^4) dt = 3 (t^8/8) +3 (t^2/2) - 6 (t^5/5) = 3/8 root (3)(x^8+1) - 6/5 root (3)(x^5+1) +3/2 root (3)(x^2+1) +c $
perchè se non ricordo male in questi casi si elevano a potenza tutti i fattori sotto radice...
Mi spieghi meglio il fatto del $dx=3t^2dt$? Non ho capito cosa intendi scusami
Ciao!
E' strettamente necessario utilizzare la sostituzione? altrimenti diventa davvero immediato per parti.
E' strettamente necessario utilizzare la sostituzione? altrimenti diventa davvero immediato per parti.
$intx^2/root(3)(x+1)dx=intx^2(x+1)^(-1/3)dx=2/3x^2(x+1)^(2/3)-4/3intx(x+1)^(2/3)dx=$
$=3/2x^2(x+1)^(2/3)-9/5x(x+1)^(5/3)+9/5int(x+1)^(5/3)dx=$
$=3/2x^2(x+1)^(2/3)-9/5x(x+1)^(5/3)+27/40(x+1)^(8/3)+c$
$=3/2x^2(x+1)^(2/3)-9/5x(x+1)^(5/3)+9/5int(x+1)^(5/3)dx=$
$=3/2x^2(x+1)^(2/3)-9/5x(x+1)^(5/3)+27/40(x+1)^(8/3)+c$
"anto_zoolander":
Ciao!
E' strettamente necessario utilizzare la sostituzione? ...
Ciao anto_zoolander, sto seguendo il libro delle superiori per iniziare a prendere manualità con gli esercizi e per "farci l'occhio" perchè devo fare l'esame di matematica che tra l'altro non tocco da molto tempo e questo esercizio me lo portava nella sezione "integrali per sostituzione"... Sicuramente quelli che posto sono risolvibili con altri metodi anzi grazie per la tua soluzione
"arnett":
Sbagli a gestire le potenze: $ 3/8 (\root(3)(x+1))^8=3/8(x+1)^(8/3)\ne 3/8 root (3)(x^8+1) $
Quanto al $ dx=3t^2dt $, avevi scritto solamente $ dx=3t^2 $ ma ho creduto fosse solo un refuso di scrittura (vero?)
Ciao arnett, ma non vale la regola: $root(N)(a+b)^M = root (N)(a^M + b^M)$? e di conseguenza $3/8 (x+1)^(8/3) = 3/8 root (3)(x^8+1^8) = 3/8 root (3)(x^8+1)$ ?
"arnett":
Assolutamente no, poiché $(a+b)^m\ne a^m+b^m$
Pensa a $root(3)((2+1)^2)=root(3)(9)\neroot(3)(5)=root(3)(2^2+1^2)$
Vero... errore mio e continuavo a sbagliare... è corretto mettere tutto il radicando tra parentesi ed elevato a potenza...
$(root(3)(a+b))^N = root(3)((a+b)^N)$
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo