Convoluzione e trasformata: proprietà di morfismo
[Definizioni varie:
[tex]$\hat{f}(\xi)=\int f(x) e^{-i x \cdot \xi}\, dx,\quad f \star g (x)=\int f(x-y)g(y)\, dy;[/tex]
con ipotesi opportune su [tex]f, g[/tex].]
Mi trovo a dovere usare questa formula
[tex]$(f \star g)\,\hat{}=\hat{f}\hat{g}[/tex] (1)
in un caso per me atipico: [tex]f \in L^\infty(\mathbb{R}^n),\ g \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex]. Per la precisione
[tex]$f(x)=\frac{1}{(4 \pi i t)^{n/2}}e^{i \frac{\lvert x \rvert^2}{4t}},\quad g \in L^2(\mathbb{R}^n);[/tex]
si tratta della soluzione di
[tex]$\begin{cases} i u_t= \Delta u \\ u(0, x)=g \in L^2(\mathbb{R}^n) \end{cases}.[/tex]
L'autore che sto leggendo non si fa scrupolo ad usare la (1) senza dimostrazione ma a me purtroppo non sembra proprio ovvio, come quando entrambi i fattori sono [tex]L^1[/tex]. Come si procede in questi casi? Si usa qualche tecnica di approssimazione?
[tex]$\hat{f}(\xi)=\int f(x) e^{-i x \cdot \xi}\, dx,\quad f \star g (x)=\int f(x-y)g(y)\, dy;[/tex]
con ipotesi opportune su [tex]f, g[/tex].]
Mi trovo a dovere usare questa formula
[tex]$(f \star g)\,\hat{}=\hat{f}\hat{g}[/tex] (1)
in un caso per me atipico: [tex]f \in L^\infty(\mathbb{R}^n),\ g \in L^2(\mathbb{R}^n)[/tex]. Per la precisione
[tex]$f(x)=\frac{1}{(4 \pi i t)^{n/2}}e^{i \frac{\lvert x \rvert^2}{4t}},\quad g \in L^2(\mathbb{R}^n);[/tex]
si tratta della soluzione di
[tex]$\begin{cases} i u_t= \Delta u \\ u(0, x)=g \in L^2(\mathbb{R}^n) \end{cases}.[/tex]
L'autore che sto leggendo non si fa scrupolo ad usare la (1) senza dimostrazione ma a me purtroppo non sembra proprio ovvio, come quando entrambi i fattori sono [tex]L^1[/tex]. Come si procede in questi casi? Si usa qualche tecnica di approssimazione?
Risposte
Non vorrei dire una cosa che magari non è troppo rigorosa.
Cmq se una funzione è L1 allora è trasformabile secondo fourier. E per il teorma di convoluzione vale la (1). La dimostrazione è semplice si fa con il th. di fubini-tonelli.
L'unica tecnica che ho visto per giustificare gli elementi finiti (che è poi la tecnica per risovlere le edp in modo approssimato) è la formulazione variazionale o debole.
Prova a darci un'occhiata. Per ora ho visto solo qualche esempietto in r^n e non so dirti di più.
(riesci a darmi un'occhiata al problema agli autovalori che ho postato settimana scorsa ^^ ??).
Cmq se una funzione è L1 allora è trasformabile secondo fourier. E per il teorma di convoluzione vale la (1). La dimostrazione è semplice si fa con il th. di fubini-tonelli.
L'unica tecnica che ho visto per giustificare gli elementi finiti (che è poi la tecnica per risovlere le edp in modo approssimato) è la formulazione variazionale o debole.
Prova a darci un'occhiata. Per ora ho visto solo qualche esempietto in r^n e non so dirti di più.
(riesci a darmi un'occhiata al problema agli autovalori che ho postato settimana scorsa ^^ ??).
???
Non capisco. La formula che dici vale quando entrambi i fattori della convoluzione sono $L^1$, e ci siamo. Ma qui i due fattori non sono sommabili e la trasformata di uno dei due è intesa in senso distribuzionale, quindi purtroppo non si può generalizzare direttamente quel discorso (o meglio, io non so farlo).
Poi non capisco affatto cosa c'entrano gli elementi finiti. Vedo che si tratta di una classe di metodi numerici per equazioni alle derivate parziali. Perché li tiri in ballo per questa formula?
Non capisco. La formula che dici vale quando entrambi i fattori della convoluzione sono $L^1$, e ci siamo. Ma qui i due fattori non sono sommabili e la trasformata di uno dei due è intesa in senso distribuzionale, quindi purtroppo non si può generalizzare direttamente quel discorso (o meglio, io non so farlo).
Poi non capisco affatto cosa c'entrano gli elementi finiti. Vedo che si tratta di una classe di metodi numerici per equazioni alle derivate parziali. Perché li tiri in ballo per questa formula?
"dissonance":
???
Non capisco. La formula che dici vale quando entrambi i fattori della convoluzione sono $L^1$, e ci siamo. Ma qui i due fattori non sono sommabili e la trasformata di uno dei due è intesa in senso distribuzionale, quindi purtroppo non si può generalizzare direttamente quel discorso (o meglio, io non so farlo).
Poi non capisco affatto cosa c'entrano gli elementi finiti. Vedo che si tratta di una classe di metodi numerici per equazioni alle derivate parziali. Perché li tiri in ballo per questa formula?
In effetti non è sommabile.
[tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R} ^n}^{} |f|\, dx =\frac{1}_{(4\pi |t|)} }\displaystyle\int_{\mathbb{R} ^n}^{} \, dx = +\infty ,\forall t[/tex]
Però ricordiamoci che la trasformata di fourier di un numero esiste ed è una delta moltiplicata per quel numero e per radice di due pi.
la g è l2 quindi a maggior ragione è sommabile.
Più che altro la [tex]f(x,t)[/tex] è un po' strana visto che ha valori complessi e tu mi parli di r^n.
Però non capisco perchè dici che appartiene a l-inifnito allora.
Non so dimmi te probabilmente sbaglio qualcosa e devo studiare di più.
Le convoluzioni per quanto riguarda le EDP le ho viste solo con i mollificatori per adesso. E c'è tutta una teoria sulle soluzioni deboli che sfrutta le distribuzioni.
L'idea è semplice: approssimo qualcosa di orrendo come la delta di dirac con qualcosa di c-infinito.
Però non voglio spararla grossa su questo perchè non l'ho ancora studiata bene.
Gli elementi finiti effettivamente non centrano niente
Stai attento perché stai dicendo un po' di cose errate. Soprattutto, una funzione $L^2(RR^n)$ non ha nessun obbligo di essere $L^1(RR^n)$: per $n=1$, un esempio semplice è
$f(x)=frac{1}{1+|x|}$.
Poi, perché ti scandalizzano le funzioni di variabile reale e valori complessi? Eppure è perfettamente naturale considerarle: prendi per esempio la trasformata di Fourier di una funzione $RR \to RR$ dispari. Cosa ti viene fuori?
Ancora, la teoria della convoluzione è piuttosto sviluppata anche oltre i mollificatori. In particolare, si dimostra (caso particolare del teorema di Young) che la convoluzione è ben definita se i due fattori sono uno in $L^2$ e l'altro in $L^infty$.
Infine, lascia stare per favore le soluzioni deboli delle PDE. Con questa domanda non c'entrano.
$f(x)=frac{1}{1+|x|}$.
Poi, perché ti scandalizzano le funzioni di variabile reale e valori complessi? Eppure è perfettamente naturale considerarle: prendi per esempio la trasformata di Fourier di una funzione $RR \to RR$ dispari. Cosa ti viene fuori?
Ancora, la teoria della convoluzione è piuttosto sviluppata anche oltre i mollificatori. In particolare, si dimostra (caso particolare del teorema di Young) che la convoluzione è ben definita se i due fattori sono uno in $L^2$ e l'altro in $L^infty$.
Infine, lascia stare per favore le soluzioni deboli delle PDE. Con questa domanda non c'entrano.
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