Convoluzione di Funzioni in R^N

[alessandro#∞math0]

Ciao a Tutti!
Sono al terzo anno di matematica, sto seguendo un corso di analisi funzionale, in questo momento stiamo parlando di spazi $L^p$, e più precisamente di regolarizzazione. Una delle prime definizioni a proposito, è quella di "convoluzione", (la definizione sta sotto). Il mio proplema non era tanto la definizione, era più il capire cosa rappresentasse; dopotutto se qualcuno l'ha inventata, deve aver avuto un concetto in mente. Io sto provando a ricavarlo (come pesare una funzione con una altra, sulla falsa riga dell'integrale di Riemann- Stiltjes) ma se qualcuno può aiutarmi, un consiglio è bene accetto! Grazie anticipatamnete delle risposte!

Definizione:

Siano $f$,$g \in L^1(\mathbb{R}^N)$, si definisce "convoluzione" fra $f$ e $g$

$(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}^N}f(x-y)g(y)dy$

[gugo82]

Capire graficamente cosa combina una convoluzione è cosa difficile.
Potrebbe essere utile calcolare la convoluzione di funzioni caratteristiche di due intervalli,se vuoi fare i conti a mano, altrimenti potresti buttare uno sguardo alle animazioni su wikipedia.

Storicamente, l'operazione nasce in qualche scritto di d'Alembert ed si è poi via via evoluta, risultando utile nella risoluzione di equazioni differenziali (sia ordinarie sia alle derivate parziali) ed questioni connesse, come lo studio delle proprietà delle soluzioni ottenute attraverso la Teoria del Potenziale.
Un buon riferimento in merito all'evoluzione della faccenda mi pare questo.

[alessandro#∞math0]

Grazie! Stasera se riesco do una letta al file linkato (sembra fatto bene)! Il mio "capire" non era tanto capire "graficamente", più che altro il senso della definizione! So che si applica anche in teoria dei segnali ed in fisica, quindi pensavo ci fosse in un certo senso una motivazione.


Grazie della Risposta!

[dissonance]

A me piace questo java, che rappresenta la convoluzione in $N=1$:

http://pages.jh.edu/~signals/convolve/