Convoluzione

[Sk_Anonymous]

Quanto fa $sint oxchi_[[1,2]](t)$?

[Sk_Anonymous]

"Sturmentruppen":Per la cronaca la mia domanda è partita dal seguente problema di Cauchy da risolvere per $t>=0$:


$y^('')+y=delta(t)+chi_[[1,2]](t)

il problema equivale alla sovrapposizione dei due:
$y^('')+y=delta(t)$ e $y^('')+y=chi_[[1,2]](t)
il primo ha per soluzione: $y(t)=H(t)*sint$

Per il secondo ho provato a risolvere con la convoluzione:
si hanno 3 casi:
$t<1$
$int_0^tsin(t-x)*chi_[[1,2]](t)dx=0
$1<=t<=2
$int_0^tsin(t-x)*chi_[[1,2]](t)dx=int_0^1(=0)+int_1^tsin(t-x)dx+int_t^2sin(t-x)dx=H(t)*cos(t-2)-H(t)*cos(t-1)
$t>2
$int_0^tsin(t-x)*chi_[[1,2]](t)dx=int_0^1(=0)+int_1^2sin(t-x)dx+int_2^t(=0)=H(t)*cos(t-2)-H(t)*cos(t-1)

per cui la soluzione è
$y(t)=H(t)*(sint+2cos(t-2)-2cos(t-1))

che non coincide con la soluzione trovata con l'altro metodo
qualcuno sa dirmi perchè?
Grazie

[Sk_Anonymous]

E allora?!
Aspetto fiducioso....

[Kroldar]

Sinceramente non ho capito bene cosa volessi fare.

Faccio solo un commento

"Sturmentruppen":
$t<1$
$int_0^tsin(t-x)*chi_[[1,2]](t)dx=0

Questo fatto è una diretta conseguenza del vincolo di causalità, secondo cui (nei sistemi reali) l'effetto non può verificarsi prima della causa che l'ha scatenato. Se dunque l'ingresso del sistema è una finestra rettangolare che parte all'istante $1$, la risposta del sistema prima dell'istante $1$ deve essere identicamente nulla.

[Sk_Anonymous]

"Kroldar":Sinceramente non ho capito bene cosa volessi fare.

Voglio solo capire perchè il risultato è diverso rispetto a quello ottenuto col procedimento presente nella pagina precedente

[Kroldar]

Vediamo di sistemare la cosa...

Per $t<1$ la funzione $y(t)$ è nulla per quanto detto circa la causalità (che il vincolo di causalità sia rispettato lo si evince dal fatto che il grado del numeratore della funzione di trasferimento è minore di quello del denominatore).

Per $1 $int_0^t sin(t-x) chi_[[1,2]](x) dx = int_1^t sin(t-x) dx = ...$
In questa espressione il $2$ non compare. Continua i conti, non sono difficili.