Convoluzione
Quanto fa $sint oxchi_[[1,2]](t)$?
Risposte
Lavora nel dominio di Fourier... è molto più semplice.
Intendi che devo calcolare le $ccF$ trasformate di entrambe e poi farne il prodotto?
Esattamente.
Ok allora ottengo:
$1/(2j)*[delta(f-1/(2pi))-delta(f+1/(2pi))]*e^(-3pijf)*sinc(f)
(il secondo fattore l'ho ricavato da una formula nota,ma non capisco come avrei dovuto arrivarci applicando la definizione:suggerimenti?)
come faccio a tornare nel dominio del tempo?
$1/(2j)*[delta(f-1/(2pi))-delta(f+1/(2pi))]*e^(-3pijf)*sinc(f)
(il secondo fattore l'ho ricavato da una formula nota,ma non capisco come avrei dovuto arrivarci applicando la definizione:suggerimenti?)
come faccio a tornare nel dominio del tempo?
Attento che tra le due delta c'è un segno negativo. Per quanto riguarda il fatto che hai usato delle formule notevoli, è del tutto normale... è troppo noioso calcolare ogni volta a mano le trasformate. Dopo aver corretto il segno, in ogni caso, svolgi il prodotto e antitrasforma.
Dimostro la trasformata di Fourier della finestra,qualora interessasse a qualcuno
Osservato che $ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t)}(f)=sinc(f)
Dobbiamo ricondurre $chi_[[1,2]](t)$ ad una formula simile
dopo semplioci osservazioni si osserva che $chi_[[1,2]](t)=chi_[[-1/2,1/2]](t-3/2)$
per cui $ccF{chi_[[1,2]](t)}(f)=ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t-3/2)}(f)=e^(-2pijf3/2)*ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t)}(f)=e^(-3pijf)*sinc(f)
Osservato che $ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t)}(f)=sinc(f)
Dobbiamo ricondurre $chi_[[1,2]](t)$ ad una formula simile
dopo semplioci osservazioni si osserva che $chi_[[1,2]](t)=chi_[[-1/2,1/2]](t-3/2)$
per cui $ccF{chi_[[1,2]](t)}(f)=ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t-3/2)}(f)=e^(-2pijf3/2)*ccF{chi_[[-1/2,1/2]](t)}(f)=e^(-3pijf)*sinc(f)
"Kroldar":
Attento che tra le due delta c'è un segno negativo. Per quanto riguarda il fatto che hai usato delle formule notevoli, è del tutto normale... è troppo noioso calcolare ogni volta a mano le trasformate. Dopo aver corretto il segno, in ogni caso, svolgi il prodotto e antitrasforma.
e come si antitrasforma questa mostruosità?
Per la cronaca la mia domanda è partita dal seguente problema di Cauchy da risolvere per $t>=0$:
$y^('')+y=delta(t)+chi_[[1,2]](t)
$y^('')+y=delta(t)+chi_[[1,2]](t)
Allora fai così: usa la trasformata di Laplace...
$(s^2+1)Y=1+(e^(-s)-e^(-2s))/s$
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))$
Ora devi solo antitrasformare.
$(s^2+1)Y=1+(e^(-s)-e^(-2s))/s$
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))$
Ora devi solo antitrasformare.
"Kroldar":
Allora fai così: usa la trasformata di Laplace...
$(s^2+1)Y=1+(e^(-s)-e^(-2s))/s$
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))$
Ora devi solo antitrasformare.
Avevo provato a risolverlo così,ma il problema è antitrasformare il secondo addendo
Un'altra cosa
ma perchè $sint ox chi_[[1,2]](t)$ non è $int_1^2sin(t-tau)d tau$?
"Sturmentruppen":
ma perchè $sint ox chi_[[1,2]](t)$ non è $int_1^2sin(t-tau)d tau$?
Sì è giusto. In effetti non è troppo difficile da fare a mano.
"Sturmentruppen":
Avevo provato a risolverlo così,ma il problema è antitrasformare il secondo addendo
Vediamo...
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-1/(s^2+1))$
Antitrasformando si ha
$y(t) = sint+u(t-1)-u(t-2)-sin(t-1)+sin(t-2)$
dove $u(t)$ è il gradino unitario e dunque $u(t-1)-u(t-2)$ equivale alla finestra rettangolare che si aveva in origine.
"Kroldar":
[quote="Sturmentruppen"]
ma perchè $sint ox chi_[[1,2]](t)$ non è $int_1^2sin(t-tau)d tau$?
Sì è giusto. In effetti non è troppo difficile da fare a mano.[/quote]
Il probelma è che risolvendolo non compare la funzione gradino
"Kroldar":
[quote="Sturmentruppen"]
ma perchè $sint ox chi_[[1,2]](t)$ non è $int_1^2sin(t-tau)d tau$?
Sì è giusto. In effetti non è troppo difficile da fare a mano.
"Sturmentruppen":
Avevo provato a risolverlo così,ma il problema è antitrasformare il secondo addendo
Vediamo...
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-1/(s^2+1))$
Antitrasformando si ha
$y(t) = sint+u(t-1)-u(t-2)-sin(t-1)+sin(t-2)$
dove $u(t)$ è il gradino unitario e dunque $u(t-1)-u(t-2)$ equivale alla finestra rettangolare che si aveva in origine.[/quote]
Che sciocco,hai ragione....bastava utilizzare le formule di ritardo!
Se vuoi fare la convoluzione nel tempo, devi distinguere i vari casi... il segnale non ha la stessa espressione per ogni $t$.
Sinceramente lavorare nel tempo lo trovo macchinoso. Ti consiglio sempre di passare a un dominio trasformato.
Sinceramente lavorare nel tempo lo trovo macchinoso. Ti consiglio sempre di passare a un dominio trasformato.
"Sturmentruppen":
[quote="Kroldar"][quote="Sturmentruppen"]
ma perchè $sint ox chi_[[1,2]](t)$ non è $int_1^2sin(t-tau)d tau$?
Sì è giusto. In effetti non è troppo difficile da fare a mano.
"Sturmentruppen":
Avevo provato a risolverlo così,ma il problema è antitrasformare il secondo addendo
Vediamo...
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-1/(s^2+1))$
Antitrasformando si ha
$y(t) = sint+u(t-1)-u(t-2)-sin(t-1)+sin(t-2)$
dove $u(t)$ è il gradino unitario e dunque $u(t-1)-u(t-2)$ equivale alla finestra rettangolare che si aveva in origine.[/quote]
Che sciocco,hai ragione....bastava utilizzare le formule di ritardo![/quote]
credo che ci sia un errore,dovrebbe venire:
$y(t)=sint+H(t-1)-H(t-2)-cos(t-1)+cos(t-2)
Sì è vero. Avevo dimenticato una $s$ a numeratore 
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-s/(s^2+1))$
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-s/(s^2+1))$
"Kroldar":
Sì è vero. Avevo dimenticato una $s$ a numeratore
$Y=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))/(s(s^2+1))=1/(s^2+1)+(e^(-s)-e^(-2s))(1/s-s/(s^2+1))$
ok.
Andando a fare la verifica ho ottenuto che $y^('')+y=delta^{\prime}(t-1)-delta^{\prime}(t-2)+H(t-1)-H(t-2)
Le due funzioni di Heaviside rappresentano la $chi$,ma le due delta derivate,come fanno a diventare $delta(t)$?
Trattandosi di trasformata unilatera occorre tenere conto che ogni funzione va moltiplicata per il gradino, per cui si ha:
$y(t)=sintH(t)+H(t-1)-H(t-2)-cos(t-1)H(t-1)+cos(t-2)H(t-2)$
$y(t)=sintH(t)+H(t-1)-H(t-2)-cos(t-1)H(t-1)+cos(t-2)H(t-2)$
Volendolo fare con la convoluzione verrebbe così?
$sint ox chi_[[1,2]](t)=int_1^tH(t-tau)d tau+int_t^2H(t-tau)d tau+int_1^2H(t)*sin(t-tau) d tau=
$=int_(t-1)^0H(y)dy+int_0^(t-2)H(y)dy+H(t)*[cos(tau-t)]_1^2= $ (si è posto $t-tau=y$ nel primo e nel secondo)
$=H(0)-H(t-1)+H(t-2)-H(0)+H(t)*cos(t-2)-H(t)cos(t-1)=-H(t-1)+H(t-2)+H(t)cos(t-2)-H(t)cos(t-1)
$sint ox chi_[[1,2]](t)=int_1^tH(t-tau)d tau+int_t^2H(t-tau)d tau+int_1^2H(t)*sin(t-tau) d tau=
$=int_(t-1)^0H(y)dy+int_0^(t-2)H(y)dy+H(t)*[cos(tau-t)]_1^2= $ (si è posto $t-tau=y$ nel primo e nel secondo)
$=H(0)-H(t-1)+H(t-2)-H(0)+H(t)*cos(t-2)-H(t)cos(t-1)=-H(t-1)+H(t-2)+H(t)cos(t-2)-H(t)cos(t-1)
"Sturmentruppen":
Volendolo fare con la convoluzione verrebbe così?
$sint ox chi_[[1,2]](t)=int_1^tH(t-tau)d tau+int_t^2H(t-tau)d tau+int_1^2H(t)*sin(t-tau) d tau=
$=int_(t-1)^0H(y)dy+int_0^(t-2)H(y)dy+H(t)*[cos(tau-t)]_1^2= $ (si è posto $t-tau=y$ nel primo e nel secondo)
$=H(0)-H(t-1)+H(t-2)-H(0)+H(t)*cos(t-2)-H(t)cos(t-1)=-H(t-1)+H(t-2)+H(t)cos(t-2)-H(t)cos(t-1)
Ho scritto una grande bestialità
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