Convoluzione

fede.unive
Buongiorno a tutti. Premetto che è la prima volta che mi trovo a "stretto contatto" con le convoluzioni e che quindi potrei dire delle inesattezze. Fatto sta che su un libro trovo scritto:

"Sia $p_2(x)=int p(u)*p(x-u)$ $ text{d} u$ la doppia convoluzione (presumo di $p(u)$). Se $ p(u)={e^{-gamma}*gamma^{u}}/{u!}$ (ossia la variabile casuale di Poisson), viene ricavata la convoluzione per $x=u$ come

$p_2(u)={e^{-2*gamma}*(2*gamma)^u}/{u!}$

Partendo dal fatto che, ho visto su wikipedia, l'integrale della convoluzione dovrebbe essere un integrale definito, con estremi $-oo$ e $+oo$, anche aggiungendoli non so proprio come ottenere il risultato...Infatti:

$p_2(u)=int_{-oo}^{+oo} p(u)*p(u-u)$ $ text{d} u =int_{-oo}^{+oo} p(u)*p(0)$ $ text{d} u = int_{-oo}^{+oo} {e^{-gamma}*gamma^{u}}/{u!} * {e^{-gamma}*gamma^{0}}/{0!} text{d} u = e^{-2* gamma}*int_{-oo}^{+oo} {gamma^{u}}/{u!} text{d} u $

e onestamente non so proprio come svolgere...anche riscrivendo $u! = Gamma(u+1)$ onestamente non saprei proprio...
Qualche suggerimento?

Grazie in anticipo

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