Convergenza/divergenza di serie

[y7xj0m]

Ciao a tutti! Mi sto cimentando su esercizi sulle serie, ma ho ancora qualche difficolta'... Qualcuno potrebbe confermare i miei risultati? Facendo i conti mi risulta che la prima serie converge per \(\displaystyle k\geq2 \), la seconda diverge, mentre la terza converge. E' corretto?

Qui le serie:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (1-log(e+1/n))^k \), \(\displaystyle k \in \mathbb{N}-\{0\} \)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/\sqrt{n}} -1) \)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/n^{2/3}} -1) \)

Grazie mille

[y7xj0m]

ah ecco! viva le mie imprecisioni chiedo doppiamente venia
Sì era 3\2 e sì, tendeva a zero (pensavo già al cambio di variabile )
Per il resto il ragionamento usato è esattamente quello che hai detto!

[Plepp]

Ok ora ci capiamo Comunque mi sembra vada bene, ma ti conviene affidarti a pareri più autorevoli.

In sostanza, l'unica cosa che rimane da stabilire è se converge
\[\sum O(1/n^{3/2})\tag{S}\]
ché in questo caso abbiamo finito. Abbiamo, per definizione,
\[|O(1/n^{3/2})|0\]
Segue che la serie $("S")$ è assolutamente convergente (e quindi convergente), sei d'accordo?

[y7xj0m]

esattamente!