Convergenza/divergenza di serie
Ciao a tutti! 
Mi sto cimentando su esercizi sulle serie, ma ho ancora qualche difficolta'... Qualcuno potrebbe confermare i miei risultati? Facendo i conti mi risulta che la prima serie converge per \(\displaystyle k\geq2 \), la seconda diverge, mentre la terza converge. E' corretto?
Qui le serie:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (1-log(e+1/n))^k \), \(\displaystyle k \in \mathbb{N}-\{0\} \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/\sqrt{n}} -1) \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/n^{2/3}} -1) \)
Grazie mille
Mi sto cimentando su esercizi sulle serie, ma ho ancora qualche difficolta'... Qualcuno potrebbe confermare i miei risultati? Facendo i conti mi risulta che la prima serie converge per \(\displaystyle k\geq2 \), la seconda diverge, mentre la terza converge. E' corretto?Qui le serie:
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (1-log(e+1/n))^k \), \(\displaystyle k \in \mathbb{N}-\{0\} \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/\sqrt{n}} -1) \)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (e^{(-1)^n/n^{2/3}} -1) \)
Grazie mille
Risposte
sarebbe meglio se postassi in che modo sei arrivata a quie risultati, cosi ti si può aiutare ....
Anche la seconda converge, come la terza: vedi meglio... 
mah... sulla seconda non sono convinta che converga: con lo sviluppo di Taylor e usando il criterio del confronto con gli O-grande credo che si verifichi abbastanza facilmente!
La seconda e la terzo sono simili, del tipo
$sum_(n=1)^(oo)exp{((-1)^n/(f(n)))}-1$.
Ricordando il limite
$lim_(n->oo)n(exp(1/n)-1)=1$
diciamo che sono equivalenti a
$sum_(n=1)^(oo)(exp{((-1)^n/(f(n)))}-1)/(((-1)^n/(f(n))))((-1)^n/(f(n))) \~~ sum_(n=1)^(oo)((-1)^n/(f(n))) $
Nella seconda $f(n)=\sqrtn$ mentre nella terza $f(n)=n^(2/3)$.
Per entrambe $1/(f(n))$ è infinitesimo e per Leibniz convergono.
La prima va riscritta come:
$1-\log(e+1/(n))=1-\loge-\log(1+1/(en))=-\log(1+1/(en))\~~ -1/n, \ \ \ n->oo$
Quindi $\sum_(n=1)^(oo) (-1/n)^k$ converge sempre perchè con $k=1$ si hanno segni alterni, e con $k\ge 2 $ converge per confronto, ecc...
$$
$sum_(n=1)^(oo)exp{((-1)^n/(f(n)))}-1$.
Ricordando il limite
$lim_(n->oo)n(exp(1/n)-1)=1$
diciamo che sono equivalenti a
$sum_(n=1)^(oo)(exp{((-1)^n/(f(n)))}-1)/(((-1)^n/(f(n))))((-1)^n/(f(n))) \~~ sum_(n=1)^(oo)((-1)^n/(f(n))) $
Nella seconda $f(n)=\sqrtn$ mentre nella terza $f(n)=n^(2/3)$.
Per entrambe $1/(f(n))$ è infinitesimo e per Leibniz convergono.
La prima va riscritta come:
$1-\log(e+1/(n))=1-\loge-\log(1+1/(en))=-\log(1+1/(en))\~~ -1/n, \ \ \ n->oo$
Quindi $\sum_(n=1)^(oo) (-1/n)^k$ converge sempre perchè con $k=1$ si hanno segni alterni, e con $k\ge 2 $ converge per confronto, ecc...
$$
@Quinzio: mi sa che entrambi abbiamo fatto lo stesso errore...nella seconda (e anche nella terza) serie non si può utilizzare il confronto asintotico, ché $(-1)^n/\sqrt{n}$ non è a termini positivi...Bisognerebbe procedere in un altro modo 
@Quinzio:
è vero che la seconda serie è convergente, ma il modo in cui l'hai dimostrato non è corretto.
Hai infatti una serie \(\sum a_n\) a termini di segno alterno, con \(a_n \to 0\), ma per poter applicare il criterio di Leibniz devi dimostrare che \((|a_n|)_n\) è una successione (definitivamente) monotona decrescente.
Non basta far vedere che \(|a_n| \sim b_n\) con \((b_n)\) monotona decrescente.
è vero che la seconda serie è convergente, ma il modo in cui l'hai dimostrato non è corretto.
Hai infatti una serie \(\sum a_n\) a termini di segno alterno, con \(a_n \to 0\), ma per poter applicare il criterio di Leibniz devi dimostrare che \((|a_n|)_n\) è una successione (definitivamente) monotona decrescente.
Non basta far vedere che \(|a_n| \sim b_n\) con \((b_n)\) monotona decrescente.
Non mi è molto chiara la cosa. Capisco che la dimostrazione di Quinzio non vada bene, ma quella successione non è nella forma $(-1)^n a_n$ come vuole Leibnitz, o almeno così scritta non riesco a vedercela in quella forma 
@Plepp:
Beh, è certamente una serie a termini di segno alterno, dal momento che il termine generale è positivo per \(n\) pari e negativo per \(n\) dispari.
In particolare, la puoi scrivere nella forma \(\sum (-1)^n a_n\) con \(a_n>0\) dato da
\[
a_n := \begin{cases}
e^{1/\sqrt{n}}-1, & \text{se \(n\) è pari},\\
1 - e^{-1/\sqrt{n}}, & \text{se \(n\) è dispari}.
\end{cases}
\]
E' chiaro che questa successione converge a \(0\); per poter utilizzare il criterio di Leibniz bisogna però anche far vedere che è monotona decrescente.
Beh, è certamente una serie a termini di segno alterno, dal momento che il termine generale è positivo per \(n\) pari e negativo per \(n\) dispari.
In particolare, la puoi scrivere nella forma \(\sum (-1)^n a_n\) con \(a_n>0\) dato da
\[
a_n := \begin{cases}
e^{1/\sqrt{n}}-1, & \text{se \(n\) è pari},\\
1 - e^{-1/\sqrt{n}}, & \text{se \(n\) è dispari}.
\end{cases}
\]
E' chiaro che questa successione converge a \(0\); per poter utilizzare il criterio di Leibniz bisogna però anche far vedere che è monotona decrescente.
"Rigel":
@Quinzio:
è vero che la seconda serie è convergente, ma il modo in cui l'hai dimostrato non è corretto.
Hai infatti una serie \(\sum a_n\) a termini di segno alterno, con \(a_n \to 0\), ma per poter applicare il criterio di Leibniz devi dimostrare che \((|a_n|)_n\) è una successione (definitivamente) monotona decrescente.
Non basta far vedere che \(|a_n| \sim b_n\) con \((b_n)\) monotona decrescente.
Ok ok. E' vero.
"Rigel":
\[
a_n := \begin{cases}
e^{1/\sqrt{n}}-1, & \text{se \(n\) è pari},\\
1 - e^{-1/\sqrt{n}}, & \text{se \(n\) è dispari}.
\end{cases}
\]
E' chiaro che questa successione converge a \(0\); per poter utilizzare il criterio di Leibniz bisogna però anche far vedere che è monotona decrescente.
Ehggià! Hai ragione (quandomai...
). In altri termini \[a_n:= (-1)^n\cdot(e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1)\]
Ma mi pare che questa roba non è decrescente (per ogni $k$ è $a_{2k}\ge a_{2k-1}$), quindi Leibnitz non è la strada giusta.
" y7xj0m":
mah... sulla seconda non sono convinta che converga: con lo sviluppo di Taylor e usando il criterio del confronto con gli O-grande credo che si verifichi abbastanza facilmente!
Qualcuno mi fa un po' luce?
Allora, io avevo pensato di risolverla in modo un po' piu' sempliciotto a dire il vero
se \(\displaystyle e^t=1+t+t^2/2!+o(t^2) \) , per lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano), allora deve essere, con un cambio di variabile, che:
\(\displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 =(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+O(1/n^{2/3})\).
Ora, la serie di \(\displaystyle (-1)^n/\sqrt{n} \) converge perché \(\displaystyle 1/2>0 \), la serie di \(\displaystyle 1/n^{2/3} \) converge anche lei, mentre \(\displaystyle 1/2n \) diverge, quindi tutto il termine a sinistra dell'uguaglianza diverge, che è proprio quello che volevo dimostrare!
se \(\displaystyle e^t=1+t+t^2/2!+o(t^2) \) , per lo sviluppo di Taylor (con resto di Peano), allora deve essere, con un cambio di variabile, che:
\(\displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 =(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+O(1/n^{2/3})\).
Ora, la serie di \(\displaystyle (-1)^n/\sqrt{n} \) converge perché \(\displaystyle 1/2>0 \), la serie di \(\displaystyle 1/n^{2/3} \) converge anche lei, mentre \(\displaystyle 1/2n \) diverge, quindi tutto il termine a sinistra dell'uguaglianza diverge, che è proprio quello che volevo dimostrare!
Da dove salta fuori quel $2/3$? E cosa indichi con l'O-grande?
[size=85](e poi che vuol dire che la serie di $(-1)^n/\sqrt{n}$ converge perché $1/2>0$???)[/size]
[size=85](e poi che vuol dire che la serie di $(-1)^n/\sqrt{n}$ converge perché $1/2>0$???)[/size]
Allora, nel mio corso di Analisi è stata definita le seguente relazione di O-grande:
date due funzioni \(\displaystyle f,g: I-\{c\}\rightarrow \mathbb{R} , c\in{I}\) , si dice che \(\displaystyle f \in O(g) \) in \(\displaystyle c \) quando esiste \(\displaystyle M>0 \) tale che \(\displaystyle |f|\leqslant M|g| \) in \(\displaystyle I-\{c\} \)
Per quanto riguarda quella serie a segno alterno, si dimostra facilmente con Leibniz che \(\displaystyle 1/n^p \) converge per ogni \(\displaystyle p>0 \)
Almeno, se non ricordo male dovrebbe essere così... Ora vado a vedere cosa dice il De Marco...
date due funzioni \(\displaystyle f,g: I-\{c\}\rightarrow \mathbb{R} , c\in{I}\) , si dice che \(\displaystyle f \in O(g) \) in \(\displaystyle c \) quando esiste \(\displaystyle M>0 \) tale che \(\displaystyle |f|\leqslant M|g| \) in \(\displaystyle I-\{c\} \)
Per quanto riguarda quella serie a segno alterno, si dimostra facilmente con Leibniz che \(\displaystyle 1/n^p \) converge per ogni \(\displaystyle p>0 \)
Almeno, se non ricordo male dovrebbe essere così... Ora vado a vedere cosa dice il De Marco...
"Plepp":
In altri termini
\[a_n:= (-1)^n\cdot(e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1)\]
Ma mi pare che questa roba non è decrescente (per ogni $k$ è $a_{2k}\ge a_{2k-1}$), quindi Leibnitz non è la strada giusta.
A me sembra decrescente, ma potrei aver visto male.
" y7xj0m":
Per quanto riguarda quella serie a segno alterno, si dimostra facilmente con Leibniz che \(\displaystyle 1/n^p \) converge per ogni \(\displaystyle p>0 \)
Fossi in te scriverei questo, anziché quel che hai scritto su: così è chiaro
" y7xj0m":
Allora, nel mio corso di Analisi è stata definita le seguente relazione di O-grande:
date due funzioni \( \displaystyle f,g: I-\{c\}\rightarrow \mathbb{R} , c\in{I} \) , si dice che \( \displaystyle f \in O(g) \) in \( \displaystyle c \) quando esiste \( \displaystyle M>0 \) tale che \( \displaystyle |f|\leqslant M|g| \) in \( \displaystyle I-\{c\} \)
Ok ora ci siamo messi d'accordo sulle notazioni. Non capisco questo passaggio (forse perché non ho familiarità con gli O-grande):
" y7xj0m":
se \( \displaystyle e^t=1+t+t^2/2!+o(t^2) \) [...]
\( \displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 =(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+O(1/n^{2/3}) \).
Facendo un ragionamento sempliciotto, potrei dire questo: sviluppando $e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1$ si ha
\[e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1=(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+o(1/n)\]
Cerco di identificare diversamente questo $o(1/n)$; se $a_n=o(1/n)$, allora, per definizione, $n*a_n\to 0$, quindi fissato a piacere $\epsilon>0$ si ha definitivamente $|n*a_n|<\epsilon$, cioé $|a_n|<\epsilon/n$. In base alla tua definizione, ho quindi che $a_n=O(1/n)$, giusto? E che ce ne facciamo?
aspetta ho sbagliato, la serie \(\displaystyle 1/n^p \) converge per \(\displaystyle p>1 \), è quella a segni alterni che converge per \(\displaystyle p>0 \) chiedo venia...
Per quanto riguarda la seconda richiesta.. beh tutto discende dal fatto che puoi scrivere anche \(\displaystyle e^t=1+t+t^2/2!+O(t^3) \) ...se non ci credi basta applicare la definizione che ti ho dato! 
Ho modificato il post di sopra
Allora, il tuo ragionamento è corretto, ma non mi sembra che permetta di concludere...
Vogliamo mostrare che
\[ e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1=(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+o(1/n) \] implica che \[ \displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 =(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+O(1/n^{2/3}) \]
Cioè serve mostrare che \[ \displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 -(-1)^n/\sqrt{n}-1/2n \in{O(1/n^{2/3})} \]
Tuttavia ammetto che ho lasciato implicite troppe cose... ragioniamo con il caso \(\displaystyle e^t \) che è più snello e ci permette comunque di estendere il ragionamento facendo opportune sostituzioni.
andiamo avanti con l'espansione di Taylor:
\[e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+o(t^3)\]
Mostriamo che \[t^3/3!+o(t^3)\] è un \[O(t^3)\]
L'o-piccolo si può trascurare perché all'infinito tende a zero. Dopodiché scelgo per esempio M=1/2 e si ha:
\[|t^3/3!|<1/2|t^2|\] e questo permette di concludere. Va un po' meglio adesso?
Vogliamo mostrare che
\[ e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1=(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+o(1/n) \] implica che \[ \displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 =(-1)^n/\sqrt{n}+1/2n+O(1/n^{2/3}) \]
Cioè serve mostrare che \[ \displaystyle e^{(-1)^n/\sqrt{n}}-1 -(-1)^n/\sqrt{n}-1/2n \in{O(1/n^{2/3})} \]
Tuttavia ammetto che ho lasciato implicite troppe cose... ragioniamo con il caso \(\displaystyle e^t \) che è più snello e ci permette comunque di estendere il ragionamento facendo opportune sostituzioni.
andiamo avanti con l'espansione di Taylor:
\[e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+o(t^3)\]
Mostriamo che \[t^3/3!+o(t^3)\] è un \[O(t^3)\]
L'o-piccolo si può trascurare perché all'infinito tende a zero. Dopodiché scelgo per esempio M=1/2 e si ha:
\[|t^3/3!|<1/2|t^2|\] e questo permette di concludere. Va un po' meglio adesso?
Ah beh beh, ora è molto più chiaro, grazie 
Mi pare però che tu abbia scambiato un $3/2$ per un $2/3$, sbaglio?
Poi qui
All'infinito? Siamo vicini a zero qui...
Comunque, se ho capito bene, l'idea poi sarebbe quella di spezzare la serie in tre addendi, due dei quali convergono e uno dei quali diverge, per concludere che la serie diverge. Giusto?
Mi pare però che tu abbia scambiato un $3/2$ per un $2/3$, sbaglio?
Poi qui
L'o-piccolo si può trascurare perché all'infinito tende a zero
All'infinito? Siamo vicini a zero qui...
Comunque, se ho capito bene, l'idea poi sarebbe quella di spezzare la serie in tre addendi, due dei quali convergono e uno dei quali diverge, per concludere che la serie diverge. Giusto?
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