Convergenza uniforme successione
Ciao a tutti!
Devo svolgere il seguente esercizio ma non riesco a calcolare il sup della mia funzione.
Testo:
Si consideri la successione di funzioni così definita: $f_n(x)=(7-x)(x^n/7^n)$ con $x€[0,+oo]$. Si determini l'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite. Si discuta la convergenza uniforme in I ed eventualmente nei suoi sottoinsiemi.
Soluzione:
Insieme di convergenza.. io so che $|x^n|$ converge quando è $<=1$, quindi nel mio caso $|(x^n)/(7^n)|<=1$ quindi converge nell'insieme $I=[0,7]$ (poichè lo studio per $x>=0$)
Calcolo la funzione limite.. in $x=0$ ho che $f(x)=0$.. in $x=7$ ho che $f(x)=0$.. quindi agli estremi dell'intervallo converge a 0.. allora posso dire che ho convergenza puntuale in $I=[0,7]$ a $f(x)=0$.
Convergenza uniforme.. qui non sono più riuscito ad andare avanti.. per definizione ho che
$lim_(n->+oo)sup|(7-x)(x/7)^n-0|$
Però non ho ancora capito come faccio a calcolare il sup delle mie funzioni.
Grazie mille
Ciaoo!
Devo svolgere il seguente esercizio ma non riesco a calcolare il sup della mia funzione.
Testo:
Si consideri la successione di funzioni così definita: $f_n(x)=(7-x)(x^n/7^n)$ con $x€[0,+oo]$. Si determini l'insieme di convergenza puntuale e la funzione limite. Si discuta la convergenza uniforme in I ed eventualmente nei suoi sottoinsiemi.
Soluzione:
Insieme di convergenza.. io so che $|x^n|$ converge quando è $<=1$, quindi nel mio caso $|(x^n)/(7^n)|<=1$ quindi converge nell'insieme $I=[0,7]$ (poichè lo studio per $x>=0$)
Calcolo la funzione limite.. in $x=0$ ho che $f(x)=0$.. in $x=7$ ho che $f(x)=0$.. quindi agli estremi dell'intervallo converge a 0.. allora posso dire che ho convergenza puntuale in $I=[0,7]$ a $f(x)=0$.
Convergenza uniforme.. qui non sono più riuscito ad andare avanti.. per definizione ho che
$lim_(n->+oo)sup|(7-x)(x/7)^n-0|$
Però non ho ancora capito come faccio a calcolare il sup delle mie funzioni.
Grazie mille
Ciaoo!
Risposte
Ciao a tutti!
Dopo molti calcoli sono riuscito ad arrivare alla fine dell'esercizio
Se a qualcuno interessa questo è il procedimento che ho utilizzato..
La convergenza puntuale e l'insieme di convergenza li ho già determinati sopra.. Abbiamo visto che in ogni punto dell'intervallo di convergenza il limite risulta sempre $0$ quindi la funzione limite vale zero.
Adesso studio la convergenza uniforme. Dato che calcolare il sup di quella funzione non è semplicissimo allora utilizzo il metodo della derivata prima.
Derivando ottengo:
$f'(x)=(x/7)^n[((7-x)n)/x)-1]$
e ponendo la derivata $>=0$ risulta
$x>=0$ e $x<=(7n)/(n+1)$ mettendo tutto nella tabella dei segni vedo che il massimo è in $x=(7n)/(n+1)$
Adesso vado a sostituire il valore del massimo all'interno del mio modulo e calcolo il limite.. quindi avremo che:
$lim_(n->+oo)sup |(7-x)(x/7)^n|=lim_(x->+oo)(7/(n+1))=0$
Essendo il limite uguale a zero allora ho trovato che la successione converge uniformemente!
Ciaoo!
Dopo molti calcoli sono riuscito ad arrivare alla fine dell'esercizio
Se a qualcuno interessa questo è il procedimento che ho utilizzato..
La convergenza puntuale e l'insieme di convergenza li ho già determinati sopra.. Abbiamo visto che in ogni punto dell'intervallo di convergenza il limite risulta sempre $0$ quindi la funzione limite vale zero.
Adesso studio la convergenza uniforme. Dato che calcolare il sup di quella funzione non è semplicissimo allora utilizzo il metodo della derivata prima.
Derivando ottengo:
$f'(x)=(x/7)^n[((7-x)n)/x)-1]$
e ponendo la derivata $>=0$ risulta
$x>=0$ e $x<=(7n)/(n+1)$ mettendo tutto nella tabella dei segni vedo che il massimo è in $x=(7n)/(n+1)$
Adesso vado a sostituire il valore del massimo all'interno del mio modulo e calcolo il limite.. quindi avremo che:
$lim_(n->+oo)sup |(7-x)(x/7)^n|=lim_(x->+oo)(7/(n+1))=0$
Essendo il limite uguale a zero allora ho trovato che la successione converge uniformemente!
Ciaoo!
La successione assegnata converge in \(]-7,7]\), puntualmente ma non uniformemente; tuttavia la convergenza è uniforme su ogni compatto contenuto in \(]-7,7[\)...
Quindi mi sa che devi rivedere un po' il tuo approccio all'esercizio.
Quindi mi sa che devi rivedere un po' il tuo approccio all'esercizio.
Ciao!
La soluzione del tema esame è:
La soluzione che ho proposto combacia con il risultato.. però non vorrei fosse un caso
Grazie
Ciao!
La soluzione del tema esame è:
La soluzione che ho proposto combacia con il risultato.. però non vorrei fosse un caso
Grazie
Ciao!
Non avevo visto il vincolo \(x\geq 0\)... In tal caso la soluzione è corretta, poiché è proprio quel vincolo a salvarti la convergenza uniforme.
Per provarlo, prova a dimostrare che in \(J:=]-7,7[\) (che è, in un certo senso, l'insieme di convergenza "naturale" per la tua successione) non c'è convergenza uniforme.
Per provarlo, prova a dimostrare che in \(J:=]-7,7[\) (che è, in un certo senso, l'insieme di convergenza "naturale" per la tua successione) non c'è convergenza uniforme.
Ciao!
Grazie mille.. A dir la verità ho anche sbagliato a scrivere perchè si tratta si una successione e non di una serie
Domani con foglio alla mano provo a calcolarmi anche la somma della serie
Grazie
Ciaoo
Grazie mille.. A dir la verità ho anche sbagliato a scrivere perchè si tratta si una successione e non di una serie
Domani con foglio alla mano provo a calcolarmi anche la somma della serie
Grazie
Ciaoo
Allora correggi il testo del problema nel primo post.
Gli altri utenti potrebbero confondersi.
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Fatto
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