Convergenza uniforme per successioni
Ciao a tutti,
ho dei dubbi sulla convergenza uniforme per le successioni di funzioni....
Ho un esempio sul quaderno:
$f_n(x)=x^(1/n)$ con $x$ appartenente a $[0, 1]$
$ lim_(n -> +oo) f_n(x)=f(x)$
Dove $f(x)= 1$ se $x$ $ in$ $(0, 1]$
$f(x)=0$ se $x=0$
Quindi converge puntualmente, ma non converge uniformemente poichè:
$Sup|f_n(x)-f(x)|=1$
E questo non riesco a capire, perché uguale ad uno? se io faccio $|f_n(x)-f(x)|$ e poi derivo e pongo uguale a 0 esce x=0 e facendo poi il limite per $n->+oo$ esce 0 quindi non converge uniformemente?
ho dei dubbi sulla convergenza uniforme per le successioni di funzioni....
Ho un esempio sul quaderno:
$f_n(x)=x^(1/n)$ con $x$ appartenente a $[0, 1]$
$ lim_(n -> +oo) f_n(x)=f(x)$
Dove $f(x)= 1$ se $x$ $ in$ $(0, 1]$
$f(x)=0$ se $x=0$
Quindi converge puntualmente, ma non converge uniformemente poichè:
$Sup|f_n(x)-f(x)|=1$
E questo non riesco a capire, perché uguale ad uno? se io faccio $|f_n(x)-f(x)|$ e poi derivo e pongo uguale a 0 esce x=0 e facendo poi il limite per $n->+oo$ esce 0 quindi non converge uniformemente?
Risposte
Questa operazione di derivare e porre = 0 non l'ho capita.
La convergenza non è uniforme perche $0^n = 0$, $ \forall n$, mentre nel resto dell'intervallo la funzione si avvicina sempre di più a 1 quando $n \to +oo$.
Ma $f(x)$ cos'è per te ?
La convergenza non è uniforme perche $0^n = 0$, $ \forall n$, mentre nel resto dell'intervallo la funzione si avvicina sempre di più a 1 quando $n \to +oo$.
Ma $f(x)$ cos'è per te ?
$f(x)$ è il limite puntuale, il fatto di derivare e porre uguale a zero era per trovare il punto di massimo e quindi il sup
La convergenza è uniforme se riesci a scrivere $n$ solo in funzione di $\epsilon$, senza la $x$ nella formula.
Ma qui non ci si riesce perchè se tu mi definisci una formula per $n$, è sufficiente che avvicini $x$ a 0 perchè qualunque formula non sia più valida.
E' un giochino. E' come dire, dato $\epsilon = 10^{-5}$ qual è un numero $N$ tale che con $n>N \rightarrow (|f_n(x)-f(x)|<\epsilon)$.
Ad esempio tu mi dici $N=10^6$ perchè hai visto che se $x=0.1$ hai con $n>N$, $f_n(x)>0.99999$
Prova con $x=10^{-6}$ e vedi che non è più vero, e così via....
Ma qui non ci si riesce perchè se tu mi definisci una formula per $n$, è sufficiente che avvicini $x$ a 0 perchè qualunque formula non sia più valida.
E' un giochino. E' come dire, dato $\epsilon = 10^{-5}$ qual è un numero $N$ tale che con $n>N \rightarrow (|f_n(x)-f(x)|<\epsilon)$.
Ad esempio tu mi dici $N=10^6$ perchè hai visto che se $x=0.1$ hai con $n>N$, $f_n(x)>0.99999$
Prova con $x=10^{-6}$ e vedi che non è più vero, e così via....
Mettiamo allora che mi fosse stata data la stessa serie con lo stesso dominio della x con però x diverso da 0, allora questa era uniformemente convergente?
Cioè a questo punto io dovrei applicare le formula
$ lim_(n ->+oo) Sup|x^(1/n)-1| $
e devo dimostrare che è uguale a zero, come dovrei fare in questo caso?
Cioè a questo punto io dovrei applicare le formula
$ lim_(n ->+oo) Sup|x^(1/n)-1| $
e devo dimostrare che è uguale a zero, come dovrei fare in questo caso?
"kotek":
Mettiamo allora che mi fosse stata data la stessa serie con lo stesso dominio della x con però x diverso da 0, allora questa era uniformemente convergente?
si, con un intervallo del tipo $[a,1]$, $a \ne 0$
Cioè a questo punto io dovrei applicare le formula
$ lim_(n ->+oo) Sup|x^(1/n)-1| $
e devo dimostrare che è uguale a zero, come dovrei fare in questo caso?
Vuoi provarci tu ?
Ci provo allora io ho:
$g(x)=x^(1/n)-1$
per trovare il sup devo derivare? Quindi:
$g'(x)=1/nx^(1/n-1)$
adesso devo trovare il punto di massimo devo porre uguale a 0? e quindi non ottengo x=0? Che significa questo?
$g(x)=x^(1/n)-1$
per trovare il sup devo derivare? Quindi:
$g'(x)=1/nx^(1/n-1)$
adesso devo trovare il punto di massimo devo porre uguale a 0? e quindi non ottengo x=0? Che significa questo?
No devi partire dalla definizione di c. uniforme. La scrivi tu ?
Definisci un $\epsilon$.... poi....
Definisci un $\epsilon$.... poi....
Quindi è sbagliata la formula:
$ lim_(n -> +oo) Sup|f_n(x)-f(x)|=0 $ ?
$ lim_(n -> +oo) Sup|f_n(x)-f(x)|=0 $ ?
Se mai con un intervallo del tipo $[a,1]$ dove $a>0$.
Se una successione di funzioni non converge uniformemente in un intervallo, non converge uniformemente nemmeno nello stesso intervallo a cui è stato tolto un numero finito di punti. Ragion per cui devi escludere almeno un intorno destro dell'origine.
Infatti: $Sup_(x in (0,1]) |x^(1/n)-1|= lim_(x-> 0^+) |e^(lnx/n)-1| = 1 $ e questo vale per ogni $n$!!
Se una successione di funzioni non converge uniformemente in un intervallo, non converge uniformemente nemmeno nello stesso intervallo a cui è stato tolto un numero finito di punti. Ragion per cui devi escludere almeno un intorno destro dell'origine.
Infatti: $Sup_(x in (0,1]) |x^(1/n)-1|= lim_(x-> 0^+) |e^(lnx/n)-1| = 1 $ e questo vale per ogni $n$!!
"kotek":
Quindi è sbagliata la formula:
$ lim_(n -> +oo) Sup|f_n(x)-f(x)|=0 $ ?
Non va bene dire che deve essere "= 0". Devi capire la definizione, scritta bene con l'$\epsilon$, che mi sembra che non hai capito bene.
"Giuly19":
Se mai con un intervallo del tipo $[a,1]$ dove $a>0$.
Se una successione di funzioni non converge uniformemente in un intervallo, non converge uniformemente nemmeno nello stesso intervallo a cui è stato tolto un numero finito di punti. Ragion per cui devi escludere almeno un intorno destro dell'origine.
Infatti: $Sup_(x in (0,1]) |x^(1/n)-1|= lim_(x-> 0^+) |e^(lnx/n)-1| = 1 $ e questo vale per ogni $n$!!
Grazie, ci manca solo che andiamo ad elevare un numero negativo che già è frazionario minore di uno a una potenza frazionaria.
Dai è chiaro che parlavamo di un intervallo [a,1] che sia più piccolo di [0,1]
E poi così facendo togli un numero infinito di punti che sarebbe l'intervallo [0,a]-
Sì ma non basta togliere solo l'origine, è questo l'importante.
Magari tu lo sai, ma kotek da quello che scrive non l'ha capito e tu non gliel'hai fatto notare!
Lo so che mi odi, ma pensa che lo faccio per il bene della matematica!
Magari tu lo sai, ma kotek da quello che scrive non l'ha capito e tu non gliel'hai fatto notare!
Lo so che mi odi, ma pensa che lo faccio per il bene della matematica!
Ok, alzo bandiera bianca.
Secondo te il suo dubbio è capire la sottile differenza tra togliere un numero finito di punti invece che un piccolo intervallo ?
Già se riesce ad esplicitare N è tanto.
Comunque si, la tua osservazione è giusta, ci mancherebbe.
PS. Io odiare chi ? Ma se non ti conosco neanche... di che stiamo parlando ?
Secondo te il suo dubbio è capire la sottile differenza tra togliere un numero finito di punti invece che un piccolo intervallo ?
Già se riesce ad esplicitare N è tanto.
Comunque si, la tua osservazione è giusta, ci mancherebbe.
PS. Io odiare chi ? Ma se non ti conosco neanche... di che stiamo parlando ?
Vado OT per un solo messaggio:
ho notato che quando vedo scritte cose imprecise o sbagliate molto spesso non riesco a rispondere in modo gentile e affatto scontroso XD, quindi ho messo le mani avanti rispetto alle mie prime due righe di messaggio
In ogni caso: sono d'accordo sul fatto che i suoi problemi concettuali vadano oltre la "sottigliezza" di questa osservazione (che poi se ci pensi bene tanto sottile non è), ma sul mio libro ricordo comparisse tra le prime tre pagine del capitolo sulle successioni di funzioni, quindi non mi sembra una cosa su cui andare tanto alla leggera!
ho notato che quando vedo scritte cose imprecise o sbagliate molto spesso non riesco a rispondere in modo gentile e affatto scontroso XD, quindi ho messo le mani avanti rispetto alle mie prime due righe di messaggio
In ogni caso: sono d'accordo sul fatto che i suoi problemi concettuali vadano oltre la "sottigliezza" di questa osservazione (che poi se ci pensi bene tanto sottile non è), ma sul mio libro ricordo comparisse tra le prime tre pagine del capitolo sulle successioni di funzioni, quindi non mi sembra una cosa su cui andare tanto alla leggera!
Cancellato. 
Mi spiace deluderti ma sono un ragazzo! E qua una bella risata me la sono fatta XD, un giorno cambierò questo maledetto nickname!
Direi basta off topic o kotek smetterà di rispondere a questa discussione se andiamo avanti così!
Direi basta off topic o kotek smetterà di rispondere a questa discussione se andiamo avanti così!
Allora i dubbi si sono magicamente duplicati....
1. Che differenza c'è tra prendere (0,1] e [a,1] con a>0?
2. Per quanto riguarda il problema iniziale allora la definizione di c. uniforme dice che una successione converge uniformemente se riesco a trovare un indice v tale che quando n>v ho che per tutti gli x appartenenti all'intorno dato si verifica che $|f_n(x)- f(x)|< epsilon$ con $epsilon>0$. Giusto? Quindi non capisco.....
3. Perché se una successione non converge uniformemente in un intervallo non converge uniformemente anche in un stesso intervallo dove gli sono stati tolti un numero finito di punti?
1. Che differenza c'è tra prendere (0,1] e [a,1] con a>0?
2. Per quanto riguarda il problema iniziale allora la definizione di c. uniforme dice che una successione converge uniformemente se riesco a trovare un indice v tale che quando n>v ho che per tutti gli x appartenenti all'intorno dato si verifica che $|f_n(x)- f(x)|< epsilon$ con $epsilon>0$. Giusto? Quindi non capisco.....
3. Perché se una successione non converge uniformemente in un intervallo non converge uniformemente anche in un stesso intervallo dove gli sono stati tolti un numero finito di punti?
1. Per il momento lascia perdere
2. Riesci a mettere al posto di $f_n(x)$ e $f(x)$ le loro espressioni ? Dopo devi risolvere la disequazione esplicitando n. Alla fine vedrai che ci arriviamo (pian piano).
3. Vedi 1.
2. Riesci a mettere al posto di $f_n(x)$ e $f(x)$ le loro espressioni ? Dopo devi risolvere la disequazione esplicitando n. Alla fine vedrai che ci arriviamo (pian piano).
3. Vedi 1.
2. Sostituendo ottengo:
per x $in$ $(0,1 ]$
$|x^(1/n)-1|
e quindi n>0?
mentre per x=0
Non posso definire un n
Giusto?
per x $in$ $(0,1 ]$
$|x^(1/n)-1|
e quindi n>0?
mentre per x=0
Non posso definire un n
Giusto?
Avevamo detto $x = [a,1]$
e poi dovresti esplicitare n. Si può fare benissimo.
e poi dovresti esplicitare n. Si può fare benissimo.
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