Convergenza uniforme per successioni

[kotek]

Ciao a tutti,
ho dei dubbi sulla convergenza uniforme per le successioni di funzioni....
Ho un esempio sul quaderno:

$f_n(x)=x^(1/n)$ con $x$ appartenente a $[0, 1]$

$ lim_(n -> +oo) f_n(x)=f(x)$

Dove $f(x)= 1$ se $x$ $ in$ $(0, 1]$

$f(x)=0$ se $x=0$

Quindi converge puntualmente, ma non converge uniformemente poichè:

$Sup|f_n(x)-f(x)|=1$

E questo non riesco a capire, perché uguale ad uno? se io faccio $|f_n(x)-f(x)|$ e poi derivo e pongo uguale a 0 esce x=0 e facendo poi il limite per $n->+oo$ esce 0 quindi non converge uniformemente?

[kotek]

Allora consideriamo $[a,1]$

Per la definizione data in precedenza $|x^(1/n)-1|
quindi $ e^(ln(1-epsilon))
Giusto?
Quindi
$ln(1-epsilon)/lnx<1/n giusto?

[Quinzio]

Direi di no.
Pero' la direzione è quella.
Devi saper risolvere la disequazione. (x è come una costante).

[kotek]

Ho modificato adesso va bene?

[Quinzio]

No, hai messo $\epsilon= x^(ln(1+epsilon))$ o qualcosa di simile

Mi sa che hai barato

[kotek]

Ho modificato ancora, fino a questo punto andiamo bene?

[Quinzio]

Ok, quindi n > ?

[kotek]

Quindi:
$lnx/ln(1+epsilon)
e non mi trovo perché se x=1 $lnx=0$

[Quinzio]

C'era un errore anche prima... purtroppo. Hai diviso tutto per $ln x$, e questo va bene.
Pero' $ln x$ è <0 oppure >0 ? Quindi ?
Riparti da qui
$ ln(1-epsilon)

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[kotek]

$lnx <0$ no?
Quindi....che fatica....n è positivo non dipende da x?

[Quinzio]

No, se dividi per un numero negativo cosa fa la disequazione ?

[kotek]

Diventa $ln(1+epsilon)<1/nlnx

Cita

Segnala

[Quinzio]

e $ln x$ ?? è sparito !

[kotek]

Scusa me la ero dimenticata. Non riesco a concludere, scusa la mia incapacità

[Quinzio]

Dai lo faccio io cosi' te lo guardi con calma:

$ln(1-\epsilon) < 1/n ln x < ln(1+\epsilon) $

divido $ln x$, giro i versi perchè $ln x< 0$

$(ln(1-\epsilon))/(ln x) >1/n >(ln(1+\epsilon))/(ln x) $

ribalto tutto, quindi i versi girano ancora e devo introdurre l'unione delle due disequazioni
$[(ln x)/(ln(1-\epsilon)) < n ] U [n <(ln x)/(ln(1+\epsilon))] $

La parte a destra non può essere soddisfatta per nessun n perchè $n>0$, per cui rimane
$(ln x)/(ln(1-\epsilon)) < n $

Poi, siccome $ln (1+ y) \approx y $
posso scrivere

$(ln x)/(-\epsilon) < n $

che lo stesso di $n > (ln x)/(-\epsilon) $

Quindi ritorna l'intervallo $x=[a,1]$
Qual è il caso peggiore tra a e 1 ? Cioè quello che mi rende n più grande ?
Con 1 come dicevi anche tu $ln 1 = 0$ per cui non è quello
Allora $n > (ln a)/(-\epsilon) $
che dovevamo scrivere meglio con N grande
$N > (ln a)/(-\epsilon) $

Con $n>N$ la $(1-f_n(x))<\epsilon$
Ecco qua la convergenza uniforme.
x è sparito ? Si ?!!!!!
Bene, allora la convergenza è uniforme.

[kotek]

Wooow grazie mille!! che fatica che avrai fatto! GRAZIE!
Posso farti un'altra domanda? Non capisco allora quando posso usare la formula
$lim_(n->+oo) Sup|f_n(x)-f(x)|=0$

[kotek]

aaa e poi quel fatto della differenza tra $(0,1]$ e $[a,1]$ con a>0

[Quinzio]

"kotek":aaa e poi quel fatto della differenza tra $(0,1]$ e $[a,1]$ con a>0

L'ultimo però...

Rispondi a questa domanda: mi dici qual è il numero più piccolo nell'intervallo $(0,1]$ ?

[kotek]

"Quinzio":Rispondi a questa domanda: mi dici qual è il numero più piccolo nell'intervallo (0,1] ?

Giustamente....posso prenderne sempre uno più piccolo.

Mentre per l'altra domanda?

[Quinzio]

"kotek":Wooow grazie mille!! che fatica che avrai fatto! GRAZIE!
Posso farti un'altra domanda? Non capisco allora quando posso usare la formula
$lim_(n->+oo) Sup|f_n(x)-f(x)|=0$

e questa secondo me confonde solo le idee, è la stessa cosa di:
$lim_(n->+oo) f_n(x) = f(x)$

va benissimo non è sbagliata, se capisci cosa vuol dire la usi, altrimenti non serve a molto.

[kotek]

Grazie mille! Scusami per tutto il tempo che ti ho fatto perdere