Convergenza uniforme di una serie
Ciao a tutti (:
Ho qualche problema nel dimostrare che la serie
$$ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2 x}$$
converga uniformemente su $(0,\infty)$.
Secondo me su $[1,\infty)$ non ci sono problemi. Il punto è che se $x$ è molto vicino a $0$ non so come fare.
La mia idea è quella di far vedere che è uniformemente di Cauchy:
$\forall \epsilon > 0 \ \exists \bar{n} \in \mathbb{N} \text{ tale che } \forall x > 0 \forall n,m > \bar{n} \text{ si ha: }$
$$| \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2 x} - \sum_{k=1}^{m} e^{-k^2 x} | < \epsilon.$$
Cioè supponendo $n>m$:
$$ \sum_{k=m}^{n} e^{-k^2 x} < \epsilon \,,$$
e da qui non so come fare.
Qualcuno sa come aiutarmi? Anche con un altro modo (:
Grazie mille (: (:
Ho qualche problema nel dimostrare che la serie
$$ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n^2 x}$$
converga uniformemente su $(0,\infty)$.
Secondo me su $[1,\infty)$ non ci sono problemi. Il punto è che se $x$ è molto vicino a $0$ non so come fare.
La mia idea è quella di far vedere che è uniformemente di Cauchy:
$\forall \epsilon > 0 \ \exists \bar{n} \in \mathbb{N} \text{ tale che } \forall x > 0 \forall n,m > \bar{n} \text{ si ha: }$
$$| \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2 x} - \sum_{k=1}^{m} e^{-k^2 x} | < \epsilon.$$
Cioè supponendo $n>m$:
$$ \sum_{k=m}^{n} e^{-k^2 x} < \epsilon \,,$$
e da qui non so come fare.
Qualcuno sa come aiutarmi? Anche con un altro modo (:
Grazie mille (: (:
Risposte
Secondo me converge uniformemente sugli intervalli $[a,\infty)$ con $a>0$, non su tutto $(0, \infty)$.
Grazie @dissonance (:
E come dimostri che su $(0,a)$ non converge uniformemente?
E come dimostri che su $(0,a)$ non converge uniformemente?
Tutti gli addendi sono funzioni limitate, quindi se ci fosse convergenza uniforme la somma dovrebbe essere una funzione limitata.
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