Convergenza Uniforme
Ciao, speriamo che qualcuno mi sappia dare una mano...
il teorema per sapere se una serie è unif convergente ad un certo punto piazza questa:
sup su B | f n (x) - f (x)|
dicendo appunto che devo trovare il sup di quella roba li...
ora...
se io ho una serie del tipo: x / e ^ (nx)
e so ke converge puntualmente in [0, + inf[
mi dite come procedere per verificare se converge uniformemente? xkè dalla spiegazione che fece il prof non capisco come andare avanti
xkè lui il passaggio dopo scrive: sup x >= 0 |x/e^nx - 0|
ma non capisco da dove esce quello 0 -.-"
il teorema per sapere se una serie è unif convergente ad un certo punto piazza questa:
sup su B | f n (x) - f (x)|
dicendo appunto che devo trovare il sup di quella roba li...
ora...
se io ho una serie del tipo: x / e ^ (nx)
e so ke converge puntualmente in [0, + inf[
mi dite come procedere per verificare se converge uniformemente? xkè dalla spiegazione che fece il prof non capisco come andare avanti
xkè lui il passaggio dopo scrive: sup x >= 0 |x/e^nx - 0|
ma non capisco da dove esce quello 0 -.-"
Risposte
beh, se fosse una serie di termine generale $(x)/(e^{nx}$ non lo saprei neanch'io...
dal contesto di quello che scrivi, mi sa che si sta parlando di una successione di funzioni
se così fosse, la successione di funzioni $f_n(x) = (x)/(e^{nx}$ converge puntualmente alla funzione nulla su $[0,+oo[$ e quindi ecco che spunta fuori lo $0$: devi trovare (ma è sufficiente maggiorare) il sup su $[0,+oo[$ di $| (x)/(e^{nx}) - 0|$
PS: benvenuto nel forum
dal contesto di quello che scrivi, mi sa che si sta parlando di una successione di funzioni
se così fosse, la successione di funzioni $f_n(x) = (x)/(e^{nx}$ converge puntualmente alla funzione nulla su $[0,+oo[$ e quindi ecco che spunta fuori lo $0$: devi trovare (ma è sufficiente maggiorare) il sup su $[0,+oo[$ di $| (x)/(e^{nx}) - 0|$
PS: benvenuto nel forum
"Fioravante Patrone":
se così fosse, la successione di funzioni $f_n(x) = (x)/(e^{nx}$ converge puntualmente alla funzione nulla
scusa a me hanno detto che: fissato un $bar x in A$ e considerando la successione $f_n(bar x)$ dobbiamo controllare che $f_n(bar x)$ converga a $L in RR$. Qundi se $f_n(bar x)$ converge in $bar x$ a L se per ogni $bar x in B$ si ha che: $lim_(n-->0) f_n(bar x) = f(bar x)$
ora... questa è la "definizione" poi però vedo che nell'esercizio L deve essere zero .. e non ho capito il perchè ...
cmq sia, anche se nonho capito il xkè, almeno sul fatto che la successione converge puntalmente in $
"Fioravante Patrone":
[quote="Fioravante Patrone"]
su $[0,+oo[$ e quindi ecco che spunta fuori lo $0$: devi trovare (ma è sufficiente maggiorare) il sup su $[0,+oo[$ di $| (x)/(e^{nx}) - 0|$
qui continuo a non capire xkè venga zero
"Fioravante Patrone":[/quote]
PS: benvenuto nel forum
grazie
per $bar x = 0$, $f_n(bar x) = (bar x)/(e^{n bar x}) = 0$ e quindi converge a $0$.
per ogni $bar x > 0$, $f_n(bar x) = (bar x)/(e^{n bar x})$ converge a $0$.
per ogni $bar x > 0$, $f_n(bar x) = (bar x)/(e^{n bar x})$ converge a $0$.
"Fioravante Patrone":
per $bar x = 0$, $f_n(bar x) = (bar x)/(e^{n bar x}) = 0$ e quindi converge a $0$.
per ogni $bar x > 0$, $f_n(bar x) = (bar x)/(e^{n bar x})$ converge a $0$.
ma questa cosa la deduci quando stai controllando la conv puntuale, vero?
un altra cosa..avendo quest'altra successione: $e^(nx)$ e sapendo che converge puntualmente in $]-oo,0]$ il prof dice che avremo che $f(x) = 0 $ per $x<0$ e $f(x)=1$ per $x=0$
ora poi dice che se l'intervallo di conv. puntuale fosse $]-oo,0[$ avremmo solo $f(x)=0$ e mi chiedo.. avremmo questo risultato perchè nella conv. puntuale $e^(nx) --> 0$ per $x<0$?
"ma questa cosa la deduci quando stai controllando la conv puntuale, vero?"
si
"un altra cosa..avendo quest'altra successione: $e^(nx)$ e sapendo che converge puntualmente in $]-oo,0]$ il prof dice che avremo che $f(x) = 0 $ per $x<0$ e $f(x)=1$ per $x=0$"
si
"ora poi dice che se l'intervallo di conv. puntuale fosse $]-oo,0[$ avremmo solo $f(x)=0$ e mi chiedo.. avremmo questo risultato perchè nella conv. puntuale $e^(nx) --> 0$ per $x<0$?"
si
si
"un altra cosa..avendo quest'altra successione: $e^(nx)$ e sapendo che converge puntualmente in $]-oo,0]$ il prof dice che avremo che $f(x) = 0 $ per $x<0$ e $f(x)=1$ per $x=0$"
si
"ora poi dice che se l'intervallo di conv. puntuale fosse $]-oo,0[$ avremmo solo $f(x)=0$ e mi chiedo.. avremmo questo risultato perchè nella conv. puntuale $e^(nx) --> 0$ per $x<0$?"
si
piccola domanda... ma quando devo disegnare $e^(nx)$ come faccio?
cioè prendo sempre x e y come riferimenti? se si.. quel $nx$ come lo devo trattare?
scusatemi ma non ho capito una mazza di ste successioni
cioè prendo sempre x e y come riferimenti? se si.. quel $nx$ come lo devo trattare?
scusatemi ma non ho capito una mazza di ste successioni
"19semplicemente":
piccola domanda... ma quando devo disegnare $e^(nx)$ come faccio?
cioè prendo sempre x e y come riferimenti? se si.. quel $nx$ come lo devo trattare?
scusatemi ma non ho capito una mazza di ste successioni
Tu hai a che fare con una successione di funzioni, vale a dire con una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali e come codominio l'insieme delle funzioni da R in R.
Nel caso in questione questa legge associa
al numero naturale n=1 la funzione e^x
al numero naturale n=2 la funzione e^2x
al numero naturale n=3 la funzione e^3x
...
Se vuoi dare una rappresentazione grafica di questa successione di funzioni quindi devi rappresentare, nel solito piano x - y, tante funzioni diverse (infinite ovviamente, ma tu per ovvie ragioni pratiche ti puoi limitare a disegnarne un numero congruo
, cioè fino ad un certo valore di n)
"piccola domanda... ma quando devo disegnare $e^(nx)$ come faccio?
cioè prendo sempre x e y come riferimenti?"
certo. Avere una successione di funzioni vuol dire avere tante funzini, una per ogni $n \in NN$
nel tuo caso, hai:
- per $n=1$ la funzione $e^x$
- per $n=2$ la funzione $e^(2x)$
- per $n=3$ la funzione $e^(3x)$
e così via...
non mi sembra così difficile disegnarne il grafico
mi sembra che tu ti faccia un problema più grosso di quanto non meriti
con adeguata calma e riflessione i mostri spariranno
cioè prendo sempre x e y come riferimenti?"
certo. Avere una successione di funzioni vuol dire avere tante funzini, una per ogni $n \in NN$
nel tuo caso, hai:
- per $n=1$ la funzione $e^x$
- per $n=2$ la funzione $e^(2x)$
- per $n=3$ la funzione $e^(3x)$
e così via...
non mi sembra così difficile disegnarne il grafico
mi sembra che tu ti faccia un problema più grosso di quanto non meriti
con adeguata calma e riflessione i mostri spariranno
oops! quasi in simultanea!!!
e praticamente identico post...
e praticamente identico post...
Ho letto velocemente, ma mi sembra di non aver letto che:
Una successione di funzioni converge uniformemente alla funzione se e solo se il limite per n che va ad infinito del sup |$f_{n}(x)-f(x)|=0$
Una successione di funzioni converge uniformemente alla funzione se e solo se il limite per n che va ad infinito del sup |$f_{n}(x)-f(x)|=0$
Ricordo che il mio professore di Analisi funzionale ci diceva che studiare le successioni di funzioni è come andare al cinema. Infatti è come la pellicola di un film, il quale viene una rapidissima sequenza di immagini che danno come risultato un film; e così è una successione di funzioni, basta pensare a far scorrere l'indice $n$ e vedere come si muovono i grafici delle funzioni.
Scusate l'intromissione, ma questa similitudine mi ha colpito.
Scusate l'intromissione, ma questa similitudine mi ha colpito.
"Fioravante Patrone":
oops! quasi in simultanea!!!
e praticamente identico post...
per essere sabato sera... non mi aspettavo così tante risposte!! come sono contento di avervi trovato!!! 
piu o meno ho capito come mandare in onda il "film"...
ora vorrei capire una cosa.. visto che quel maledetto prof spiega le cose a metà.. e fa esempi a metà!!!
allora..ho la successione ${e^(nx)}$
che converge puntualmente in $]-oo,0]
ora ho capito, grazie a voi, anche il perchè mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$
ora.. per trovare il sup ... cosa mi conviene fare? vi illustro un esempio fatto qualche giorno dopo la spiegazione, sempre dal maledetto
, per capire se il suo metodo è corretto ...
avevamo che $f_n(x) = x/e^(nx)$ che converge puntualmente in $[0, +oo[$
quindi mi trovo a dover trovare il sup su $[0, +oo[$ di $x/e^(nx)$ quindi procedendo:
1. si calcola la derivata e la studia maggiore di zero, ottenendo $x < 1/n$
2. non so per quale arcano la disequazione diventa una uguaglianza $x = 1/n$ che lui sostituisce nella traccia ... ottenendo $1/(n e)$
3. calcola il $lim_(n->oo) 1/(n e) = 0$
ora mi chiedo... nel mio caso.. come potrei procedere?
grazie ancora
piu o meno ho capito come mandare in onda il "film"...
ora vorrei capire una cosa.. visto che quel maledetto prof spiega le cose a metà.. e fa esempi a metà!!!
allora..ho la successione ${e^(nx)}$
che converge puntualmente in $]-oo,0]
ora ho capito, grazie a voi, anche il perchè mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$
ora.. per trovare il sup ... cosa mi conviene fare? vi illustro un esempio fatto qualche giorno dopo la spiegazione, sempre dal maledetto
, per capire se il suo metodo è corretto ...avevamo che $f_n(x) = x/e^(nx)$ che converge puntualmente in $[0, +oo[$
quindi mi trovo a dover trovare il sup su $[0, +oo[$ di $x/e^(nx)$ quindi procedendo:
1. si calcola la derivata e la studia maggiore di zero, ottenendo $x < 1/n$
2. non so per quale arcano la disequazione diventa una uguaglianza $x = 1/n$ che lui sostituisce nella traccia ... ottenendo $1/(n e)$
3. calcola il $lim_(n->oo) 1/(n e) = 0$
ora mi chiedo... nel mio caso.. come potrei procedere?
grazie ancora
"19semplicemente":
visto che quel maledetto prof spiega le cose a metà.. e fa esempi a metà!!!
io sono un prof, e anch'io "taglio" parte del discorso, se mi pare "ovvio" ciò che ometto
riguardo alle tue domande rispondo solo con due osservazioni
"19semplicemente":
ora ho capito, grazie a voi, anche il perchè mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$
attenzione, si parla di convergenza uniforme su un sottoinsieme $B$ di $RR$. E si cerca il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$
seconda osservazione.
nell'esempio "svolto" che tu riporti:
$B$ è l'intervallo delle $x$ non negative
e
$f(x) = 0$
(quest'ultimo perché, come dici tu, $f_n(x) = x/e^(nx)$ che converge puntualmente a $0$ sull'intervallo delle $x$ non negative).
Inoltre, $!f_n(x) - f(x)| = !f_n(x) - 0| = f_n(x) $ (l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che, sull'intervallo delle $x$ non negative $f_n(x)$ è maggiore di zero).
Ma allora, per trovare questo "sup" non fa altro che cercare il max di $f_n(x)$, ovvero di $x/e^(nx)$.
Che, per ogni fissato valore di $n$, è un esercizio standard da "studio di funzione"
E, a questo punto, tutto dovrebbe essere in discesa, se, come dicevo in un post precedente:
"mi sembra che tu ti faccia un problema più grosso di quanto non meriti
con adeguata calma e riflessione i mostri spariranno"
"19semplicemente":
per capire se il suo metodo è corretto ...
per ragioni corporative, penso che sarebbe stato più opportuno dire: "per vedere se ho capito il metodo che ha usato"
"Fioravante Patrone":
[quote="19semplicemente"]ora ho capito, grazie a voi, anche il perchè mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$
attenzione, si parla di convergenza uniforme su un sottoinsieme $B$ di $RR$. E si cerca il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$
[/quote]
scusa
non capisco a cosa dovrei stare attento.$B = ]-oo,0]$ o no? "Fioravante Patrone":
seconda osservazione.
nell'esempio "svolto" che tu riporti:
$B$ è l'intervallo delle $x$ non negative
e
$f(x) = 0$
(quest'ultimo perché, come dici tu, $f_n(x) = x/e^(nx)$ che converge puntualmente a $0$ sull'intervallo delle $x$ non negative).
Inoltre, $!f_n(x) - f(x)| = !f_n(x) - 0| = f_n(x) $ (l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che, sull'intervallo delle $x$ non negative $f_n(x)$ è maggiore di zero).
ti riferifi al fatto che avevamo tolto il valore assoluto vero?
"Fioravante Patrone":
Ma allora, per trovare questo "sup" non fa altro che cercare il max di $f_n(x)$, ovvero di $x/e^(nx)$.
Che, per ogni fissato valore di $n$, è un esercizio standard da "studio di funzione"
scusami ancora... ha trasformato $x<1/n$ in $x=1/n$ xkè quello è un punto critico e conincide con il massimo, giusto? qui poi ha sostituito il punto critico nella $f_n(x)$ e poi ha fatto li limite per vedere se veniva 0 e quindi quella funzione convergeva uniformemente in $B$, giusto?
ora "per vedere se ho capito il metodo che ha usato" e ritornando al mio $e^(nx)$ e allo studio di funzione...
per seguire ciò che ha fatto lui dovrei:
1. derivare e trovare il massimo: ma $e^(nx)$ è sempre crescente quindi.. niente punti critici in $B$ dove $B=]-oo,0]$
2. avrei dovuto sostituire il massimo in $f_n(x)$ ma non essendoci il max a sto punto.. che faccio? faccio il limite solo di $f_n(x)$?
se fosse così il limite verrebbe zero per le $x<0$ e 1 per $x=0$ giusto? quidni convergerebbe uniformemente solo in $]-oo,0[$ o no?
grazie ancora
dici:
"derivare e trovare il massimo: ma $e^{nx}$ è sempre crescente quindi.. niente punti critici in B dove B=]-∞,0]"
se ti dimentichi un pezzo della funzione, sarà difficile fare l'esercizio
la funzione è $x/e^(nx)$
"derivare e trovare il massimo: ma $e^{nx}$ è sempre crescente quindi.. niente punti critici in B dove B=]-∞,0]"
se ti dimentichi un pezzo della funzione, sarà difficile fare l'esercizio
la funzione è $x/e^(nx)$
"19semplicemente":
ora "per vedere se ho capito il metodo che ha usato" e ritornando al mio $e^(nx)$ e allo studio di funzione...
non ho dimenticato un pezzo... semplicemente stavo considerando l'esercizio iniziale, $e^(nx)$, che lui non ha mai concluso.. e volevo sapere se si concludeva come ho descritto sopra...
OK, ho capito. Scusa, mi pareva ti riferissi all'altro esercizio.
Allora vediamo.
Quello che dicevi:
"...mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$ "
non va bene. Volendo adeguarmi alla tua idea, devi fare:
sup su $]-oo,0[$ di $| e^(nx)|$
sup su ${0}$ di $| e^(nx)-1|$ (e questo vale naturalmente $0$)
poi, devi prendere il max di questi due sup (perché sei interessato a $B = ]-oo,0]$)
Visto che il secondo sup vale $0$, quello che conta è il primo.
Poiché la funzione $ e^(nx) = | e^(nx)| $ è strettamente crescente sull'intervallo $]-oo,0[$, il suo sup coincide con il limite per $x->0^-$, che vale naturalmente $1$.
Quindi, per ogni $n$, il sup che ti interessa vale $1$ e quindi non coverge a $0$ come è richiesto dalla convergenza uniforme.
Pertanto non vi è convergenza uniforme su $]-oo,0[$ e, per quanto detto sopra, neanche su $]-oo,0]$
Allora vediamo.
Quello che dicevi:
"...mi ritrovo, nel capire se converge uniformemente, questa:
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)|$ se $x<0$
sup su $]-oo,0]$ di $| e^(nx)-1|$ se $x=1$ "
non va bene. Volendo adeguarmi alla tua idea, devi fare:
sup su $]-oo,0[$ di $| e^(nx)|$
sup su ${0}$ di $| e^(nx)-1|$ (e questo vale naturalmente $0$)
poi, devi prendere il max di questi due sup (perché sei interessato a $B = ]-oo,0]$)
Visto che il secondo sup vale $0$, quello che conta è il primo.
Poiché la funzione $ e^(nx) = | e^(nx)| $ è strettamente crescente sull'intervallo $]-oo,0[$, il suo sup coincide con il limite per $x->0^-$, che vale naturalmente $1$.
Quindi, per ogni $n$, il sup che ti interessa vale $1$ e quindi non coverge a $0$ come è richiesto dalla convergenza uniforme.
Pertanto non vi è convergenza uniforme su $]-oo,0[$ e, per quanto detto sopra, neanche su $]-oo,0]$
Ti Ringrazio Innanzittutto per la Pazienza ...
spero che non ti arrabbierai se ti chiedo qualcos'altro in merito allo stesso problema ...
purtroppo "il madetto" ci ha consigliato un libro dove ci sono solo serie numeriche.. e non c'è uno straccio di niente su queste cose ... quindi non so dove sbattere la testa -.-"
cmq.. vediamo un pò ...
se conosci un metodo migliore, dimmelo ti prego!!
Scusa, so che forse è una vaccata però.. meglio fare una figura di m... qui che non all'esame, ma.. $lim_(n->00) 0 = 0$ o no? (non so xkè ma sento gia le orecchie che mi fischiano...)
ok, questo è chiaro
(mi fischieranno di nuovo le orecchie perchè forse è una vaccata però...) $lim_(n->00) 1 = 1$ e non converge però $lim_(n->00) 0 = 0$
ultima domadina.. se cercando il sup fosse uscito invece che un numero una funzione, avrei dovuto sostituirla in $|f_n(x)|$ e poi fare il limite, giusto?
grazie
spero che non ti arrabbierai se ti chiedo qualcos'altro in merito allo stesso problema ...
purtroppo "il madetto" ci ha consigliato un libro dove ci sono solo serie numeriche.. e non c'è uno straccio di niente su queste cose
... quindi non so dove sbattere la testa -.-"cmq.. vediamo un pò ...
"Fioravante Patrone":
Volendo adeguarmi alla tua idea
se conosci un metodo migliore, dimmelo ti prego!!
"Fioravante Patrone":
Visto che il secondo sup vale $0$, quello che conta è il primo.
Scusa, so che forse è una vaccata però.. meglio fare una figura di m... qui che non all'esame, ma.. $lim_(n->00) 0 = 0$ o no? (non so xkè ma sento gia le orecchie che mi fischiano...)
"Fioravante Patrone":
Poiché la funzione $ e^(nx) = | e^(nx)| $ è strettamente crescente sull'intervallo $]-oo,0[$, il suo sup coincide con il limite per $x->0^-$, che vale naturalmente $1$.
ok, questo è chiaro
"Fioravante Patrone":
Quindi, per ogni $n$, il sup che ti interessa vale $1$ e quindi non coverge a $0$ come è richiesto dalla convergenza uniforme.
(mi fischieranno di nuovo le orecchie perchè forse è una vaccata però...) $lim_(n->00) 1 = 1$ e non converge però $lim_(n->00) 0 = 0$
ultima domadina.. se cercando il sup fosse uscito invece che un numero una funzione, avrei dovuto sostituirla in $|f_n(x)|$ e poi fare il limite, giusto?
grazie
"Ti Ringrazio Innanzittutto per la Pazienza"
quante maiuscole!!!
"ma.. $lim_(n->00) 0 = 0$ o no?" [editing: $lim_(n->oo) 0 = 0$; per avere scritto il simbolo $oo$ ci vogliono due "o", non due zeri]
certo. Se hai una successione costante, cioè $x_n = c$ per ogni $n \in NN$, allora questa successione ha limite ed il limite vale $c$.
"$lim_(n->00) 1 = 1$ e non converge però $lim_(n->00) 0 = 0$"
Per quanto detto sopra, la successione che vale costantemente $1$ CONVERGE e converge ad $1$. La cosa importante è ricordarsi che stiamo facendo il limite del "sup" e la condizione di convergenza uniforme richiede che questo limite sia ZERO. Visto che il limite è $1$, ne deduciamo che non si ha convergenza uniforme.
"se cercando il sup fosse uscito invece che un numero una funzione, avrei dovuto sostituirla in $|f_n(x)| e poi fare il limite, giusto? "
Provo ad interpretare la tua affermazione. Calcolando il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$, questo sup può dipendere da $n$. Per fissare le idee supponiamo che il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$ valga $c_n$. In tal caso, occorre verificare se $lim_(n->oo) c_n = 0$
quante maiuscole!!!
"ma.. $lim_(n->00) 0 = 0$ o no?" [editing: $lim_(n->oo) 0 = 0$; per avere scritto il simbolo $oo$ ci vogliono due "o", non due zeri]
certo. Se hai una successione costante, cioè $x_n = c$ per ogni $n \in NN$, allora questa successione ha limite ed il limite vale $c$.
"$lim_(n->00) 1 = 1$ e non converge però $lim_(n->00) 0 = 0$"
Per quanto detto sopra, la successione che vale costantemente $1$ CONVERGE e converge ad $1$. La cosa importante è ricordarsi che stiamo facendo il limite del "sup" e la condizione di convergenza uniforme richiede che questo limite sia ZERO. Visto che il limite è $1$, ne deduciamo che non si ha convergenza uniforme.
"se cercando il sup fosse uscito invece che un numero una funzione, avrei dovuto sostituirla in $|f_n(x)| e poi fare il limite, giusto? "
Provo ad interpretare la tua affermazione. Calcolando il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$, questo sup può dipendere da $n$. Per fissare le idee supponiamo che il sup su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$ valga $c_n$. In tal caso, occorre verificare se $lim_(n->oo) c_n = 0$
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