Convergenza Uniforme
Ciao, speriamo che qualcuno mi sappia dare una mano...
il teorema per sapere se una serie è unif convergente ad un certo punto piazza questa:
sup su B | f n (x) - f (x)|
dicendo appunto che devo trovare il sup di quella roba li...
ora...
se io ho una serie del tipo: x / e ^ (nx)
e so ke converge puntualmente in [0, + inf[
mi dite come procedere per verificare se converge uniformemente? xkè dalla spiegazione che fece il prof non capisco come andare avanti
xkè lui il passaggio dopo scrive: sup x >= 0 |x/e^nx - 0|
ma non capisco da dove esce quello 0 -.-"
il teorema per sapere se una serie è unif convergente ad un certo punto piazza questa:
sup su B | f n (x) - f (x)|
dicendo appunto che devo trovare il sup di quella roba li...
ora...
se io ho una serie del tipo: x / e ^ (nx)
e so ke converge puntualmente in [0, + inf[
mi dite come procedere per verificare se converge uniformemente? xkè dalla spiegazione che fece il prof non capisco come andare avanti
xkè lui il passaggio dopo scrive: sup x >= 0 |x/e^nx - 0|
ma non capisco da dove esce quello 0 -.-"
Risposte
ultimissa domanda... poi credo di aver capito tutto (spero 
)
sull'intervallo $]-oo,0]$ per esserci conv. uniforme dovrebbero essere zero tutti e due i limiti dei sup, vero?
ps. esiste un libro che spiega le serie in modo comprensibile?
)"Fioravante Patrone":
Pertanto non vi è convergenza uniforme su $]-oo,0[$ e, per quanto detto sopra, neanche su $]-oo,0]$
sull'intervallo $]-oo,0]$ per esserci conv. uniforme dovrebbero essere zero tutti e due i limiti dei sup, vero?
ps. esiste un libro che spiega le serie in modo comprensibile?
"sull'intervallo $]-oo,0]$ per esserci conv. uniforme dovrebbero essere zero tutti e due i limiti dei sup, vero?"
preferisco risponderti prendendo la questione un po' più alla larga
Il problema era la convergenza uniforme su un insieme $B$ (nel tuo caso $]-oo,0]$).
Quindi ci interessava il "sup" su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$.
Per comodità di calcolo, abbiamo "spezzato" $B$ in due parti: diciamo $C$ e $D$ (nel tuo caso erano, rispettivamente $]-oo,0[$ e ${0}$).
Ora, il "sup" su $B$ non è altro che il massimo dei due "sup" (quello su $C$ e quello su $D$).
Detto in altri termini, se $b_n$ è il "sup" su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$, abbiamo che $b_n = max {c_n,d_n}$ (chi siano $c_n$ e $d_n$ spero sia ovvio dal contesto: $c_n$ è "sup" su $C$ di $!f_n(x) - f(x)|$ e $d_n$...).
Tenuto conto che sono tutte successioni a termini maggiori o uguali di zero, $lim_{n->oo} b_n = 0$ se e solo se:
$lim_{n->oo} c_n = 0$ e $lim_{n->oo} d_n = 0$.
Quindi, quello che dici è corretto.
Una considerazione aggiuntiva. Quando dico che $B$ è stato "spezzato" in $C$ e $D$, intendo dire che $B = C \cup D$ e che $C \cap D$ è vuoto. Ma l'argomento usato vale anche se avessi soltanto $B = C \cup D$. Insomma, non c'è bisogno di fare una partizione di $B$.
Osservo infine che il metodo si generalizza, come dovrebbe essere evidente, al caso in cui si "spezzi" l'insieme in un numero finito di "pezzi".
preferisco risponderti prendendo la questione un po' più alla larga
Il problema era la convergenza uniforme su un insieme $B$ (nel tuo caso $]-oo,0]$).
Quindi ci interessava il "sup" su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$.
Per comodità di calcolo, abbiamo "spezzato" $B$ in due parti: diciamo $C$ e $D$ (nel tuo caso erano, rispettivamente $]-oo,0[$ e ${0}$).
Ora, il "sup" su $B$ non è altro che il massimo dei due "sup" (quello su $C$ e quello su $D$).
Detto in altri termini, se $b_n$ è il "sup" su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$, abbiamo che $b_n = max {c_n,d_n}$ (chi siano $c_n$ e $d_n$ spero sia ovvio dal contesto: $c_n$ è "sup" su $C$ di $!f_n(x) - f(x)|$ e $d_n$...).
Tenuto conto che sono tutte successioni a termini maggiori o uguali di zero, $lim_{n->oo} b_n = 0$ se e solo se:
$lim_{n->oo} c_n = 0$ e $lim_{n->oo} d_n = 0$.
Quindi, quello che dici è corretto.
Una considerazione aggiuntiva. Quando dico che $B$ è stato "spezzato" in $C$ e $D$, intendo dire che $B = C \cup D$ e che $C \cap D$ è vuoto. Ma l'argomento usato vale anche se avessi soltanto $B = C \cup D$. Insomma, non c'è bisogno di fare una partizione di $B$.
Osservo infine che il metodo si generalizza, come dovrebbe essere evidente, al caso in cui si "spezzi" l'insieme in un numero finito di "pezzi".
leggendo quanto hai scritto mi sorge un dubbio:
piccola domanda: nella mia successione avevano 0 e 1 come valori, quindi era facile compararli, ma nel caso in cui esca una funzione dipendente da n, come fai a scegliere il massimo tra i due? Forse converrebbe non cercare il massimo ma fare come dici dopo:
ovvero calcolare i limiti dei max di C e D e se sono entrambi zero concludere che conv. uniformente, o no?
"Fioravante Patrone":
Ora, il "sup" su $B$ non è altro che il massimo dei due "sup" (quello su $C$ e quello su $D$).
Detto in altri termini, se $b_n$ è il "sup" su $B$ di $!f_n(x) - f(x)|$, abbiamo che $b_n = max {c_n,d_n}$
piccola domanda: nella mia successione avevano 0 e 1 come valori, quindi era facile compararli, ma nel caso in cui esca una funzione dipendente da n, come fai a scegliere il massimo tra i due? Forse converrebbe non cercare il massimo ma fare come dici dopo:
"Fioravante Patrone":
Tenuto conto che sono tutte successioni a termini maggiori o uguali di zero, $lim_{n->oo} b_n = 0$ se e solo se:
$lim_{n->oo} c_n = 0$ e $lim_{n->oo} d_n = 0$.
ovvero calcolare i limiti dei max di C e D e se sono entrambi zero concludere che conv. uniformente, o no?
"ovvero calcolare i limiti dei max di C e D e se sono entrambi zero concludere che conv. uniformente, o no?"
sì, sono d'accordo
sì, sono d'accordo
mi sa ke non ho capito qualcosa... 
allora.. mi trovo a dover studiare la convergenza uniforme... di $n e^(-nx)$
devo studiare prima di tutto la convergenza puntuale... però se andassi a fare il $lim_(n->oo)$ di quella roba li .. incapperei in qualche forma indeterminata.. così.. il prof ci ha detto: "usiamo il criterio del rapporto"
e quindi:
$lim_(n->oo) ((n+1)e^(-(n+1)x))/(n e^(-nx))$
semplificando avremo: $lim_(n->oo)(n+1)/n lim_(n->oo) (e^(-nx) e^(-x))/(e^(-nx)) = e^(-x)$
ora... quel $e^(-x)$ è:
per $x<0$ avremo $e^x$
per $x=0$ avremo $1$
per $x>0$ avremo $e^(-x)$
ora.. nel caso precedente avevamo dei valori $(0, 1 e oo)$ qui invece mi trovo con una funzione... come si procede? avevo pensato che visti i valori la successione convergesse puntualmente in $[0, oo[$ .. invece il prof dice che converge solo in $]0, oo[$ e non ho capito il perchè ...
sinceramente non ho nemmeno ben capito xkè utilizza il metodo del rapporto con una successione di funzioni ... HELP!
allora.. mi trovo a dover studiare la convergenza uniforme... di $n e^(-nx)$
devo studiare prima di tutto la convergenza puntuale... però se andassi a fare il $lim_(n->oo)$ di quella roba li .. incapperei in qualche forma indeterminata.. così.. il prof ci ha detto: "usiamo il criterio del rapporto"
e quindi:
$lim_(n->oo) ((n+1)e^(-(n+1)x))/(n e^(-nx))$
semplificando avremo: $lim_(n->oo)(n+1)/n lim_(n->oo) (e^(-nx) e^(-x))/(e^(-nx)) = e^(-x)$
ora... quel $e^(-x)$ è:
per $x<0$ avremo $e^x$
per $x=0$ avremo $1$
per $x>0$ avremo $e^(-x)$
ora.. nel caso precedente avevamo dei valori $(0, 1 e oo)$ qui invece mi trovo con una funzione... come si procede? avevo pensato che visti i valori la successione convergesse puntualmente in $[0, oo[$ .. invece il prof dice che converge solo in $]0, oo[$ e non ho capito il perchè ...
sinceramente non ho nemmeno ben capito xkè utilizza il metodo del rapporto con una successione di funzioni ... HELP!
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