Convergenza, spiegata semplicemente
Salve a tutti. Sperando in un pò di spirito collaborativo propongo questo thread sia per necessità sia per curiosità.
Ho felicemente passato lo scritto di Analisi 2 (ex Analisi 3+4) e quindi ora mi sto concentrando sul fantastico mondo dei teoremi che girano intorno alle Serie (non solo,ma ci concentreremo su di esse se permettete). In particolar modo il programma va dalla convegenza di Serie a termini positivi e non,a segni alterni; poi successioni di funzioni, serie di funzioni (e le fantastiche serie di potenze); concludendo poi con le serie di Fourier. Ora...la problematica principale che sto riscontrando è quella più ovvia in analisi: più vado avanti più l'astrazione imposta dai concetti dei teoremi diventa eccessiva. Ho troppi quesiti che mi rispondo in maniera mnemonica e non concettuale, come primo fra tutti: che differenza c'è tra convergenza uniforme e assoluta? e soprattutto, di tutti gli argomenti che ho scritto, ognuno di loro ha convergenza uniforme/assoluta/puntuale( o semplice nelle serie)? e hanno lo stesso significato in ogni argomento? se qualcuno mi può prestare un pò del suo tempo gliene sarei immensamente grato! Sperando di non essere stato troppo prolisso, buona giornata a tutti voi!
Ho felicemente passato lo scritto di Analisi 2 (ex Analisi 3+4) e quindi ora mi sto concentrando sul fantastico mondo dei teoremi che girano intorno alle Serie (non solo,ma ci concentreremo su di esse se permettete). In particolar modo il programma va dalla convegenza di Serie a termini positivi e non,a segni alterni; poi successioni di funzioni, serie di funzioni (e le fantastiche serie di potenze); concludendo poi con le serie di Fourier. Ora...la problematica principale che sto riscontrando è quella più ovvia in analisi: più vado avanti più l'astrazione imposta dai concetti dei teoremi diventa eccessiva. Ho troppi quesiti che mi rispondo in maniera mnemonica e non concettuale, come primo fra tutti: che differenza c'è tra convergenza uniforme e assoluta? e soprattutto, di tutti gli argomenti che ho scritto, ognuno di loro ha convergenza uniforme/assoluta/puntuale( o semplice nelle serie)? e hanno lo stesso significato in ogni argomento? se qualcuno mi può prestare un pò del suo tempo gliene sarei immensamente grato! Sperando di non essere stato troppo prolisso, buona giornata a tutti voi!
Risposte
Faccio UP specificando un pò il problema con un esempio:
Ripassando la convergenza sulle serie normali, ho dedotto che la convergenza assoluta è più debole di quella uniforme, cioè:
La convergenza assoluta si ha se converge la serie in modulo, mentre per la convergenza uniforme c'è bisogno che la successione delle somme parziali converga (e che quindi sia una successione di Cauchy). É lecito ed ovvio pensare che se una serie di per se converge uniformemente, convergerà anche assolutamente.Ciò vale anche per gli altri tipi di serie? e soprattutto, è giusto ciò che ho detto?
Ripassando la convergenza sulle serie normali, ho dedotto che la convergenza assoluta è più debole di quella uniforme, cioè:
La convergenza assoluta si ha se converge la serie in modulo, mentre per la convergenza uniforme c'è bisogno che la successione delle somme parziali converga (e che quindi sia una successione di Cauchy). É lecito ed ovvio pensare che se una serie di per se converge uniformemente, convergerà anche assolutamente.Ciò vale anche per gli altri tipi di serie? e soprattutto, è giusto ciò che ho detto?
Purtroppo non ho molto tempo per formulare una risposta completa.
Posso dirti però che qui
ci sono due gravi errori concettuali. Prova a rivedere le nozioni di convergenza puntuale, assoluta e uniforme.
Posso dirti però che qui
"MrBolz":
La convergenza assoluta si ha se converge la serie in modulo, mentre per la convergenza uniforme c'è bisogno che la successione delle somme parziali converga
ci sono due gravi errori concettuali. Prova a rivedere le nozioni di convergenza puntuale, assoluta e uniforme.
ok, allora, rivedendo gli appunti sono arrivato a questa conclusione:
La convergenza uniforme implica che \( \forall \epsilon > 0 , \exists n(\epsilon) \) tale che \( \exists m>n>n(\epsilon) , |\sum_{n=1}^m A_n|<\epsilon \) che è proprio la tesi del teorema di convergenza di Cauchy e si dimostra sfruttando le successioni delle somme parziali di An. Ora il passaggio successivo, cioè la convergenza assoluta, che si ha per serie non definite positive, è una convergenza che a mio avviso è meno debole di quella uniforme. Forse sbaglio nell'immaginare le successioni di cui calcolo la sommatoria come fossero funzioni che tendono a 0 per n che tende a \( \infty \)(ipotesi necessaria per la convergenza).
Infatti il teorema della convergenza assoluta mi dimostra che una serie converge assolutamente se converge uniformemente la serie del suo modulo, ma ciò è scontato se convergesse la serie senza il modulo, figuriamoci col modulo! Lasciatemi passare questo concetto: Mi immagino la convergenza assoluta come un "salvare capre e cavoli" della convergenza delle serie, e cioè, se non converge uniformemente, almeno facciamola convergere assolutamente, probabilmente lo farà (proprio come la convergenza semplice secondo Leibniz).
PS: scusate per lo schifoso tentativo di usare LaTex...è la prima volta
La convergenza uniforme implica che \( \forall \epsilon > 0 , \exists n(\epsilon) \) tale che \( \exists m>n>n(\epsilon) , |\sum_{n=1}^m A_n|<\epsilon \) che è proprio la tesi del teorema di convergenza di Cauchy e si dimostra sfruttando le successioni delle somme parziali di An. Ora il passaggio successivo, cioè la convergenza assoluta, che si ha per serie non definite positive, è una convergenza che a mio avviso è meno debole di quella uniforme. Forse sbaglio nell'immaginare le successioni di cui calcolo la sommatoria come fossero funzioni che tendono a 0 per n che tende a \( \infty \)(ipotesi necessaria per la convergenza).
Infatti il teorema della convergenza assoluta mi dimostra che una serie converge assolutamente se converge uniformemente la serie del suo modulo, ma ciò è scontato se convergesse la serie senza il modulo, figuriamoci col modulo! Lasciatemi passare questo concetto: Mi immagino la convergenza assoluta come un "salvare capre e cavoli" della convergenza delle serie, e cioè, se non converge uniformemente, almeno facciamola convergere assolutamente, probabilmente lo farà (proprio come la convergenza semplice secondo Leibniz).
PS: scusate per lo schifoso tentativo di usare LaTex...è la prima volta
Dovresti spiegarmi cosa intendi per convergenza uniforme di una successione (serie) numerica reale. Questo genere di convergenza è interessante ovviamente per successioni (serie) di funzioni.
Comunque, se per una serie di funzioni hai convergenza uniforme assoluta (che significa che converge uniformemente la serie dei moduli), allora, come dicevi tu, hai anche la convergenza puntuale assoluta. In generale la convergenza uniforme semplice non implica quella puntuale assoluta.
Nel teorema che citi confondi tesi con ipotesi. Il fatto che una proprietà più forte (come la convergenza uniforme assoluta) implichi una proprietà più debole (come la convergenza uniforme) non ti garantisce che se il teorema, che tu hai chiamato "della convergenza assoluta", vale sotto l'ipotesi forte valga anche sotto l'ipotesi debole. La convergenza uniforme implica quella puntuale (semplice).
Comunque, se per una serie di funzioni hai convergenza uniforme assoluta (che significa che converge uniformemente la serie dei moduli), allora, come dicevi tu, hai anche la convergenza puntuale assoluta. In generale la convergenza uniforme semplice non implica quella puntuale assoluta.
Nel teorema che citi confondi tesi con ipotesi. Il fatto che una proprietà più forte (come la convergenza uniforme assoluta) implichi una proprietà più debole (come la convergenza uniforme) non ti garantisce che se il teorema, che tu hai chiamato "della convergenza assoluta", vale sotto l'ipotesi forte valga anche sotto l'ipotesi debole. La convergenza uniforme implica quella puntuale (semplice).
allora le 3 convergenze che ho fatto per le serie numeriche reali sono: Uniforme (determinata col Teorema di convergenza di Cauchy e calcolata operativamente coi vari teoremi del rapporto/radice/confronto); Assoluta (determinata col suddetto teorema di Convergenza assoluta) e Semplice (determinata col Criterio di Leibniz).
Una cosa che sto erudendo è che, molto probabilmente, ho fatto un errore a monte decisamente grave: non esiste la convergenza assoluta/semplice, bensì esiste la convergenza "uniforme assoluta"e "uniforme semplice". Cioè, mi spiego meglio: nella mia testa vale la disuguaglianza per cui Assoluta>Uniforme>Semplice. Ma credo che ciò sia sbagliato, concorda?
Una cosa che sto erudendo è che, molto probabilmente, ho fatto un errore a monte decisamente grave: non esiste la convergenza assoluta/semplice, bensì esiste la convergenza "uniforme assoluta"e "uniforme semplice". Cioè, mi spiego meglio: nella mia testa vale la disuguaglianza per cui Assoluta>Uniforme>Semplice. Ma credo che ciò sia sbagliato, concorda?
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