Convergenza serie numerica

[Gost91]

Salve a tutti ragazzi mi sono appena registrato al forum e volevo fare i complimenti a tutti per la qualità delle risposte!

Oggi mi sono imbattuto nella seguente serie numerica, della quale se ne discute la convergenza:

$\sum_{n=1}^infty (ln(n+1)^(2n!)/((n+1)!))$

Premettendo che ci ho litigato da piccino con la matematica generale, tentando di risolvere il quesito mi sono mosso nel seguente modo:

Per prima cosa ho riscritto la serie come $2\sum_{n=1}^infty (ln(n+1)/n)$ sperando di aver applicato bene le proprietà dei logaritmi e dei fattoriali,
poi l'ho maggiorata rispetto la serie $2\sum_{n=1}^infty (1/n)$ giungendo alla conclusione che, tramite il criterio del confronto, la serie iniziale diverge.

Ora volevo sapere se qualcuno può cortesemente spiegarmi se i ragionamenti e, soprattutto, i calcoli sono corretti.

Grazie mille in anticipo!

[francescop21]

$\sum_{n=1}^{+\infty} ((ln(n+1)^{2n!})/((n+1)!))=\sum_{n=1}^{+\infty} 2n!((ln(n+1))/((n+1)!))=2\sum_{n=1}^{+\infty} n!((ln(n+1))/(n!(n+1)))=2\sum_{n=1}^{+\infty} ((ln(n+1))/(n+1)) \ge \sum_{n=1}^{+\infty} 1/n$

quindi diverge perché $\sum_{n=1}^{+\infty} 1/n$ diverge

[Gost91]

Quindi avrei sbagliato solamente la semplificazione del fattoriale?