Convergenza serie di potenze complessa
Ciao a tutti, rivedendo alcuni esercizi svolti in classe in un corso di Analisi 2 mi è sorto un dubbio riguardante la convergenza di una serie di potenze complessa. La serie in questione è:
$ sum_(n = \0) (n!)^2/((2n)!)*z^n $
Usando il criterio del rapporto è stato determinato che il raggio di convergenza della serie è R=4, quindi la serie converge per |z|<4. L'esercitatore ha poi trattato il caso |z|=4 facendo il modulo della serie di partenza, in cui ovviamente il |z| è 4, mentre il resto rimane invariato. La serie ottenuta è:
$ sum_(n = \0) (n!)^2/((2n)!)*4^n $
Questa ovviamente non ha il termine generale che tende a 0, quindi non rispetta la CN per la convergenza, l'esercitatore ha quindi concluso che per |z|=4 la serie data non converge. Ma quello che ha fatto non è solo dire che la serie data non converge assolutamente, dato che lui ha studiato la serie dei moduli e ha visto che il termine generale di questa nuova serie non tende a 0? Il fatto che questa non converga non preclude la convergenza della serie di partenza, z è un numero complesso di modulo 4 che potrebbe anche avere parte reale ed immaginaria negative ed esibire comportamenti diversi rispetto al numero complesso z=4. Per esempio:
$ sum_(n=\0) (1/n)*z^n $
che converge per |z|<1, per z=-1 converge per Leibniz, per z=1 diverge, ma se studiassi SOLO la serie dei moduli otterrei solo la divergenza, nonostante la CN sia rispettata, ma ho comunque una serie armonica.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
$ sum_(n = \0) (n!)^2/((2n)!)*z^n $
Usando il criterio del rapporto è stato determinato che il raggio di convergenza della serie è R=4, quindi la serie converge per |z|<4. L'esercitatore ha poi trattato il caso |z|=4 facendo il modulo della serie di partenza, in cui ovviamente il |z| è 4, mentre il resto rimane invariato. La serie ottenuta è:
$ sum_(n = \0) (n!)^2/((2n)!)*4^n $
Questa ovviamente non ha il termine generale che tende a 0, quindi non rispetta la CN per la convergenza, l'esercitatore ha quindi concluso che per |z|=4 la serie data non converge. Ma quello che ha fatto non è solo dire che la serie data non converge assolutamente, dato che lui ha studiato la serie dei moduli e ha visto che il termine generale di questa nuova serie non tende a 0? Il fatto che questa non converga non preclude la convergenza della serie di partenza, z è un numero complesso di modulo 4 che potrebbe anche avere parte reale ed immaginaria negative ed esibire comportamenti diversi rispetto al numero complesso z=4. Per esempio:
$ sum_(n=\0) (1/n)*z^n $
che converge per |z|<1, per z=-1 converge per Leibniz, per z=1 diverge, ma se studiassi SOLO la serie dei moduli otterrei solo la divergenza, nonostante la CN sia rispettata, ma ho comunque una serie armonica.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Credo che volesse dire: sia $z \in \mathbb{C}$ tale che $|z| = 4$ e vediamo cosa possiamo dire sulla serie; vediamo allora cosa succede al termine generico. Poiché in modulo questo non converge a $0$ non può convergere a $0$ nemmeno senza modulo, da cui la conseguenza che hai detto.
Qui la convergenza assoluta non c'entra un fico secco.
Ricorda che una successione di numeri (reali o complessi) tende a zero se e solo se tende a zero la successione dei moduli.
Ricorda che una successione di numeri (reali o complessi) tende a zero se e solo se tende a zero la successione dei moduli.
Non sapevo della doppia implicazione fra il tendere a 0 della successione e il tendere a 0 della successione dei moduli, è un teorema particolare?
Quindi in generale la condizione necessaria di convergenza, ossia che il termine generico tenda a 0 per n tendente a infinito, può tranquillamente essere applicata al modulo del termine generico, ottenendo lo stesso risultato, giusto?
Quindi in generale la condizione necessaria di convergenza, ossia che il termine generico tenda a 0 per n tendente a infinito, può tranquillamente essere applicata al modulo del termine generico, ottenendo lo stesso risultato, giusto?
Sì. Non è un teorema particolare, è una semplice conseguenza della definizione di limite. Scrivi la definizione per il limite uguale a $0$ e te ne accorgerai 
Grazie mille ad entrambi! 
Figurati
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo