Convergenza serie di funzioni (valore esatto)
Per ogni \(\displaystyle x \in [-1,1) \) calcolare la somma della serie \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2n+1} \qquad [1] \]
Svolgimento:
Trattasi di una serie di potenze, e quindi calcolo il raggio di convergenza. Si ha \[\displaystyle \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{\frac{1}{2n+1}}=1 \] da cui \(\displaystyle R=1 \). Il criterio di Cauchy-Hadamard mi garantisce convergenza uniforme su ogni insieme \(\displaystyle A_{\delta} = \{ x \in \mathbb{R} \; : \; |x| \le \delta \} \) con \(\displaystyle \delta < 1 \), ossia ho convergenza uniforme su \(\displaystyle (-1,1) \).
Piccola domanda: come guadagno il \(\displaystyle -1 \)? Possibile risposta:
A questo punto pongo \(\displaystyle t^{2}=x \) e noto che \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2n+1}=\frac{1}{t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{t} \sum_{n=0}^{\infty} \int^{t}_{0} z^{2n} \; dz\] siccome sono pure nelle ipotesi del teorema di integrazione per le serie posso scambiare serie e integrale come segue: \[\displaystyle \frac{1}{t} \int^{t}_{0} \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} =\frac{1}{t} \int^{t}_{0} \frac{1}{1-z^{2}} \; dz =\frac{1}{t} \cdot \left[\log \sqrt{\frac{t+1}{1-t}} - \log (1) \right] =\frac{1}{\sqrt{x}} \log \sqrt{\frac{1 + \sqrt{x}}{1- \sqrt{x}}}=\frac{\tanh^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]
Edit. Sistemati gli estremi di integrazione.
Ringrazio.
Svolgimento:
Trattasi di una serie di potenze, e quindi calcolo il raggio di convergenza. Si ha \[\displaystyle \frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{\frac{1}{2n+1}}=1 \] da cui \(\displaystyle R=1 \). Il criterio di Cauchy-Hadamard mi garantisce convergenza uniforme su ogni insieme \(\displaystyle A_{\delta} = \{ x \in \mathbb{R} \; : \; |x| \le \delta \} \) con \(\displaystyle \delta < 1 \), ossia ho convergenza uniforme su \(\displaystyle (-1,1) \).
Piccola domanda: come guadagno il \(\displaystyle -1 \)? Possibile risposta:
A questo punto pongo \(\displaystyle t^{2}=x \) e noto che \[\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2n+1}=\frac{1}{t} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}=\frac{1}{t} \sum_{n=0}^{\infty} \int^{t}_{0} z^{2n} \; dz\] siccome sono pure nelle ipotesi del teorema di integrazione per le serie posso scambiare serie e integrale come segue: \[\displaystyle \frac{1}{t} \int^{t}_{0} \sum_{n=0}^{\infty} z^{2n} =\frac{1}{t} \int^{t}_{0} \frac{1}{1-z^{2}} \; dz =\frac{1}{t} \cdot \left[\log \sqrt{\frac{t+1}{1-t}} - \log (1) \right] =\frac{1}{\sqrt{x}} \log \sqrt{\frac{1 + \sqrt{x}}{1- \sqrt{x}}}=\frac{\tanh^{-1} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]
Edit. Sistemati gli estremi di integrazione.
Ringrazio.
Risposte
"Delirium":
Sono nelle ipotesi del teorema sullo scambio dei limiti e quindi \[\displaystyle \lim_{x \to -1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{2n+1}=\lim_{n \to \infty} \left[ \lim_{x \to -1} \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{2k+1} \right]=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \] e questa serie qui sopra converge per il criterio di Leibniz... E' sufficiente per poter concludere che \(\displaystyle [1] \) converge uniformemente su \(\displaystyle [-1,1) \)?
Non ho ben presente quale teorema tu stia usando; ti faccio notare però che la convergenza non è uniforme rispetto ad $x$ in un intorno del punto $x_0 = -1$.
Qui interviene in tuo soccorso il teorema di Abel.
"Delirium":
Altra domanda: come gestisco gli estremi di integrazione? Li devo mettere?
Eh sì, ci vanno.
Un esempio per capire cosa può andare storto...
$f(x) = sum_(n = 1)^(+oo) (sin(x/n))/n$ converge uniformemente su tutto $RR$.
Procedimento errato:
$int f(x) dx = sum_(n = 1)^(+oo) \int (sin(x/n))/n dx = - sum_(n = 1)^(+oo) cos(x/n)$ il cui termine generale non è neppure infinitesimo!!
Procedimento corretto:
Epperò... $int_0^x f(t) dt = sum_(n = 1)^(+oo) [ - cos(t/n) ]_0^x = sum_(n = 1)^(+oo) 1 - cos(x/n)$
$f(x) = sum_(n = 1)^(+oo) (sin(x/n))/n$ converge uniformemente su tutto $RR$.
Procedimento errato:
$int f(x) dx = sum_(n = 1)^(+oo) \int (sin(x/n))/n dx = - sum_(n = 1)^(+oo) cos(x/n)$ il cui termine generale non è neppure infinitesimo!!
Procedimento corretto:
Epperò... $int_0^x f(t) dt = sum_(n = 1)^(+oo) [ - cos(t/n) ]_0^x = sum_(n = 1)^(+oo) 1 - cos(x/n)$
"Seneca":
[...]
Non ho ben presente quale teorema tu stia usando; ti faccio notare però che la convergenza non è uniforme rispetto ad $x$ in un intorno del punto $x_0 = -1$.
Qui interviene in tuo soccorso il teorema di Abel. [...]
Giusto. Io pensavo di "avvicinare dolcemente" il punto \(\displaystyle -1 \), ma in effetti ho ivi sì convergenza puntuale, ma Cauchy-Hadamard non mi permette di dire altro.
Sistemo gli estremi di integrazione.
Grazie!
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