Convergenza Serie Armonica Modificata

[DCLeonardo22]

Salve a tutti avrei bisogno di aiuto sullo studio della convergenza di questa serie al variare di alfa. Non so proprio come fare
\(\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{arctan\left(n^2\right)-arctan\left(n\right)}{n^alog^2\left(n+1\right)} \)

[kobeilprofeta]

$arctan(y) to 0 if y to 0$

$arctan(x)=pi/2-arcatan(1/x) if x>0$

[DCLeonardo22]

Scusa Kobe potresti spiegarti meglio. Non ho capito cosa andare a sostituire alle due funzioni arcotangenti. Quelle relazioni che tu hai scritto le conosco ma non capisco in questa serie come possono servirmi

[kobeilprofeta]

$arctan(n^2)=pi/2-arctan(frac{1}{n^2})$, $arctan(n)=pi/2-arctan(frac{1}{n})$

quindi hai $frac{arctan(1/n)-arctan(frac{1}{n^2})}{bla}$
e al numeratore puoi usare la prima che ti ho scritto nel messaggio precedente, perchè gli argomenti di arctan vanno a zero ora

[DCLeonardo22]

Ah okok , ho capito grazie 1000

[kobeilprofeta]

mi accorgo ora che non sono stato specifico
intendevo
$arctan(y)~~y$

poi per il logaritmo noi sappiamo che
$log(1+y)~~y$
ma il tuo non si presenta in forma "1+qualcosa che va a zero"

se proprio non hai idea di come fare leggi qua:

$[log(n+1)]^2=[log(n*(1+frac{1}{n}))]^2$ ora log del prodotto è somma dei log:
$=[log(n)+log(1+1/n)]^2=log^2(n)+2*log(n)*log(1+1/n)+log^2(1+1/n)$

e ora usi $log(1+1/n)~~1/n$

ciao