Convergenza serie

[Laura.appunti.2021]

Buongiorno, oggi stavo risolvendo questo esercizio che mi chiedeva per quali valore la seguente serie converge.
$ sum_(n=1) ^ (oo) ((sqrt(2x)-3)^n)/ (2n+1) $
Io come soluzione avevo pensato di razionalizzare il numeratore ma una volta fatto al denominatore non riesco a ricondurmi ad un limite notevole e quandi non so come proseguire. Qualcuno potrebbe indicarmi una strada perfavore. Grazie mille.

[killing_buddha]

Devi dare una condizione su $q$ in modo che \( \sum_{n=1}^\infty \frac{q^n}{2n+1}\) sia convergente, e poi imporre quella condizione a $q=\sqrt{2x}-3$ per ottenerne una su $x$.

[pilloeffe]

Ciao Dot.who,

Farei così:

$ sum_{n = 1}^{+\infty} ((sqrt(2x)-3)^n)/(2n+1) = sum_{n = 0}^{+\infty} ((sqrt(2x)-3)^n)/(2n+1) - 1 = sum_{n = 0}^{+\infty} ((sqrt(sqrt(2x)-3))^{2n})/(2n+1) - 1 = $
$ = \frac{1}{sqrt(sqrt(2x)-3)} sum_{n = 0}^{+\infty} ((sqrt(sqrt(2x)-3))^{2n + 1})/(2n+1) - 1 = \frac{\text{arctanh}(sqrt(sqrt(2x)-3)) - sqrt(sqrt(2x)-3)}{sqrt(sqrt(2x)-3)} $

Tutto ciò naturalmente per $0 < sqrt{sqrt(2x)-3} < 1 \iff 9/2 < x < 8 $
Aggiungo che naturalmente la serie iniziale proposta converge a $0 $ per $ x = 9/2 $, ma non è questo il caso interessante...
Attenzione che ovviamente deve essere $x \ge 0 $ e la trattazione effettuata si riferisce al caso $ sqrt(2x)-3 > 0 $; mentre è chiaro che per $x \ge 8 $ la serie proposta diverge positivamente, lascio a te l'analisi di cosa accade per $0 \le x < 9/2 $ (in particolare per $x = 2 $)

[Laura.appunti.2021]

Grazie mille per l'aiuto.