Convergenza serie

[del_ta]

Ciao a tutti, potreste spiegarmi come si risolve questo esercizio? Determinare per quali valori di $ alpha $ converge $ sum(n^alpha+6n^3)/(2n^5+2pi^(6n+1))^ (1/6) $

[ostrogoto1]

Propongo una maggiorazione brutale:
$ (n^alpha+6n^3)/(2n^5+2pi^(6n+1))^(1/6)<=(n^alpha+6n^3)/(2pi^(6n+1))^(1/6) $
poi studierei il caso generale della serie a destra
$ sum_(n=1)^(+oo) n^beta/x^n $ per $ x>1 $ per quali valori di beta converge.

[del_ta]

Fino a lì ci ero arrivato,ma come continuo?

[ostrogoto1]

Un'altra maggiorazione per procedere ancora piu' rapidi del modo precedente:
$ (n^alpha+6n^3)/(2^(1/6)pi^(n+1/6)) < (pi-1)^n/pi^n $ $ AAalpha $ almeno per n abbastanza grande e a destra si ha una serie geometrica convergente $ sum_(n=1)^(+oo) ((pi-1)/pi)^n $

altrimenti continuando con il metodo del messaggio precedente:
$ sum_(n=1)^(+oo) (n^alpha+6n^3)/(2^(1/6)pi^(n+1/6))= 1/2^(1/6)sum_(n=1)^(+oo) n^alpha/pi^(n+1/6)+1/2^(1/6)sum_(n=1)^(+oo) (6n^3)/pi^(n+1/6) $
e ognuna delle due serie sopra sono casi particolari della serie generale indicata prima.

[del_ta]

Potresti spiegarmi il caso generale di sopra? Perchè non l'ho trovato da nessuna parte..

[ostrogoto1]

la serie $ sum_(n=1)^(+oo) n^beta/x^n $ col criterio del rapporto per $ x>1 $ converge $ AAbeta $
$ (n+1)^beta/x^(n+1)x^n/n^beta=(1+1/n)^beta*1/xrarr1/x $ per $ nrarr+oo $