Convergenza serie
studiare il carattere della seguente serie al variare del parametro $alpha in RR^+$
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n (1+n^2 log(n))/(n^alpha)$
io ho fatto cosi :
-visto che $a_n$ non ha segno costante applico l' assoluta convergenza e mi libero del $(-1)^n$;
-osservo che ora $a_n>0$ applico il confronto asintotico e ho :
$ a_n ~ (n^2 log(n))/(n^alpha)= log(n)^(n^2)/(n^alpha)$
che posso scrivere come $\sum_{n=1}^infty 1/((n^alpha)*log(n)^(-n^2)$.
se $alpha>1$ converge
se $alpha=1$ visto che $beta<1$ diverge a $+infty$
se $0
L' indice $n=1$ posso evitare di considerarlo no ?
$\sum_{n=1}^infty (-1)^n (1+n^2 log(n))/(n^alpha)$
io ho fatto cosi :
-visto che $a_n$ non ha segno costante applico l' assoluta convergenza e mi libero del $(-1)^n$;
-osservo che ora $a_n>0$ applico il confronto asintotico e ho :
$ a_n ~ (n^2 log(n))/(n^alpha)= log(n)^(n^2)/(n^alpha)$
che posso scrivere come $\sum_{n=1}^infty 1/((n^alpha)*log(n)^(-n^2)$.
se $alpha>1$ converge
se $alpha=1$ visto che $beta<1$ diverge a $+infty$
se $0
L' indice $n=1$ posso evitare di considerarlo no ?
Risposte
Ciao, ti faccio vedere come ho fatto io. Io ho sfruttato Leibniz che dice che se hai un termine oscillante $(-1)^n$ ed una succcessione $(an)$ il cui termine generale tende a 0 ed è decrescente, allora puoi dire che quella successione è convergente.
Io non penso che tu possa utilizzare la convergenza assoluta, dato che potresti dire riguardo ad alfa solo nel caso di una convergenza, MA non puoi esporti nel caso diverga assolutamente la seria.
Dunque, secondo me si fa così (correggetemi se sbaglio):
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n ((1+n^2 log(n))/(n^alpha)) $
ragioniamo sulla successione $(an)$, quando è decrescente e il termine generale tende a 0 allora posso affermare che per un certo alfa converge, in caso contrario non posso dire che diverge ma posso dire che è irregolare:
$ (1+n^2 log(n))/(n^alpha) $ per $n->∞$ è asintotico a $n^2 log(n)/(n^alpha)$ dunque lo riscriaviamo come $log(n)/(n^(alpha-2))$
da cui, per $alpha <3$ è irregolare, per $alpha>3$ posso affermare che converge per il criterio di Leibniz...
dato che $alpha$ va cercato in R+ mi posso fermare qua.
Ovviamente è un mio tentativo, puoi prendere spunto ma non partire con l'idea che sia tutto corretto
Io non penso che tu possa utilizzare la convergenza assoluta, dato che potresti dire riguardo ad alfa solo nel caso di una convergenza, MA non puoi esporti nel caso diverga assolutamente la seria.
Dunque, secondo me si fa così (correggetemi se sbaglio):
$ \sum_{n=1}^infty (-1)^n ((1+n^2 log(n))/(n^alpha)) $
ragioniamo sulla successione $(an)$, quando è decrescente e il termine generale tende a 0 allora posso affermare che per un certo alfa converge, in caso contrario non posso dire che diverge ma posso dire che è irregolare:
$ (1+n^2 log(n))/(n^alpha) $ per $n->∞$ è asintotico a $n^2 log(n)/(n^alpha)$ dunque lo riscriaviamo come $log(n)/(n^(alpha-2))$
da cui, per $alpha <3$ è irregolare, per $alpha>3$ posso affermare che converge per il criterio di Leibniz...
dato che $alpha$ va cercato in R+ mi posso fermare qua.
Ovviamente è un mio tentativo, puoi prendere spunto ma non partire con l'idea che sia tutto corretto
per la divergenza ho usato una serie armonica generalizzata trovata sugli appunti
$\sum_{n=2}^infty 1/(n^alpha log(n)^beta)$
che converge se $alpha>1$ oppure se $alpha=1$ e $beta>1$ altrimenti diverge.
Sempre se non ho fatto pasticci con gli esponenti....
$\sum_{n=2}^infty 1/(n^alpha log(n)^beta)$
che converge se $alpha>1$ oppure se $alpha=1$ e $beta>1$ altrimenti diverge.
Sempre se non ho fatto pasticci con gli esponenti....
sinceramente non capisco bene cosa tu voglia fare...come fai a dire che diverge? e dove lo metti $(-1)^n$ ...cioè che venga sparata all'infinito son daccordo ma in modo irregolare...dunque non diverge quella serie secondo me...
se $a_n$ ha segno non costante posso usare l' assoluta convergenza e il -1 va via, mi ritrovo con qualcosa sempre > 0 e posso usare il confronto asintotico e da li uso la serie armonica generalizzata.
stai dicendo una cosa assolutamente sbagliata, se ti ricordi dalla teoria si può affermare che se una serie converge assolutamente allora (implica che) anche la serie converge semplicemente. Mentre non è vero (in generale) che se una serie diverge assolutamente allora diverge semplicemente, questo te lo posso mostrare con un esempio immediato:
$(-1)^n/n$ siamo daccordo che questa serie converge, ma $|(-1)^(n)|/n$ questa diverge...ma NON è vero che diverge semplicemente...ecco perchè quello che dici non è corretto...
$(-1)^n/n$ siamo daccordo che questa serie converge, ma $|(-1)^(n)|/n$ questa diverge...ma NON è vero che diverge semplicemente...ecco perchè quello che dici non è corretto...
Giusto,sta cosa mi era sfuggita...quindi usi Leibniz e per dire che il termine generale converge a zero usi il confronto asintotico e discuti $alpha$.Dico bene ?
esatto, secondo me si fa così...mi appoggio completamente al criterio di leibniz e a quello asintotico e ne traggo le conclusioni riguardo $alpha$ alla fine...
ps: si chiama criterio asintotico non confronto asintotico
ps: si chiama criterio asintotico non confronto asintotico
Se proprio vogliamo essere pignoli, si chiama "Criterio del confronto asintotico"!
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